双曲型偏微分方程的特征理论（Method of Characteristics for Hyperbolic Partial Differential Equations） 的深入：守恒律方程组、激波形成与黎曼不变量
在之前的“双曲型偏微分方程的特征理论”词条中，我们讲解了一阶拟线性方程的特征线法基本概念和求解步骤。今天，我们将在此基础上，深入探讨一阶双曲型方程组的特征理论，这是理解流体力学、电磁学中波动现象和非线性波（如激波）形成的核心数学工具。
第一步：从单个方程到方程组的推广——特征线概念的扩展
对于单个一阶拟线性方程：
\[a(x, t, u) u_x + b(x, t, u) u_t = c(x, t, u) \]
特征线是平面上的一条曲线 \((x(s), t(s))\)，沿着它，偏微分方程退化为常微分方程。
对于一个含有 \(n\) 个未知函数 \(u^1, u^2, ..., u^n\) 的 一阶拟线性方程组（两个自变量 \(x, t\)）：
\[\mathbf{A}(x, t, \mathbf{u}) \mathbf{u}_x + \mathbf{B}(x, t, \mathbf{u}) \mathbf{u}_t = \mathbf{c}(x, t, \mathbf{u}) \]
其中 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\) 是 \(n \times n\) 矩阵，\(\mathbf{u}, \mathbf{c}\) 是 \(n\) 维列向量。
关键问题是：是否存在某个方向 \((dx, dt)\)，使得沿着这个方向，方程组能退化为关于 \(\mathbf{u}\) 的常微分方程？
- 我们将方程组改写成：
\[ \mathbf{A} \mathbf{u}_x + \mathbf{B} \mathbf{u}_t = \mathbf{c} \]
- 考虑一个方向场 \((dx, dt)\)。方向导数 \(d\mathbf{u} = \mathbf{u}_x dx + \mathbf{u}_t dt\)。
- 我们希望将原方程组与 \(d\mathbf{u}\) 的表达式结合，消去某个方向的导数。将原方程左乘一个非零行向量 \(\mathbf{l}^T\)：
\[ \mathbf{l}^T \mathbf{A} \mathbf{u}_x + \mathbf{l}^T \mathbf{B} \mathbf{u}_t = \mathbf{l}^T \mathbf{c} \]
- 如果向量 \(\mathbf{l}^T\) 能使得 \(\mathbf{l}^T \mathbf{A}\) 与 \(\mathbf{l}^T \mathbf{B}\) 成比例，即存在标量 \(\lambda\)，满足：
\[ \mathbf{l}^T \mathbf{A} = \lambda \mathbf{l}^T \mathbf{B} \]
则上述方程变为 \(\mathbf{l}^T \mathbf{B} (\lambda \mathbf{u}_x + \mathbf{u}_t) = \mathbf{l}^T \mathbf{c}\)。这正是方向 \((\lambda, 1)\) 的方向导数形式（因为 \(\lambda = dx/dt\)）。
5. 因此，\(\lambda\) 由特征方程给出：
\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{B}) = 0 \]
这个 \(\lambda\) 被称为特征速度。对于每个根 \(\lambda^{(k)}\)，对应的左特征向量 \(\mathbf{l}^{(k)}\) 给出了一个特征关系（或相容性条件）。
结论：对于一阶双曲型方程组，要求矩阵 \(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{B}\) 有 \(n\) 个实特征值 \(\lambda^{(1)}, ..., \lambda^{(n)}\)，并且有 \(n\) 个线性无关的左特征向量。那么，在 \(x-t\) 平面上存在 \(n\) 族特征线，其斜率（即 \(dx/dt\)）由这些特征值给出。
第二步：守恒律方程组——物理背景与数学形式
在物理中，许多双曲型方程组源自于守恒定律（如质量、动量、能量守恒）。其最标准的形式是：
\[\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{f}(\mathbf{u})}{\partial x} = 0 \]
这里 \(\mathbf{u}(x,t)\) 是守恒量向量（如密度、动量密度），\(\mathbf{f}(\mathbf{u})\) 是通量向量。这种形式被称为守恒形式。
- 例子：一维等熵欧拉方程（忽略压力以外的力）：
\[ \begin{cases} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = 0 \quad &\text{(质量守恒)} \\ \frac{\partial (\rho v)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v^2 + p)}{\partial x} = 0 \quad &\text{(动量守恒)} \end{cases} \]
其中 \(\mathbf{u} = (\rho, \rho v)^T\)，\(\mathbf{f}(\mathbf{u}) = (\rho v, \rho v^2 + p(\rho))^T\)。
