分圆多项式（Cyclotomic Polynomials）

字数 4009 2025-12-19 02:51:42

分圆多项式（Cyclotomic Polynomials）

好的，我们来深入学习分圆多项式。这是连接数论、代数与几何的一个核心对象，我们将分步、细致地展开。

第一步：动机与基本定义 —— 多项式的“素数”

我们研究整数时，素数是最基本的“积木块”，因为任何大于1的整数都可以唯一分解为素数的乘积（算术基本定理）。那么，在多项式的世界里，有没有类似“素数”的基本构件呢？

答案是肯定的，我们称之为不可约多项式。一个非常自然的问题是：方程 \(x^n - 1 = 0\) 的根，也就是 n次单位根，它们的“最小多项式”是什么？换句话说，我们想找到一个具有整数系数、不可约的多项式，其根恰好是所有 n阶本原单位根（即阶恰好为n的单位根，它们不是任何更小的d（d<n）次单位根）。

这个多项式就是 第n个分圆多项式（n-th Cyclotomic Polynomial），记作 \(\Phi_n(x)\)。

精确定义:
对于任意正整数 \(n \ge 1\)，第n个分圆多项式定义为：

\[\Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \le k \le n \\ \gcd(k, n) = 1}} (x - \zeta_n^k) \]

其中 \(\zeta_n = e^{2\pi i / n}\) 是一个本原的n次单位根。也就是说，\(\Phi_n(x)\) 是所有n阶本原单位根为根的首一多项式（最高次项系数为1）。

关键点:

“分圆”一词来源于其根将复平面上的单位圆分成n等份。
乘积索引 \(k\) 遍历所有与 \(n\) 互素的数（1到n之间），这正好对应了所有阶为 \(n\) 的本原单位根。
这是一个具有整数系数的多项式（这不是显然的，但我们会说明）。

第二步：具体计算与初步观察

让我们通过几个小例子来感受一下。

\(n = 1\)：1次本原单位根只有1本身。所以 \(\Phi_1(x) = x - 1\)。
\(n = 2\)：2次本原单位根只有 -1（因为1是1次单位根）。所以 \(\Phi_2(x) = x - (-1) = x + 1\)。
\(n = 3\)：3次单位根是1，\(\omega = e^{2\pi i/3}\)，\(\omega^2\)。其中1不是本原的，所以本原的是 \(\omega\) 和 \(\omega^2\)。于是：
\(\Phi_3(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)\)。利用关系 \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)，可以计算出 \(\Phi_3(x) = x^2 + x + 1\)。
\(n = 4\)：4次单位根是 1, i, -1, -i。与4互素的k是1和3，对应的本原根是 i 和 -i（即 i 和 i^3）。
所以 \(\Phi_4(x) = (x - i)(x + i) = x^2 + 1\)。

一个重要且深刻的恒等式：
观察 \(x^4 - 1\)，它可以因式分解：

\[x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) \]

注意到 \((x-1)\) 对应所有1次单位根，\(\Phi_1(x)\)。\((x+1)\) 对应所有2阶本原单位根，即 \(\Phi_2(x)\)。\((x^2+1)\) 对应所有4阶本原单位根，即 \(\Phi_4(x)\)。而它们的乘积正好等于 \(x^4 - 1\)。

这引导我们得出一个核心的递归关系：

\[x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x) \]

这里 \(d \mid n\) 表示 \(d\) 整除 \(n\)。这个等式对所有正整数 \(n\) 成立。

为什么成立？ 因为 \(x^n - 1 = 0\) 的根恰好是所有 \(n\) 次单位根。每个 \(n\) 次单位根都有一个唯一的阶 \(d\)，这个 \(d\) 必然是 \(n\) 的因子。而以该根为本原根的 \(d\) 次分圆多项式 \(\Phi_d(x)\) 正好以它为根。这样，所有根根据其阶 \(d\) 被“划分”到各个 \(\Phi_d(x)\) 中，且没有遗漏和重复。

这个恒等式是计算和证明 \(\Phi_n(x)\) 具有整数系数的关键工具。

第三步：利用递归公式计算与整数系数证明

我们可以用公式 \(x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x)\) 来递归地计算 \(\Phi_n(x)\)：

\[\Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{\prod_{\substack{d \mid n \\ d < n}} \Phi_d(x)} \]

