数学课程设计中的数学运算过程性理解深化 我们来逐步深入地探讨数学课程设计中“数学运算过程性理解深化”这一核心概念。 第一步：理解“运算过程性理解”的基本内涵 首先，我们需要区分“程序性知识”和“过程性理解”。在数学学习中，程序性知识通常指执行运算的步骤和规则，例如多项式乘法的分配律步骤、解一元一次方程的移项、合并同类项等具体操作流程。而“过程性理解”则远不止于此。它是指学习者 不仅知道如何按步骤计算，更理解每一步背后的数学原理、算理依据、逻辑关系以及该运算在更大数学结构中的地位 。例如，在学习分数除法时，过程性理解意味着学生不仅会“颠倒相乘”的算法，更能理解为什么可以这样做——即认识到“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”这一规则，源于除法是乘法的逆运算，以及保持分数值不变的等值变换思想。 第二步：明确“深化”的目标与层次 “深化”意味着将这种过程性理解从表面推向纵深。在课程设计中，我们可以将其划分为几个递进的层次： 操作逻辑层 ：理解单一运算步骤的合理性。例如，在解方程3x+5=20时，第一步两边同时减去5，是因为等式两边减去相同的数，等式仍然成立（等式性质）。 算理贯通层 ：理解多个步骤之间的内在连贯性和目标指向性。知道为什么先移常数项、再化系数为1，整个流程是为了将方程逐步变形为x=a的形式，其核心思想是“化归”和“保持等价”。 结构关联层 ：将特定运算过程与更广泛的数学概念、性质联系起来。例如，认识到整式加减法的合并同类项，本质上是运用乘法分配律的逆运算进行代数式的简化；认识到解方程的步骤实质上是在运用数域的运算律（如加法交换律、结合律、分配律）和等式性质对命题进行等价变换。 策略与监控层 ：能在不同情境下灵活选择或调整运算流程，并能对自己的运算过程进行反思、验证和评估。这涉及到元认知的参与，学生能思考“为什么选择这种方法？”“每一步是否合理？”“是否有更简洁的途径？” 第三步：设计促进深化的关键教学策略 课程设计需要围绕上述层次，构建促进理解深化的教学活动： 显性化讨论算理 ：教学不应满足于算法演示。教师应设计问题，引导学生解释每一步的理由。例如，提问：“为什么计算23×15时，可以分解为23×10加上23×5？”“在解这个方程组时，消元法背后的数学原理是什么？” 运用多元表征连接 ：将运算过程与实物操作、图示、语言叙述、符号记录等多种表征方式联系起来。例如，用面积模型解释两位数乘法分配律的过程；用线段图或天平平衡模型解释等式变形的原理。不同表征之间的转换能强化对过程本质的理解。 设计对比与变式任务 ：通过对比不同算法（如整数除法的多种试商方法）、解决表面不同但本质相同的问题（变式练习），让学生剥离非本质特征，聚焦运算过程的核心原理。例如，比较直接解方程与先化简再解方程的过程，体会“简化”在运算流程中的普遍价值。 鼓励“说数学”与“写数学” ：要求学生用语言或文字清晰地阐述自己的运算思路和依据，或对同伴的解题过程进行评议。撰写“解题反思日志”是深化过程性理解的有效工具。 融入历史与认知根源 ：适当介绍重要运算（如负数运算规则、指数运算法则）的历史发展脉络或产生的实际需求，帮助学生理解这些“规定”背后的合理性与必然性，从而超越机械记忆。 设置认知冲突情境 ：设计一些容易引发算法错误或直觉与规则冲突的问题（如涉及去括号符号变化、分数运算等），引导学生通过辨析、论证，澄清误解，从而更牢固地建立正确的过程性理解。 搭建从程序到概念的桥梁 ：在运算熟练后，引导学生回头审视，将运算过程提炼为更高层次的数学思想方法。例如，将解方程的一系列操作概括为“等价变换”思想；将多项式的因式分解多种方法总结为“降幂与化归”策略。 第四步：构建评估理解深化的方式 评估应超越结果正确性，关注思维过程： 过程访谈 ：在学生解题时或解题后，通过提问探查其理解深度。“你能解释一下这一步吗？”“如果改变问题的某个条件，你的计算步骤需要做哪些调整？为什么？” 错误分析 ：收集和分析学生的典型运算错误，区分是粗心失误、程序记忆错误，还是根本性的理解缺陷（如对运算律的误解），据此进行针对性教学。 开放性与解释性任务 ：布置需要选择或创造运算流程的任务，并要求提供理由。例如：“请用两种不同的方法计算，并解释哪种方法在这个情境下更优，为什么？” 概念图或思维导图 ：让学生绘制某一类运算（如有理数混合运算）的知识结构图，标明步骤、依据、与其它知识的联系，以此评估其结构性理解。 总之，在数学课程设计中， 深化运算的过程性理解 是连接“双基”（基础知识和基本技能）与数学核心素养（如数学运算素养、逻辑推理素养）的关键桥梁。它要求教学从关注“怎么做”转向同时关注“为什么可以这么做”、“怎么想到这么做”以及“这么做体现了什么数学思想”，从而培养学生的数学思维深度与灵活性，为更复杂的数学学习奠定坚实的、可迁移的理解基础。