对于守恒形式 \(\mathbf{u}_t + \mathbf{f}(\mathbf{u})_x = 0\)，它可以写为准线性形式：
\[\mathbf{u}_t + \mathbf{J}(\mathbf{u}) \mathbf{u}_x = 0, \quad \text{其中} \ \mathbf{J}(\mathbf{u}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}} \ \text{是雅可比矩阵}。 \]
此时，特征方程简化为：
\[\det(\mathbf{J}(\mathbf{u}) - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]
特征值 \(\lambda\) 就是雅可比矩阵 \(\mathbf{J}(\mathbf{u})\) 的特征值。特征方向是 \(dx/dt = \lambda(\mathbf{u})\)。注意：由于 \(\mathbf{J}\) 依赖于未知函数 \(\mathbf{u}\)，特征线通常不是预先确定的直线，其形状取决于解本身，这是非线性的核心体现。
第三步：黎曼不变量——沿着特征线的守恒量
对于双曲型方程组，一个强有力的概念是 黎曼不变量。它是指沿着某一族特征线保持为常数的函数。
- 对于第 \(k\) 族特征线（对应特征值 \(\lambda^{(k)}\)）和其左特征向量 \(\mathbf{l}^{(k)}\)，原方程给出的相容性条件是：
\[ \mathbf{l}^{(k)} \cdot (d\mathbf{u} / dt) = 0 \quad \text{沿曲线} \ dx/dt = \lambda^{(k)}(\mathbf{u}) \]
这里 \(d\mathbf{u}/dt = \mathbf{u}_t + \lambda^{(k)} \mathbf{u}_x\) 是沿着该特征线的全导数。
2. 这个等式意味着行向量 \(\mathbf{l}^{(k)}\) 与 \(d\mathbf{u}\) 的内积沿着特征线为零：\(\mathbf{l}^{(k)} \cdot d\mathbf{u} = 0\)。
3. 如果存在一个标量函数 \(R^{(k)}(\mathbf{u})\)，使得其全微分 \(dR^{(k)} = \mathbf{l}^{(k)} \cdot d\mathbf{u}\)，那么我们就有：
\[ \frac{d}{dt} R^{(k)}(\mathbf{u}(x(t), t)) = 0 \quad \text{沿} \ dx/dt = \lambda^{(k)} \]
即 \(R^{(k)}\) 沿该族特征线是常数。这样的函数 \(R^{(k)}\) 就称为一个黎曼不变量。
4. 对于一个 \(2 \times 2\) 系统，通常对每个特征族能找到一个黎曼不变量。利用两个黎曼不变量为常数，可以构造出方程组的精确解（特别是对于简单波区域）。
例子：对于一维等熵气流（\(p = k\rho^\gamma\)），存在两个特征族（\(\lambda_\pm = v \pm c\)，其中 \(c\) 是声速）。对应的黎曼不变量为：
\[R_\pm = v \pm \frac{2c}{\gamma - 1} \]
沿着 \(dx/dt = \lambda_\pm\) 的曲线，\(R_\pm\) 分别保持为常数。这是求解许多气流问题（如活塞问题、稀疏波）的关键。
第四步：激波的形成与弱解——特征线相交与解的破裂
在非线性双曲方程中，即使初始数据光滑，解也可能在有限时间内产生奇异性（导数趋于无穷），从而形成激波。这是特征理论的一个重要推论。
- 现象：对于如 \(u_t + u u_x = 0\)（无粘性伯格斯方程）这样的方程，特征线是直线 \(dx/dt = u(x_0, 0)\)，其斜率由初始值决定。如果初始条件 \(u(x,0)\) 是递减函数，则“更快”（更大 \(u\) 值）的特征线将追上“更慢”的特征线。在追赶点，特征线相交，这意味着解在同一 \((x, t)\) 点需要取多个值，这在物理上是不可能的。
- 破裂时间：可以估计解首次产生无穷大斜率（即激波形成）的时间。对于 \(u_t + u u_x = 0\)，如果初始导数的负值最小值为 \(m\)，则破裂时间 \(t_b = -1/m\)。
- 弱解：当经典解（连续可微）不再存在时，我们需要推广解的概念，引入弱解。其思想是将微分方程转换为其积分形式（例如守恒律的积分形式），该形式不要求函数可微，只要求可积。允许解包含间断（如激波）。
- Rankine-Hugoniot 跳跃条件：在间断线 \(x = s(t)\) 上，守恒律 \(\mathbf{u}_t + \mathbf{f}(\mathbf{u})_x = 0\) 要求以下关系必须成立，以保证积分形式的守恒：
\[ s'(t) [\mathbf{u}] = [\mathbf{f}(\mathbf{u})] \]
其中 \([ \cdot ]\) 表示间断两侧的跳跃值（右侧减左侧）。这个条件决定了激波的传播速度 \(s'(t)\)。这是将激波作为解的一部分嵌入弱解框架的核心条件。
总结来说，从一阶单个方程的特征线法出发，发展到一阶双曲型方程组的特征理论，我们引入了特征速度、黎曼不变量等核心概念。进一步，面对非线性带来的激波形成，特征线相交的几何图像直观解释了破裂机制，而弱解理论和Rankine-Hugoniot条件则为处理这种间断解提供了严谨的数学框架。这套理论是理解与描述自然界中丰富的波动与间断现象（如声波、交通流、激波管）的基础。