测度空间的完备化
字数 2213 2025-12-18 23:26:04

测度空间的完备化

我们先从一个基础概念入手：测度空间。一个测度空间是一个三元组 (X, ℱ, μ)，其中 X 是一个集合，ℱ 是 X 上的一个 σ-代数（即可测集的集合），μ 是定义在 ℱ 上的一个测度。例如，勒贝格测度空间 (ℝ, ℒ, m)，其中 ℒ 是勒贝格可测集构成的 σ-代数。

然而，我们常会遇到一种“缺陷”：某个集合 A 的测度为零（μ(A)=0），但它的某个子集 N 可能不属于 σ-代数 ℱ。由于 N ⊂ A 且 μ(A)=0，从测度论的角度看，N 应该被视为一个“可以忽略”的集合，但因为它不可测，我们在严格处理时会遇到麻烦。例如，在讨论“几乎处处”成立的性质时，我们希望零测集的任何子集都不会影响结论，但如果这些子集不可测，就可能引发逻辑上的困扰。

为了系统地解决这个问题，我们引入了测度空间完备化的概念。

第一步：完备化的直观目标
完备化的核心思想是：将所有零测集的子集都“吸纳”为可测集，并规定其测度为0。这样得到的新的测度空间，其 σ-代数和测度都是原空间的“扩展”，并且具有“零测集的子集必定可测且测度为零”的良好性质。具有此性质的测度空间称为完备测度空间。

第二步：如何构造完备化？—— 形式化定义
给定一个测度空间 (X, ℱ, μ)，我们构造其完备化 (X, ℱ̄, μ̄) 如下：

  1. 定义新的 σ-代数 ℱ̄：
    ℱ̄ = { E ⊂ X : 存在 A, B ∈ ℱ，使得 A ⊂ E ⊂ B 且 μ(B \ A) = 0 }。
    这个定义的意思是：集合 E 属于 ℱ̄，当且仅当它被“夹”在两个可测集 A 和 B 之间，而 A 和 B 的差别只是一个零测集。A 可以看作是 E 的一个“内部可测逼近”，B 是“外部可测逼近”。
  2. 定义新的测度 μ̄：
    对于任何 E ∈ ℱ̄，我们定义 μ̄(E) = μ(A) = μ(B)。这里 A 和 B 是上述定义中与 E 相关的集合。可以证明，这个值与具体选择哪个 A 和 B 无关（因为若另有 A‘⊂E⊂B’ 且 μ(B’\A‘)=0，则 μ(A)=μ(A’)）。

第三步：理解构造的性质

  • ℱ ⊂ ℱ̄：因为对于任意 F ∈ ℱ，可取 A = B = F，显然满足条件，所以原可测集自动成为新可测集。
  • μ̄ 是 μ 的延拓：对于 F ∈ ℱ，有 μ̄(F) = μ(F)。
  • 完备性：这是最关键的一点。如果 μ̄(N) = 0，且 N’ ⊂ N，那么 N’ ∈ ℱ̄ 且 μ̄(N’) = 0。证明思路：因为 μ̄(N)=0，由构造知存在 A, B ∈ ℱ 使 A⊂N⊂B 且 μ(B\A)=0。对 N’，可取 A’ = ∅ (∈ ℱ)， B’ = B，则 ∅ ⊂ N’ ⊂ B 且 μ(B \ ∅) = μ(B) = μ̄(N) = 0，满足 ℱ̄ 的定义。
  • 最小性：ℱ̄ 是包含 ℱ 以及所有 ℱ 中零测集的所有子集的最小 σ-代数。也就是说，任何其他包含 ℱ 并使得测度完备化的 σ-代数，必定包含 ℱ̄。

第四步：经典例子——勒贝格测度空间
勒贝格测度空间 (ℝ, ℒ, m) 正是博雷尔测度空间 (ℝ, ℬ(ℝ), m|ℬ) 的完备化。这里 ℬ(ℝ) 是 ℝ 上的博雷尔 σ-代数，m|ℬ 是勒贝格外测度在 ℬ(ℝ) 上的限制（它是一个测度）。

