量子力学中的Keldysh形式
字数 2794 2025-12-18 20:45:20

量子力学中的Keldysh形式

我将循序渐进地讲解量子力学中的Keldysh形式（Keldysh formalism），这是一个用于处理非平衡量子多体系统的关键数学框架。以下是详细步骤：

第一步：背景与物理动机

  1. 问题起源：
    传统量子场论方法（如零温格林函数、松原形式）主要描述平衡系统，但许多物理过程（如外部场驱动、量子淬火、输运问题）涉及系统远离平衡态。此时需要处理时间演化，且初始态可能非基态。

  2. 核心挑战：
    非平衡系统中，时间平移不变性被破坏，无法直接使用基于虚时的微扰论。Keldysh形式通过引入闭合时间路径（closed-time path, CTP），将时间变量置于实轴上，直接处理实时演化。

第二步：闭合时间路径的构造

  1. 时间路径的定义：
    设初始时刻为 \(t_0\)，演化到某时刻 \(t_{\text{max}}\) 后再回到 \(t_0\)。路径分为两支：

    • 正向分支 \(C_+\)：从 \(t_0\) 到 \(t_{\text{max}}\)（时间递增）。
    • 反向分支 \(C_-\)：从 \(t_{\text{max}}\) 回到 \(t_0\)（时间递减）。
      这两支构成一个闭合回路，记作 \(C = C_+ \cup C_-\)。

  2. 路径排序：
    定义路径上的时间顺序算符 \(T_C\)，要求：

    • 在 \(C_+\) 上按常规时间顺序排序。
    • 在 \(C_-\) 上按反时间顺序排序。
    • \(C_+\) 上的时间总视为“早于” \(C_-\) 上的时间（即使数值相同）。

第三步：场变量的加倍与Keldysh旋量表示

  1. 场变量加倍：
    由于每个场算符在路径 \(C\) 上可能位于正向或反向分支，引入两个字段：

\[ \phi_+(t) = \phi(t \in C_+), \quad \phi_-(t) = \phi(t \in C_-). \]

物理可观测量的期望值最终由 \(\phi_+\) 与 \(\phi_-\) 在路径终点相等（\(t \to t_0\)）的约束给出。

  1. Keldysh旋量：
    定义二分量旋量：

\[ \Phi = \begin{pmatrix} \phi_+ \\ \phi_- \end{pmatrix}. \]

此时作用量、格林函数等可写为 \(2\times2\) 矩阵形式，便于微扰展开。

第四步：格林函数的矩阵结构

  1. 时间序格林函数：
    定义路径顺序格林函数：

\[ G_{ab}(t,t') = -i \langle T_C \phi_a(t) \phi_b^\dagger(t') \rangle, \quad a,b \in \{+,-\}. \]

由于 \(\phi_+\) 和 \(\phi_-\) 的排序规则不同，四个分量对应物理意义不同的格林函数。

  1. Keldysh基变换：
    为简化计算，通过线性变换将 \((\phi_+, \phi_-)\) 转到经典-量子基：

\[ \phi_{\text{cl}} = \frac{\phi_+ + \phi_-}{\sqrt{2}}, \quad \phi_{\text{q}} = \frac{\phi_+ - \phi_-}{\sqrt{2}}. \]

在该基下，格林函数矩阵变为：

\[ G = \begin{pmatrix} G^K & G^R \\ G^A & 0 \end{pmatrix}, \]

其中：

  • \(G^R\)（推迟格林函数）：\(-i\theta(t-t')\langle [\phi(t), \phi^\dagger(t')] \rangle\)。
  • \(G^A\)（超前格林函数）：\(i\theta(t'-t)\langle [\phi(t), \phi^\dagger(t')] \rangle\)。
  • \(G^K\)（Keldysh分量）：描述占据数，\(-i\langle \{\phi(t), \phi^\dagger(t')\} \rangle\) 在平衡态下由涨落耗散定理联系。

第五步：作用量与生成泛函

  1. 路径积分表示：
    非平衡系统的配分函数写为：

\[ Z = \int D[\phi_+,\phi_-] \, e^{iS[\phi_+,\phi_-]}, \]

