幂零矩阵的广义特征空间 我们先从线性代数中的基本概念开始，逐步深入到“幂零矩阵的广义特征空间”这一概念。 第一步：特征值与特征向量 对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ（可以是实数或复数）和一个非零向量v，使得Av = λv成立，那么λ称为矩阵A的一个 特征值 ，v称为对应于特征值λ的 特征向量 。所有对应于λ的特征向量加上零向量，构成一个线性子空间，称为 特征子空间 ，记为E_ λ。其维数（即线性无关特征向量的最大个数）称为特征值λ的 几何重数 。 第二步：特征多项式与代数重数 矩阵A的特征多项式定义为 p(λ) = det(λI - A)，其中I是单位矩阵。它是一个关于λ的n次多项式。特征值λ是p(λ)=0的根。特征值λ作为多项式根的重数，称为λ的 代数重数 。 通常情况下，对于一个特征值λ，其几何重数（特征子空间的维数）小于或等于其代数重数。 第三步：幂零矩阵的定义 一个n阶方阵N被称为 幂零矩阵 ，如果存在一个正整数k，使得N^k = 0（零矩阵）。满足条件的最小k称为N的 幂零指数 。幂零矩阵的一个核心性质是：它的所有特征值都是0。因为如果λ是N的特征值，则λ^k是N^k的特征值，而N^k=0，所以λ^k=0，推出λ=0。 第四步：广义特征向量与广义特征空间 当一个矩阵A的某个特征值λ的几何重数小于其代数重数时，特征子空间E_ λ中的向量不足以“张成”与代数重数对应的完整空间。为了弥补这个不足，我们引入更一般的概念。 对于一个特征值λ，如果一个非零向量v满足存在正整数m，使得 (A - λI)^m v = 0，那么v称为对应于λ的 广义特征向量 。这里I是单位矩阵。满足 (A - λI)^m v = 0的最小正整数m称为v的 循环长度 或 高度 。 对于固定的特征值λ，所有满足条件 (A - λI)^m v = 0（对于某个m）的向量v构成的集合，是一个线性子空间，称为对应于λ的 广义特征空间 ，记为K_ λ(A)。注意，当m=1时，就是普通的特征向量。所以，特征子空间E_ λ是广义特征空间K_ λ(A)的一个子空间。 第五步：幂零矩阵的广义特征空间 现在我们将A特指为一个幂零矩阵N。由于幂零矩阵的唯一特征值是0，所以其对应的广义特征空间就是K_ 0(N)。 根据定义，K_ 0(N) = { v | 存在正整数m，使得 N^m v = 0 }。 因为N是幂零的，假设其幂零指数为k，那么对于任意向量v，总有 N^k v = 0。这意味着 整个向量空间中的每一个向量v，都是对应于特征值0的广义特征向量 。因此，对于幂零矩阵N，其广义特征空间K_ 0(N)就是整个n维向量空间V本身。 这个结论虽然看似平凡，但它是理解幂零变换结构的关键。整个空间V可以分解为一系列由广义特征向量（在幂零情形下，这些向量就是满足N^i v = 0但N^{i-1} v ≠ 0的向量）生成的 循环子空间 的直和。这也就是 幂零变换的循环子空间分解 （或通过Jordan链描述的分解）。 第六步：与Jordan标准型的联系 幂零矩阵的Jordan标准型由若干个Jordan块构成，每个Jordan块对应一个循环子空间。一个k阶幂零Jordan块的形式是主对角线上全为0，次对角线上全为1的矩阵。这个Jordan块作用在其对应的循环子空间上，生成了一个长度为k的“链”（v, Nv, N^2v, ..., N^{k-1}v），其中N^{k-1}v是普通特征向量（对应于0），而链中的其他向量都是广义特征向量。整个空间V作为广义特征空间K_ 0(N)，就是所有这些循环子空间的直和。 总结： 对于一个幂零矩阵N： 其唯一的特征值是0。 对应于0的 广义特征空间 K_ 0(N)包含了所有能被N的某次幂零化的向量。 由于N本身是幂零的， 整个向量空间V = K_ 0(N) 。 研究这个广义特征空间的结构，即如何将其分解为更小的、在N作用下循环的（由广义特征向量链生成的）子空间的直和，是理解幂零矩阵核心结构的途径。这个分解直接导向了幂零矩阵（进而是任意矩阵的幂零部分）的Jordan标准型理论。