  • 博雷尔测度空间不是完备的。存在博雷尔零测集（如康托尔三分集）拥有不是博雷尔集的子集（例如，利用选择公理构造的维塔利集，它甚至不是勒贝格可测的；但存在更复杂的例子，即某些博雷尔零测集拥有不是博雷尔集的子集）。
  • 通过上述完备化过程，将所有这些“奇怪”的子集吸纳进来，就得到了勒贝格可测集 σ-代数 ℒ。因此，我们常说“勒贝格测度是博雷尔测度的完备化”。

第五步：完备化在理论中的作用和意义

  1. 简化“几乎处处”的表述：在完备测度空间中，一个性质“几乎处处”成立，意味着存在一个可测集 Z 满足 μ(Z)=0，使得性质在 Z 的补集上成立。如果测度空间不完备，即使性质在一个不可测的零测子集上不成立，严格来说我们不能称之为“几乎处处”不成立，因为不可测集不属于我们的讨论范畴。完备化消除了这种技术上的微妙性。
  2. 确保函数可测性的稳定性：设 f 和 g 是两个可测函数。如果 f = g 几乎处处，在完备测度空间下，可以推出 f 可测当且仅当 g 可测。在非完备空间中，g 可能在一个不可测的零测集上与 f 不同，从而导致 g 不可测，即使它与一个可测函数几乎处处相等。
  3. 收敛定理的应用：许多重要的收敛定理（如叶戈罗夫定理、里斯定理等）在叙述中常会包含“在某个完备测度空间上”的假设，或者其结论（如几乎处处收敛的极限函数可测）在完备性下自然成立。
  4. 乘积测度的完备化：当考虑两个测度空间的乘积时，即使两个因子空间都是完备的，它们的乘积测度空间（基于乘积 σ-代数的测度）通常不是完备的。为此，我们通常需要显式地使用乘积测度的完备化，即所谓的“完全乘积测度”，这在富比尼定理的某些精细表述中很重要。

总结：测度空间的完备化是一个标准且重要的操作，它通过将所有零测集的子集纳入可测集范畴，消除了因“忽略零测集”而产生的技术缝隙。勒贝格测度空间是完备化的典范例子。完备化保证了“几乎处处”性质处理的严谨与方便，是实变函数和现代分析中许多核心定理顺利运行的基石。