这个除法在形式上是精确的（因为等式是恒等式），并且因为所有 \(\Phi_d(x)\) 都是首一的，结果多项式 \(\Phi_n(x)\) 的系数必然是整数（因为每一步都是用整系数多项式去除另一个整系数多项式，并且首一保证了商的系数也是整数，可以通过数学归纳法严格证明）。

计算例子:

计算 \(\Phi_6(x)\):
因子 \(d \mid 6\) 有 1, 2, 3, 6。

\[ \Phi_6(x) = \frac{x^6 - 1}{\Phi_1(x) \Phi_2(x) \Phi_3(x)} = \frac{x^6 - 1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} \]

计算：\(x^6-1 = (x^3-1)(x^3+1) = (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)\)。
分子分母约去 \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)\)，得到：

\[ \Phi_6(x) = x^2 - x + 1 \]

第四步：基本性质与深度结论

分圆多项式拥有一系列优美而深刻的性质：

整数系数与不可约性：\(\Phi_n(x)\) 在整数环 \(\mathbb{Z}\) 上是首一不可约多项式。这是由高斯证明的一个著名定理，也是分圆多项式的核心结论。这意味着它在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上也是不可约的。
次数：\(\Phi_n(x)\) 的次数等于欧拉函数 \(\varphi(n)\)，即小于 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数个数。这正是定义中乘积项的个数。
对称性：当 \(n > 1\) 时，\(\Phi_n(x)\) 是互反的，即 \(\Phi_n(x) = x^{\varphi(n)} \Phi_n(1/x)\)。这导致其系数是“回文的”（palindromic），但仅当 \(n\) 不是素数幂时系数会非常简单（多为0, 1, -1）。对于大 \(n\)，系数可以很大，甚至出现负数。
与素数联系：对于素数 \(p\)，有：

\[ \Phi_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1 = \frac{x^p - 1}{x - 1} \]

此外，对于素数 \(p\) 和整数 \(a\)，如果 \(p \nmid a\)，那么 \(p\) 整除 \(\Phi_n(a)\) 当且仅当 \(n\) 是使得 \(a^n \equiv 1 \pmod{p}\) 成立的最小正整数（即 \(a\) 模 \(p\) 的阶是 \(n\) 的某个倍数，且 \(p \mid \Phi_n(a)\)）。这个性质在素性检验（如基于分圆域的AKS算法）和代数数论中的分圆域研究中至关重要。

第五步：数论意义与应用举例

分圆多项式是研究分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) 的代数数论基础。

分圆域的扩张次数：由于 \(\Phi_n(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约，且次数为 \(\varphi(n)\)，所以域扩张 \(\mathbb{Q}(\zeta_n) / \mathbb{Q}\) 的次数就是 \(\varphi(n)\)。
代数整数环：在分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) 中，代数整数环（即整元构成的环）恰好就是 \(\mathbb{Z}[\zeta_n]\)。这简化了对其理想类群、单位群（分圆单位）等结构的研究。
费马大定理：早期试图证明费马大定理时，一个思路是将方程 \(x^p + y^p = z^p\) （\(p\) 为奇素数）在分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_p)\) 中分解为：

\[ (x+y)(x+\zeta_p y)(x+\zeta_p^2 y) \dots (x+\zeta_p^{p-1} y) = z^p \]

这引出了理想唯一分解是否成立的深刻问题（库默尔的工作），最终催生了理想和类数的概念。

互反律：分圆域是类域论中最早的“类域”例子。克罗内克-韦伯定理指出：任何一个在 \(\mathbb{Q}\) 上的有限阿贝尔扩张（即伽罗瓦群为阿贝尔群的扩张）都包含在某个分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) 中。这体现了分圆域在理解阿贝尔扩张中的普适性。

总之，分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 从看似简单的“单位根多项式”出发，其整数系数和不可约性是深刻的代数事实，并以此为桥梁，通向分圆域、代数整数、类域论、甚至现代密码学（如基于环学习的密码方案）等广阔的数学天地。它完美诠释了数论中“简单定义、深刻结论”的优美特质。

