数学课程设计中的运算次序与运算律理解教学 我将循序渐进地讲解如何在数学课程设计中，系统地进行运算次序与运算律理解的深度教学。 第一步：运算次序的直观感知与规则引入 运算次序教学的起点，是让学生从具体情境中 感知 “顺序不同，结果不同”。课程设计应从 生活化、具象化的情境 入手。 情境创设 ：设计如“购物计算”问题。例如：“小明有20元，先买了一个6元的本子，又买了3个2元的铅笔。他剩下多少钱？”自然引出两种列式：20 - 6 - 2×3 和 20 - (6 + 2×3)。通过计算和对比，让学生体会 不加括号时，乘法需要先算 的客观必要性和合理性。 规则显性化 ：在学生有了多组具体感知后，总结并明确基本的运算次序规则——“先乘除，后加减”。此时， 语言要精确 ：“先乘除”是指在同一级运算中，乘法和除法比加法和减法拥有 更高的优先级 。避免使用模糊的“先算乘除”。 括号的引入 ：紧接着，通过“想要改变自然顺序怎么办？”的问题，引出括号的功能—— 强制改变运算优先级 。强调括号是最高优先级，有括号必须先算括号内的。 第二步：运算次序规则的巩固与形式化练习 在学生初步理解规则后，需要通过精心设计的练习，实现从“知道规则”到“熟练、准确应用规则”的过渡。 分层练习设计 ： 基础层 ：直接应用规则计算，如 5 + 3 × 2 ， (5 + 3) × 2 。重点在于识别运算符号和括号，做出正确的第一步运算选择。 辨析层 ：设计“诊断改错”题。呈现典型错误计算过程（如 12 ÷ 3 × 2 = 12 ÷ 6 = 2 ），让学生找出错误并分析原因（同级运算应从左向右依次计算，而非随意结合）。这能深化对“同级运算从左到右”这一细则的理解。 复杂层 ：引入多级、混合运算，如包含加、减、乘、除和括号的两步以上运算。训练学生 分步规划 的思维习惯：先看整体结构，识别最高优先级的运算部分，逐步“化简”。 数学语言转换 ：将算式用文字叙述出来，或将文字叙述列成算式。例如，将“6加上4的和乘以5”列式为 (6 + 4) × 5 。这能检验学生是否真正理解运算次序在表达数学关系时的作用。 第三步：从运算次序到运算律的理解——揭示“变”与“不变” 在学生牢固掌握“如何按顺序算”之后，教学应转向一个更深刻的问题：“ 运算顺序有时可以改变吗？改变后为何结果不变？ ” 这自然引出运算律的学习。 从次序到律的过渡 ：通过对比计算 3 × 4 × 5 与 3 × (4 × 5) ， 发现结果相同。引导学生思考：这里改变了运算顺序（结合方式），但结果不变。这与“先乘除后加减”的规则矛盾吗？不矛盾，因为这是 在只有同级运算（连乘）的内部 ，结合方式可以改变。这引出了 乘法结合律 的雏形。 运算律的归纳与抽象 ： 归纳阶段 ：设计多组算式，让学生计算并观察。 加法交换律/结合律 ： 5 + 7 与 7 + 5 ； (2 + 3) + 4 与 2 + (3 + 4) 。 乘法交换律/结合律 ： 6 × 8 与 8 × 6 ； (5 × 2) × 3 与 5 × (2 × 3) 。 乘法分配律 ： 3 × (4 + 5) 与 3 × 4 + 3 × 5 。 引导学生用语言描述发现的规律：“交换加数位置，和不变”，“先算前两个数的和再加第三个数，等于先算后两个数的和再加第一个数”等。 符号化抽象阶段 ：用字母 a, b, c 代表任意数，将语言规律抽象为数学符号表达式： 加法交换律： a + b = b + a 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c 这一步骤至关重要，它让学生理解运算律是 普适的、一般性的规则 ，而不仅仅是几个特例。 第四步：运算次序与运算律的协同与辨析应用 这是教学的核心与难点，目标是让学生理解： 运算次序是“法律”，必须遵守；运算律是“特权”，可以在特定条件下（保证结果不变）用来简化运算。 辨析情境 ：设计对比性问题。 问题A：计算 125 × 13 × 8 。严格按照次序应从左向右。但运用乘法交换律和结合律改为 125 × 8 × 13 可以极大简化计算。让学生体验运用运算律的 好处 ——简便。 问题B：计算 24 + 36 ÷ 12 。此时绝不能运用“加法结合律”理解为 (24 + 36) ÷ 12 ，因为除法优先于加法。这强化了 运算律的运用不能违背运算次序的优先级规则 。 策略选择训练 ：呈现复杂算式，如 25 × (4 + 8 + 16) 。引导学生分析： 第一步： 观察结构 ，识别出乘法分配律的模型 a × (b + c + d) 。 第二步： 判断优劣 ，直接按次序算括号内再乘，与运用分配律 25×4 + 25×8 + 25×16 哪种更简便？ 第三步： 选择策略并执行 。通过大量此类练习，培养学生面对算式时的“策略意识”和“优化思想”，而非机械计算。 第五步：深度理解与迁移 为了深化理解，课程设计应安排反思和迁移环节。 理解运算律的本质 ：引导学生思考，为什么这些律成立？例如，乘法分配律的本质是 相同计数单位的累加 。 3×(4+5) 表示3个“（4+5）”，而 3×4+3×5 表示3个4和3个5，总数都是12+15=27。结合面积模型、数线模型进行直观解释。 逆用与推广 ：学习运算律的逆用，如 a×b + a×c = a×(b+c) ， 这是化简和因式分解思想的萌芽。可以初步探讨运算律在后续代数中的核心作用，如解方程时移项的依据（等式性质，与运算律相关）、代数式化简的基石。 元认知提问 ：在教学后期，鼓励学生自我提问：“看到这个算式，我第一步应该看什么？（结构和符号）”“有没有可能改变运算顺序让计算更简单？”“我改变顺序的依据是什么？（是运算律，还是随意改变？）” 总结 ：在数学课程设计中，“运算次序与运算律理解教学”是一个从 刚性规则掌握 到 灵活性策略应用 ，再到 深刻数学原理领悟 的螺旋上升过程。教学的关键在于，始终在“次序”（规则约束）与“运算律”（灵活变换）的辩证关系中展开，通过对比、辨析、选择，最终使学生能够准确、合理、灵活地处理运算，为后续所有代数学习奠定坚实的逻辑和操作基础。