测度空间的完备化 我们先从一个基础概念入手： 测度空间 。一个测度空间是一个三元组 (X, ℱ, μ)，其中 X 是一个集合，ℱ 是 X 上的一个 σ-代数（即可测集的集合），μ 是定义在 ℱ 上的一个测度。例如，勒贝格测度空间 (ℝ, ℒ, m)，其中 ℒ 是勒贝格可测集构成的 σ-代数。 然而，我们常会遇到一种“缺陷”：某个集合 A 的测度为零（μ(A)=0），但它的某个子集 N 可能 不 属于 σ-代数 ℱ。由于 N ⊂ A 且 μ(A)=0，从测度论的角度看，N 应该被视为一个“可以忽略”的集合，但因为它不可测，我们在严格处理时会遇到麻烦。例如，在讨论“几乎处处”成立的性质时，我们希望零测集的任何子集都不会影响结论，但如果这些子集不可测，就可能引发逻辑上的困扰。 为了系统地解决这个问题，我们引入了 测度空间完备化 的概念。 第一步：完备化的直观目标 完备化的核心思想是： 将所有零测集的子集都“吸纳”为可测集，并规定其测度为0 。这样得到的新的测度空间，其 σ-代数和测度都是原空间的“扩展”，并且具有“零测集的子集必定可测且测度为零”的良好性质。具有此性质的测度空间称为 完备测度空间 。 第二步：如何构造完备化？—— 形式化定义 给定一个测度空间 (X, ℱ, μ)，我们构造其完备化 (X, ℱ̄, μ̄) 如下： 定义新的 σ-代数 ℱ̄ ： ℱ̄ = { E ⊂ X : 存在 A, B ∈ ℱ，使得 A ⊂ E ⊂ B 且 μ(B \ A) = 0 }。 这个定义的意思是：集合 E 属于 ℱ̄，当且仅当它被“夹”在两个可测集 A 和 B 之间，而 A 和 B 的差别只是一个零测集。A 可以看作是 E 的一个“内部可测逼近”，B 是“外部可测逼近”。 定义新的测度 μ̄ ： 对于任何 E ∈ ℱ̄，我们定义 μ̄(E) = μ(A) = μ(B)。这里 A 和 B 是上述定义中与 E 相关的集合。可以证明，这个值与具体选择哪个 A 和 B 无关（因为若另有 A‘⊂E⊂B’ 且 μ(B’\A‘)=0，则 μ(A)=μ(A’)）。 第三步：理解构造的性质 ℱ ⊂ ℱ̄ ：因为对于任意 F ∈ ℱ，可取 A = B = F，显然满足条件，所以原可测集自动成为新可测集。 μ̄ 是 μ 的延拓 ：对于 F ∈ ℱ，有 μ̄(F) = μ(F)。 完备性 ：这是最关键的一点。如果 μ̄(N) = 0，且 N’ ⊂ N，那么 N’ ∈ ℱ̄ 且 μ̄(N’) = 0。证明思路：因为 μ̄(N)=0，由构造知存在 A, B ∈ ℱ 使 A⊂N⊂B 且 μ(B\A)=0。对 N’，可取 A’ = ∅ (∈ ℱ)， B’ = B，则 ∅ ⊂ N’ ⊂ B 且 μ(B \ ∅) = μ(B) = μ̄(N) = 0，满足 ℱ̄ 的定义。 最小性 ：ℱ̄ 是包含 ℱ 以及所有 ℱ 中零测集的所有子集的最小 σ-代数。也就是说，任何其他包含 ℱ 并使得测度完备化的 σ-代数，必定包含 ℱ̄。 第四步：经典例子——勒贝格测度空间 勒贝格测度空间 (ℝ, ℒ, m) 正是博雷尔测度空间 (ℝ, ℬ(ℝ), m|ℬ) 的完备化。这里 ℬ(ℝ) 是 ℝ 上的博雷尔 σ-代数，m|ℬ 是勒贝格外测度在 ℬ(ℝ) 上的限制（它是一个测度）。 博雷尔测度空间 不是 完备的。存在博雷尔零测集（如康托尔三分集）拥有不是博雷尔集的子集（例如，利用选择公理构造的维塔利集，它甚至不是勒贝格可测的；但存在更复杂的例子，即某些博雷尔零测集拥有不是博雷尔集的子集）。 通过上述完备化过程，将所有这些“奇怪”的子集吸纳进来，就得到了勒贝格可测集 σ-代数 ℒ。因此，我们常说“勒贝格测度是博雷尔测度的完备化”。 第五步：完备化在理论中的作用和意义 简化“几乎处处”的表述 ：在完备测度空间中，一个性质“几乎处处”成立，意味着存在一个可测集 Z 满足 μ(Z)=0，使得性质在 Z 的补集上成立。如果测度空间不完备，即使性质在一个不可测的零测子集上不成立，严格来说我们不能称之为“几乎处处”不成立，因为不可测集不属于我们的讨论范畴。完备化消除了这种技术上的微妙性。 确保函数可测性的稳定性 ：设 f 和 g 是两个可测函数。如果 f = g 几乎处处，在完备测度空间下，可以推出 f 可测当且仅当 g 可测。在非完备空间中，g 可能在一个不可测的零测集上与 f 不同，从而导致 g 不可测，即使它与一个可测函数几乎处处相等。 收敛定理的应用 ：许多重要的收敛定理（如叶戈罗夫定理、里斯定理等）在叙述中常会包含“在某个完备测度空间上”的假设，或者其结论（如几乎处处收敛的极限函数可测）在完备性下自然成立。 乘积测度的完备化 ：当考虑两个测度空间的乘积时，即使两个因子空间都是完备的，它们的乘积测度空间（基于乘积 σ-代数的测度）通常 不是 完备的。为此，我们通常需要显式地使用乘积测度的完备化，即所谓的“完全乘积测度”，这在富比尼定理的某些精细表述中很重要。 总结 ：测度空间的完备化是一个标准且重要的操作，它通过将所有零测集的子集纳入可测集范畴，消除了因“忽略零测集”而产生的技术缝隙。勒贝格测度空间是完备化的典范例子。完备化保证了“几乎处处”性质处理的严谨与方便，是实变函数和现代分析中许多核心定理顺利运行的基石。