分圆多项式（Cyclotomic Polynomials）好的，我们来深入学习分圆多项式。这是连接数论、代数与几何的一个核心对象，我们将分步、细致地展开。第一步：动机与基本定义 —— 多项式的“素数” 我们研究整数时，素数是最基本的“积木块”，因为任何大于1的整数都可以唯一分解为素数的乘积（算术基本定理）。那么，在多项式的世界里，有没有类似“素数”的基本构件呢？答案是肯定的，我们称之为不可约多项式。一个非常自然的问题是：方程 \(x^n - 1 = 0\) 的根，也就是 n次单位根，它们的“最小多项式”是什么？换句话说，我们想找到一个具有整数系数、不可约的多项式，其根恰好是所有 n阶本原单位根（即阶恰好为n的单位根，它们不是任何更小的d（d <n）次单位根）。这个多项式就是第n个分圆多项式（n-th Cyclotomic Polynomial），记作 \(\Phi_ n(x)\)。精确定义 : 对于任意正整数 \(n \ge 1\)，第n个分圆多项式定义为： \[ \Phi_ n(x) = \prod_ {\substack{1 \le k \le n \\ \gcd(k, n) = 1}} (x - \zeta_ n^k) \] 其中 \(\zeta_ n = e^{2\pi i / n}\) 是一个本原的n次单位根。也就是说，\(\Phi_ n(x)\) 是所有n阶本原单位根为根的首一多项式（最高次项系数为1）。关键点 : “分圆”一词来源于其根将复平面上的单位圆分成n等份。乘积索引 \(k\) 遍历所有与 \(n\) 互素的数（1到n之间），这正好对应了所有阶为 \(n\) 的本原单位根。这是一个具有整数系数的多项式（这不是显然的，但我们会说明）。第二步：具体计算与初步观察让我们通过几个小例子来感受一下。 \(n = 1\)：1次本原单位根只有1本身。所以 \(\Phi_ 1(x) = x - 1\)。 \(n = 2\)：2次本原单位根只有 -1（因为1是1次单位根）。所以 \(\Phi_ 2(x) = x - (-1) = x + 1\)。 \(n = 3\)：3次单位根是1，\(\omega = e^{2\pi i/3}\)，\(\omega^2\)。其中1不是本原的，所以本原的是 \(\omega\) 和 \(\omega^2\)。于是： \(\Phi_ 3(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)\)。利用关系 \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)，可以计算出 \(\Phi_ 3(x) = x^2 + x + 1\)。 \(n = 4\)：4次单位根是 1, i, -1, -i。与4互素的k是1和3，对应的本原根是 i 和 -i（即 i 和 i^3）。所以 \(\Phi_ 4(x) = (x - i)(x + i) = x^2 + 1\)。一个重要且深刻的恒等式：观察 \(x^4 - 1\)，它可以因式分解： \[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) \] 注意到 \((x-1)\) 对应所有1次单位根，\(\Phi_ 1(x)\)。\((x+1)\) 对应所有2阶本原单位根，即 \(\Phi_ 2(x)\)。\((x^2+1)\) 对应所有4阶本原单位根，即 \(\Phi_ 4(x)\)。而它们的乘积正好等于 \(x^4 - 1\)。这引导我们得出一个核心的递归关系： \[ x^n - 1 = \prod_ {d \mid n} \Phi_ d(x) \] 这里 \(d \mid n\) 表示 \(d\) 整除 \(n\)。这个等式对所有正整数 \(n\) 成立。为什么成立？因为 \(x^n - 1 = 0\) 的根恰好是所有 \(n\) 次单位根。每个 \(n\) 次单位根都有一个唯一的阶 \(d\)，这个 \(d\) 必然是 \(n\) 的因子。而以该根为本原根的 \(d\) 次分圆多项式 \(\Phi_ d(x)\) 正好以它为根。这样，所有根根据其阶 \(d\) 被“划分”到各个 \(\Phi_ d(x)\) 中，且没有遗漏和重复。这个恒等式是计算和证明 \(\Phi_ n(x)\) 具有整数系数的关键工具。第三步：利用递归公式计算与整数系数证明我们可以用公式 \(x^n - 1 = \prod_ {d \mid n} \Phi_ d(x)\) 来递归地计算 \(\Phi_ n(x)\)： \[ \Phi_ n(x) = \frac{x^n - 1}{\prod_ {\substack{d \mid n \\ d < n}} \Phi_ d(x)} \] 这个除法在形式上是精确的（因为等式是恒等式），并且因为所有 \(\Phi_ d(x)\) 都是首一的，结果多项式 \(\Phi_ n(x)\) 的系数必然是整数（因为每一步都是用整系数多项式去除另一个整系数多项式，并且首一保证了商的系数也是整数，可以通过数学归纳法严格证明）。