数学课程设计中的数学思维发散性培养
字数 2201 2025-12-18 19:55:50

数学课程设计中的数学思维发散性培养

数学思维发散性培养，是指数学课程设计通过特定的教学活动、任务和评价方式，有意识地引导学生从不同角度、不同路径、运用不同方法去思考和分析数学问题，从而产生多样化的解决方案、关联和猜想，是创造性思维的核心组成部分。与思维聚敛性（寻找标准答案）协同，构成完整的数学思维品质。

下面为你循序渐进地讲解这个概念的设计与实施。

第一步：理解“发散性思维”在数学中的核心内涵
首先，你需要明白，数学中的发散性思维不仅仅是“胡思乱想”。它是有目标、有逻辑的发散，其核心包括：

  1. 流畅性：在单位时间内产生尽可能多的数学想法、思路或解法。例如，面对一道几何证明题，能快速联想到多种可能的辅助线添加方法。
  2. 变通性：能够转换思考方向，从不同类别、不同维度思考问题。例如，将一个代数问题转化为几何图形来理解，或者用函数观点看数列问题。
  3. 独创性：能产生新颖、独特的见解或非常规的解决方案。这是发散性思维的高级表现，例如，用概率方法解决一个组合计数问题。
  4. 精致性：在已有想法的基础上进行补充、丰富和精细化，使其更严谨、更完善。

第二步：课程目标设定——从“一题一解”到“一题多解、一题多变、一法多用”
在课程设计中，培养发散性思维的目标是分层的：

  • 基础目标：鼓励学生摆脱对“标准答案”的唯一路径依赖，乐于并敢于尝试不同的方法。
  • 核心目标：培养学生“多元表征”和“多元联结”的能力，即能够用不同的数学形式（图形、符号、文字、表格）表达同一概念，并能在不同数学领域之间建立联系。
  • 高级目标：引导学生从“解题”走向“提出问题”，能够对已知条件、结论或问题进行变换、推广和引申，提出新的、有价值的问题。

第三步：教学活动与任务设计的核心策略
这是课程设计的实操核心，需要精心设计教学环节：

  1. 开放式问题设计：

    • 条件开放：给定结论，让学生补充或改变条件。如：“如何设计一个长方体，使其表面积为24平方厘米？”答案有无数组。
    • 结论开放：给定条件，探索可能的结论。如：“观察函数y = x + 1/x的图像，你能发现哪些性质？”
    • 策略开放：明确问题，但解法多样。经典如“鸡兔同笼”问题，可以有列表、画图、算术、方程等多种解法。

  2. 一题多解与多题归一训练：

    • 一题多解：对典型题目，如证明“勾股定理”或求解“二次函数最值”，系统组织学生用代数、几何、三角等多种方法求解，并比较优劣。
    • 多题归一：引导学生从表面不同的多个问题中，抽象出共同的数学模型或核心思想。例如，行程问题、工程问题、浓度问题都可归为“工作量=工作效率×时间”模型。

  3. “问题链”与“问题串”设计：

    • “问题链”：由易到难、逻辑递进的问题系列，引导思维纵向深入。例如，从“三角形内角和是180度”出发，推导“四边形、五边形……n边形内角和”。
    • “问题串”：围绕一个核心概念或方法，提出多个角度平行的、可独立探索的问题，引导思维横向发散。例如，围绕“圆的切线”，可同时提出与角度、线段、面积相关的一系列性质探索。

  4. “假如…会怎样”的思维实验：
    鼓励学生改变问题中的某个核心要素，进行“反事实”思考。例如：“假如平行公理不成立，三角形内角和会怎样？”“假如指数函数y=a^x的底数a为负数，图像和性质会如何变化？”这类活动能极大地激发思维的变通性与独创性。

第四步：教学组织与环境创设——鼓励“思维外化”与“安全表达”