其中作用量 \(S = S[\phi_+] - S[\phi_-]\)（反向分支作用量取负号，对应时间反演）。

  1. 微扰展开：
    相互作用项可按 \(\phi_{\text{cl}}, \phi_{\text{q}}\) 展开，Feynman规则与平衡场论类似，但每条传播子带 \(2\times2\) 矩阵结构，顶点包含分支指标。

第六步：动力学方程——Keldysh量子动力学方程

  1. Dyson方程：
    在矩阵形式下，Dyson方程写为：

\[ G^{-1} = G_0^{-1} - \Sigma, \]

其中 \(\Sigma\) 是自能矩阵，同样包含推迟、超前、Keldysh三个独立分量。

  1. Kadanoff-Baym方程：
    由Dyson方程导出运动方程，描述格林函数的时间演化。例如，在Wigner坐标（时间差、平均时间）下，可推导出玻尔兹曼型输运方程。

第七步：应用举例——量子点输运

  1. 模型简化：
    考虑单能级量子点耦合至左右电子库，库处于不同化学势。用Keldysh形式可计算电流：

\[ I = \frac{e}{\hbar} \int \frac{d\omega}{2\pi} \, T(\omega) [f_L(\omega) - f_R(\omega)], \]

其中 \(T(\omega)\) 由推迟格林函数和自能给出。

  1. 非线性响应：
    通过包含电子-电子相互作用的自能（如Hartree-Fock、二阶微扰），可研究强关联下的非平衡稳态。

第八步：扩展与数学工具

  1. Keldysh形式的泛函积分：
    可结合 Hubbard-Stratonovich 变换、重整化群方法，处理非平衡相变、量子热化等问题。

  2. 与闭合系统的联系：
    当系统初始为热平衡态时，Keldysh形式可还原到Matsubara形式，通过解析延拓连接实时与虚时格林函数。

通过以上步骤，Keldysh形式为量子非平衡动力学提供了一个系统的微扰框架，将平衡场论的许多工具（如费曼图、Dyson方程）推广到实时演化场景。其核心在于路径排序的矩阵表示，使得耗散、驱动、初始关联等非平衡效应可被统一处理。