计算例子 : 计算 \(\Phi_ 6(x)\): 因子 \(d \mid 6\) 有 1, 2, 3, 6。 \[ \Phi_ 6(x) = \frac{x^6 - 1}{\Phi_ 1(x) \Phi_ 2(x) \Phi_ 3(x)} = \frac{x^6 - 1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} \] 计算：\(x^6-1 = (x^3-1)(x^3+1) = (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)\)。分子分母约去 \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)\)，得到： \[ \Phi_ 6(x) = x^2 - x + 1 \] 第四步：基本性质与深度结论分圆多项式拥有一系列优美而深刻的性质：整数系数与不可约性：\(\Phi_ n(x)\) 在整数环 \(\mathbb{Z}\) 上是首一不可约多项式。这是由高斯证明的一个著名定理，也是分圆多项式的核心结论。这意味着它在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上也是不可约的。次数：\(\Phi_ n(x)\) 的次数等于欧拉函数 \(\varphi(n)\)，即小于 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数个数。这正是定义中乘积项的个数。对称性：当 \(n > 1\) 时，\(\Phi_ n(x)\) 是互反的，即 \(\Phi_ n(x) = x^{\varphi(n)} \Phi_ n(1/x)\)。这导致其系数是“回文的”（palindromic），但仅当 \(n\) 不是素数幂时系数会非常简单（多为0, 1, -1）。对于大 \(n\)，系数可以很大，甚至出现负数。与素数联系：对于素数 \(p\)，有： \[ \Phi_ p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1 = \frac{x^p - 1}{x - 1} \] 此外，对于素数 \(p\) 和整数 \(a\)，如果 \(p \nmid a\)，那么 \(p\) 整除 \(\Phi_ n(a)\) 当且仅当 \(n\) 是使得 \(a^n \equiv 1 \pmod{p}\) 成立的最小正整数（即 \(a\) 模 \(p\) 的阶是 \(n\) 的某个倍数，且 \(p \mid \Phi_ n(a)\)）。这个性质在素性检验（如基于分圆域的AKS算法）和代数数论中的分圆域研究中至关重要。第五步：数论意义与应用举例分圆多项式是研究分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_ n)\) 的代数数论基础。分圆域的扩张次数：由于 \(\Phi_ n(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约，且次数为 \(\varphi(n)\)，所以域扩张 \(\mathbb{Q}(\zeta_ n) / \mathbb{Q}\) 的次数就是 \(\varphi(n)\)。代数整数环：在分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_ n)\) 中，代数整数环（即整元构成的环）恰好就是 \(\mathbb{Z}[ \zeta_ n ]\)。这简化了对其理想类群、单位群（分圆单位）等结构的研究。费马大定理：早期试图证明费马大定理时，一个思路是将方程 \(x^p + y^p = z^p\) （\(p\) 为奇素数）在分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_ p)\) 中分解为： \[ (x+y)(x+\zeta_ p y)(x+\zeta_ p^2 y) \dots (x+\zeta_ p^{p-1} y) = z^p \] 这引出了理想唯一分解是否成立的深刻问题（库默尔的工作），最终催生了理想和类数的概念。互反律：分圆域是类域论中最早的“类域”例子。克罗内克-韦伯定理指出：任何一个在 \(\mathbb{Q}\) 上的有限阿贝尔扩张（即伽罗瓦群为阿贝尔群的扩张）都包含在某个分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_ n)\) 中。这体现了分圆域在理解阿贝尔扩张中的普适性。总之，分圆多项式 \(\Phi_ n(x)\) 从看似简单的“单位根多项式”出发，其整数系数和不可约性是深刻的代数事实，并以此为桥梁，通向分圆域、代数整数、类域论、甚至现代密码学（如基于环学习的密码方案）等广阔的数学天地。它完美诠释了数论中“简单定义、深刻结论”的优美特质。