  1. 思维可视化工具应用：鼓励学生使用思维导图、概念图来梳理对某个知识点（如“函数”）的所有可能联想和知识分支，将内部思维过程显性化，便于交流和评价。
  2. 合作探究与“头脑风暴”：在小组学习中，设立明确规则（如不批评、求数量、结合与改进），围绕开放性问题进行集体自由联想，汇集多样化的观点和思路。
  3. 创设“容错”的课堂文化：明确告知学生，探索过程中的“错误”想法是宝贵的思维资源，往往能引出新的发现。教师对非常规思路应给予分析和鼓励，而非简单否定。

第五步：评价方式的改革——关注过程与多样性
评价是指挥棒，必须与教学目标一致：

  1. 过程性评价重于结果性评价：关注学生在解决问题时，是否尝试了多种策略，是否主动从不同角度进行思考。可以设立“解法数量”、“思路新颖性”等评价维度。
  2. 设计表现性任务：如数学小论文、课题研究报告、数学建模等，任务本身具有开放性，评价标准中明确包含“思维的广度与深度”、“方法的多样性”、“见解的独特性”等指标。
  3. 采用多元评价方式：除了教师评价，引入学生自评、互评。例如，在“一题多解”展示后，让学生相互评价不同解法的巧妙之处、适用条件和思维价值。

第六步：与聚敛性思维的协同培养
必须强调的是，数学中的发散性培养不是终点。课程设计的最终目标是实现“发散-聚敛”的思维循环：

  1. 先发散，后聚敛：面对新问题时，先鼓励自由联想、广泛探索各种可能（发散）；然后引导学生在多种可能性中进行比较、分析、评估，选择或综合出最优、最合理的解决方案（聚敛）。
  2. 聚敛中再发散：在得出一个结论或掌握一种方法后，再次引导学生：“这个结论还能推广吗？”“这个方法还能用在什么地方？”“这个条件还能怎么变？”，开启新一轮的发散。

通过以上六个步骤的系统设计，数学课程就能超越单纯的知识传授和技能训练，真正将学生思维发散性的培养落到实处，为他们未来的数学学习、问题解决和创新能力发展奠定坚实的基础。