量子力学中的Keldysh形式 我将循序渐进地讲解量子力学中的Keldysh形式（Keldysh formalism），这是一个用于处理非平衡量子多体系统的关键数学框架。以下是详细步骤： 第一步：背景与物理动机 问题起源 ： 传统量子场论方法（如零温格林函数、松原形式）主要描述平衡系统，但许多物理过程（如外部场驱动、量子淬火、输运问题）涉及系统远离平衡态。此时需要处理时间演化，且初始态可能非基态。 核心挑战 ： 非平衡系统中，时间平移不变性被破坏，无法直接使用基于虚时的微扰论。Keldysh形式通过引入 闭合时间路径 （closed-time path, CTP），将时间变量置于实轴上，直接处理实时演化。 第二步：闭合时间路径的构造 时间路径的定义 ： 设初始时刻为 \( t_ 0 \)，演化到某时刻 \( t_ {\text{max}} \) 后再回到 \( t_ 0 \)。路径分为两支： 正向分支 \( C_ + \)：从 \( t_ 0 \) 到 \( t_ {\text{max}} \)（时间递增）。 反向分支 \( C_ - \)：从 \( t_ {\text{max}} \) 回到 \( t_ 0 \)（时间递减）。 这两支构成一个闭合回路，记作 \( C = C_ + \cup C_ - \)。 路径排序 ： 定义路径上的时间顺序算符 \( T_ C \)，要求： 在 \( C_ + \) 上按常规时间顺序排序。 在 \( C_ - \) 上按反时间顺序排序。 \( C_ + \) 上的时间总视为“早于” \( C_ - \) 上的时间（即使数值相同）。 第三步：场变量的加倍与Keldysh旋量表示 场变量加倍 ： 由于每个场算符在路径 \( C \) 上可能位于正向或反向分支，引入两个字段： \[ \phi_ +(t) = \phi(t \in C_ +), \quad \phi_ -(t) = \phi(t \in C_ -). \] 物理可观测量的期望值最终由 \( \phi_ + \) 与 \( \phi_ - \) 在路径终点相等（\( t \to t_ 0 \)）的约束给出。 Keldysh旋量 ： 定义二分量旋量： \[ \Phi = \begin{pmatrix} \phi_ + \\ \phi_ - \end{pmatrix}. \] 此时作用量、格林函数等可写为 \( 2\times2 \) 矩阵形式，便于微扰展开。 第四步：格林函数的矩阵结构 时间序格林函数 ： 定义路径顺序格林函数： \[ G_ {ab}(t,t') = -i \langle T_ C \phi_ a(t) \phi_ b^\dagger(t') \rangle, \quad a,b \in \{+,-\}. \] 由于 \( \phi_ + \) 和 \( \phi_ - \) 的排序规则不同，四个分量对应物理意义不同的格林函数。 Keldysh基变换 ： 为简化计算，通过线性变换将 \( (\phi_ +, \phi_ -) \) 转到 经典-量子基 ： \[ \phi_ {\text{cl}} = \frac{\phi_ + + \phi_ -}{\sqrt{2}}, \quad \phi_ {\text{q}} = \frac{\phi_ + - \phi_ -}{\sqrt{2}}. \] 在该基下，格林函数矩阵变为： \[ G = \begin{pmatrix} G^K & G^R \\ G^A & 0 \end{pmatrix}, \] 其中： \( G^R \)（推迟格林函数）：\( -i\theta(t-t')\langle [ \phi(t), \phi^\dagger(t') ] \rangle \)。 \( G^A \)（超前格林函数）：\( i\theta(t'-t)\langle [ \phi(t), \phi^\dagger(t') ] \rangle \)。 \( G^K \)（Keldysh分量）：描述占据数，\( -i\langle \{\phi(t), \phi^\dagger(t')\} \rangle \) 在平衡态下由涨落耗散定理联系。 第五步：作用量与生成泛函 路径积分表示 ： 非平衡系统的配分函数写为： \[ Z = \int D[ \phi_ +,\phi_ -] \, e^{iS[ \phi_ +,\phi_ - ]}, \] 其中作用量 \( S = S[ \phi_ +] - S[ \phi_ - ] \)（反向分支作用量取负号，对应时间反演）。 微扰展开 ： 相互作用项可按 \( \phi_ {\text{cl}}, \phi_ {\text{q}} \) 展开，Feynman规则与平衡场论类似，但每条传播子带 \( 2\times2 \) 矩阵结构，顶点包含分支指标。 第六步：动力学方程——Keldysh量子动力学方程 Dyson方程 ： 在矩阵形式下，Dyson方程写为： \[ G^{-1} = G_ 0^{-1} - \Sigma, \] 其中 \( \Sigma \) 是自能矩阵，同样包含推迟、超前、Keldysh三个独立分量。 Kadanoff-Baym方程 ： 由Dyson方程导出运动方程，描述格林函数的时间演化。例如，在Wigner坐标（时间差、平均时间）下，可推导出玻尔兹曼型输运方程。 第七步：应用举例——量子点输运 模型简化 ： 考虑单能级量子点耦合至左右电子库，库处于不同化学势。用Keldysh形式可计算电流： \[ I = \frac{e}{\hbar} \int \frac{d\omega}{2\pi} \, T(\omega) [ f_ L(\omega) - f_ R(\omega) ], \] 其中 \( T(\omega) \) 由推迟格林函数和自能给出。 非线性响应 ： 通过包含电子-电子相互作用的自能（如Hartree-Fock、二阶微扰），可研究强关联下的非平衡稳态。 第八步：扩展与数学工具 Keldysh形式的泛函积分 ： 可结合 Hubbard-Stratonovich 变换、重整化群方法，处理非平衡相变、量子热化等问题。 与闭合系统的联系 ： 当系统初始为热平衡态时，Keldysh形式可还原到Matsubara形式，通过解析延拓连接实时与虚时格林函数。 通过以上步骤，Keldysh形式为量子非平衡动力学提供了一个系统的微扰框架，将平衡场论的许多工具（如费曼图、Dyson方程）推广到实时演化场景。其核心在于路径排序的矩阵表示，使得耗散、驱动、初始关联等非平衡效应可被统一处理。