数学课程设计中的数学思维发散性培养 数学思维发散性培养，是指数学课程设计通过特定的教学活动、任务和评价方式，有意识地引导学生从不同角度、不同路径、运用不同方法去思考和分析数学问题，从而产生多样化的解决方案、关联和猜想，是创造性思维的核心组成部分。与思维聚敛性（寻找标准答案）协同，构成完整的数学思维品质。 下面为你循序渐进地讲解这个概念的设计与实施。 第一步：理解“发散性思维”在数学中的核心内涵 首先，你需要明白，数学中的发散性思维不仅仅是“胡思乱想”。它是有目标、有逻辑的发散，其核心包括： 流畅性 ：在单位时间内产生尽可能多的数学想法、思路或解法。例如，面对一道几何证明题，能快速联想到多种可能的辅助线添加方法。 变通性 ：能够转换思考方向，从不同类别、不同维度思考问题。例如，将一个代数问题转化为几何图形来理解，或者用函数观点看数列问题。 独创性 ：能产生新颖、独特的见解或非常规的解决方案。这是发散性思维的高级表现，例如，用概率方法解决一个组合计数问题。 精致性 ：在已有想法的基础上进行补充、丰富和精细化，使其更严谨、更完善。 第二步：课程目标设定——从“一题一解”到“一题多解、一题多变、一法多用” 在课程设计中，培养发散性思维的目标是分层的： 基础目标 ：鼓励学生摆脱对“标准答案”的唯一路径依赖，乐于并敢于尝试不同的方法。 核心目标 ：培养学生“多元表征”和“多元联结”的能力，即能够用不同的数学形式（图形、符号、文字、表格）表达同一概念，并能在不同数学领域之间建立联系。 高级目标 ：引导学生从“解题”走向“提出问题”，能够对已知条件、结论或问题进行变换、推广和引申，提出新的、有价值的问题。 第三步：教学活动与任务设计的核心策略 这是课程设计的实操核心，需要精心设计教学环节： 开放式问题设计 ： 条件开放 ：给定结论，让学生补充或改变条件。如：“如何设计一个长方体，使其表面积为24平方厘米？”答案有无数组。 结论开放 ：给定条件，探索可能的结论。如：“观察函数y = x + 1/x的图像，你能发现哪些性质？” 策略开放 ：明确问题，但解法多样。经典如“鸡兔同笼”问题，可以有列表、画图、算术、方程等多种解法。 一题多解与多题归一训练 ： 一题多解 ：对典型题目，如证明“勾股定理”或求解“二次函数最值”，系统组织学生用代数、几何、三角等多种方法求解，并比较优劣。 多题归一 ：引导学生从表面不同的多个问题中，抽象出共同的数学模型或核心思想。例如，行程问题、工程问题、浓度问题都可归为“工作量=工作效率×时间”模型。 “问题链”与“问题串”设计 ： “问题链” ：由易到难、逻辑递进的问题系列，引导思维纵向深入。例如，从“三角形内角和是180度”出发，推导“四边形、五边形……n边形内角和”。 “问题串” ：围绕一个核心概念或方法，提出多个角度平行的、可独立探索的问题，引导思维横向发散。例如，围绕“圆的切线”，可同时提出与角度、线段、面积相关的一系列性质探索。 “假如…会怎样”的思维实验 ： 鼓励学生改变问题中的某个核心要素，进行“反事实”思考。例如：“假如平行公理不成立，三角形内角和会怎样？”“假如指数函数y=a^x的底数a为负数，图像和性质会如何变化？”这类活动能极大地激发思维的变通性与独创性。 第四步：教学组织与环境创设——鼓励“思维外化”与“安全表达” 思维可视化工具应用 ：鼓励学生使用思维导图、概念图来梳理对某个知识点（如“函数”）的所有可能联想和知识分支，将内部思维过程显性化，便于交流和评价。 合作探究与“头脑风暴” ：在小组学习中，设立明确规则（如不批评、求数量、结合与改进），围绕开放性问题进行集体自由联想，汇集多样化的观点和思路。 创设“容错”的课堂文化 ：明确告知学生，探索过程中的“错误”想法是宝贵的思维资源，往往能引出新的发现。教师对非常规思路应给予分析和鼓励，而非简单否定。 第五步：评价方式的改革——关注过程与多样性 评价是指挥棒，必须与教学目标一致： 过程性评价重于结果性评价 ：关注学生在解决问题时，是否尝试了多种策略，是否主动从不同角度进行思考。可以设立“解法数量”、“思路新颖性”等评价维度。 设计表现性任务 ：如数学小论文、课题研究报告、数学建模等，任务本身具有开放性，评价标准中明确包含“思维的广度与深度”、“方法的多样性”、“见解的独特性”等指标。 采用多元评价方式 ：除了教师评价，引入学生自评、互评。例如，在“一题多解”展示后，让学生相互评价不同解法的巧妙之处、适用条件和思维价值。 第六步：与聚敛性思维的协同培养 必须强调的是，数学中的发散性培养不是终点。课程设计的最终目标是实现“发散-聚敛”的思维循环： 先发散，后聚敛 ：面对新问题时，先鼓励自由联想、广泛探索各种可能（发散）；然后引导学生在多种可能性中进行比较、分析、评估，选择或综合出最优、最合理的解决方案（聚敛）。 聚敛中再发散 ：在得出一个结论或掌握一种方法后，再次引导学生：“这个结论还能推广吗？”“这个方法还能用在什么地方？”“这个条件还能怎么变？”，开启新一轮的发散。 通过以上六个步骤的系统设计，数学课程就能超越单纯的知识传授和技能训练，真正将学生思维发散性的培养落到实处，为他们未来的数学学习、问题解决和创新能力发展奠定坚实的基础。