模的正合分解

字数 4544 2025-12-18 19:50:19

模的正合分解

好的，我们开始讲解“模的正合分解”。这个主题是模论和同调代数中的基础但至关重要的工具，它为研究模的结构和性质提供了一种系统性的方法。

第一步：回顾核心前提——正合序列

在深入“正合分解”之前，我们必须清晰掌握“正合序列”这一基本概念。

模同态：假设 \(R\) 是一个环，\(M, N\) 是 \(R\)-模。一个从 \(M\) 到 \(N\) 的 \(R\)-模同态 \(f: M \to N\) 是一个映射，满足对任意 \(m, m' \in M\) 和 \(r \in R\)，有 \(f(m+m') = f(m) + f(m')\) 和 \(f(rm) = r f(m)\)。
核与像：同态 \(f: M \to N\) 的核是 \(M\) 中所有被映射到零元的元素构成的子模，即 \(\text{Ker}(f) = \{m \in M \mid f(m)=0\}\)。它的像是 \(N\) 中所有被映射到的元素构成的子模，即 \(\text{Im}(f) = \{f(m) \in N \mid m \in M\}\)。
正合性：考虑一个由模和同态构成的有限或无限序列：\(\cdots \to M_{i-1} \xrightarrow{f_{i-1}} M_i \xrightarrow{f_i} M_{i+1} \to \cdots\)。我们称这个序列在 \(M_i\) 处是正合的，如果前一个同态的像恰好等于后一个同态的核，即 \(\text{Im}(f_{i-1}) = \text{Ker}(f_i)\)。这意味着所有被 \(f_{i-1}\) 映射到 \(M_i\) 中的元素，恰好就是那些被 \(f_i\) 映射为零的元素。如果这个序列在每一处都是正合的，我们就称整个序列为一个正合序列。

第二步：从正合序列到分解——短正合序列的意义

最核心、最常用的正合序列形式是“短正合序列”。

定义：一个形如 \(0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\) 的序列被称为短正合序列。它的正合性意味着三点：

在 \(A\) 处：\(0 \to A\) 的像是 0，要求 \(\text{Ker}(f) = 0\)。这说明 \(f\) 是单同态（内射）。
在 \(B\) 处：\(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)。这说明 \(B\) 中“来自于 \(A\) 的部分”恰好是“映射到零的部分”。
在 \(C\) 处：\(\text{Im}(g) = C\)，要求 \(g\) 是满同态（满射）。

几何解释：短正合序列可以视为一个“分解”或“扩张”。它告诉我们，模 \(B\) 在某种意义上是“由 \(A\) 和 \(C\) 拼成的”。更具体地说：

\(A\) 可以看作是 \(B\) 的一个子模（通过单同态 \(f\) 嵌入）。
\(C\) 可以看作是 \(B\) 对子模 \(A\) 的商模（通过满同态 \(g\) 给出）。实际上，由正合性 \(C \cong B / \text{Im}(f) = B/A\)。
因此，短正合序列精确地描述了 \(B\) 是如何包含子模 \(A\) 并商出 \(C\) 的。我们说 \(B\) 是 \(C\) 通过 \(A\) 的一个扩张。

第三步：核心概念——模的正合分解

“正合分解”是短正合序列思想的推广和系统化应用，其目标是用一系列我们熟悉的、性质良好的模（如自由模、投射模、内射模、平坦模）来“逼近”或“表示”一个给定的模。

核心想法：对于一个给定的 \(R\)-模 \(M\)，我们想找到一列模（通常指标为非负整数），通过同态连接，构成一个“长的”正合序列，使得这个序列在某处“复原”出 \(M\) 本身，而其他位置的模都是我们选定的、性质良好的模。
投射分解：这是最经典的正合分解。对于模 \(M\)，它的一个投射分解是一个正合序列：

\[ \cdots \to P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\epsilon} M \to 0 \]

其中，每个 \(P_n\) 都是投射模（一种性质良好的模，其核心性质是从它出发到任何满同态的同态都可以提升）。\(\epsilon: P_0 \to M\) 是一个满同态，而正合性意味着：

\(\text{Im}(\epsilon) = M\)。
\(\text{Im}(d_1) = \text{Ker}(\epsilon)\)。
对 \(n \ge 1\)，有 \(\text{Im}(d_{n+1}) = \text{Ker}(d_n)\)。
这个序列从右向左看：首先用投射模 \(P_0\) 通过满同态 \(\epsilon\)“覆盖”了 \(M\)，但覆盖得“不精确”，有“误差” \(\text{Ker}(\epsilon)\)。然后用另一个投射模 \(P_1\) 来覆盖这个“误差” \(\text{Ker}(\epsilon)\)，得到 \(d_1: P_1 \to P_0\)，使得其像等于这个核。然后 \(P_1\) 覆盖“误差”时又产生了新的“误差” \(\text{Ker}(d_1)\)，再用 \(P_2\) 来覆盖……如此反复，用一列投射模来一层层精确地逼近 \(M\) 的结构。

内射分解：这是对偶的概念。对于模 \(M\)，它的一个内射分解是一个正合序列：

\[ 0 \to M \xrightarrow{\eta} I^0 \xrightarrow{d^0} I^1 \xrightarrow{d^1} I^2 \to \cdots \]

其中，每个 \(I^n\) 都是内射模（对偶性质良好的模，其核心性质是任何单同态到它的同态都可以延拓）。\(\eta: M \to I^0\) 是一个单同态，正合性意味着：

\(\text{Im}(\eta) = \text{Ker}(d^0)\)。
对 \(n \ge 0\)，有 \(\text{Im}(d^n) = \text{Ker}(d^{n+1})\)。
这个序列从左向右看：首先将 \(M\) 通过单同态 \(\eta\) 嵌入到内射模 \(I^0\) 中，但这个嵌入不“完全”，有“余差” \(I^0 / M\)。然后将这个“余差”嵌入到下一个内射模 \(I^1\) 中，得到 \(d^0: I^0 \to I^1\)，使得其核等于 \(M\) 的像。如此反复，用一列内射模来一层层包裹 \(M\)，研究其“补结构”。

平坦分解：类似地，我们可以用平坦模来构造分解，称为平坦分解：\(\cdots \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0\)，其中每个 \(F_i\) 是平坦模。

第四步：为什么需要正合分解？——导出函子的引入

正合分解并非只是抽象的构造，它是计算和研究导出函子的基石。导出函子是同调代数的核心工具，用于测量“非正合性”和探测模的深层性质。

函子的非正合性：考虑一个函子，比如 \(\text{Hom}(N, -)\)（将模 \(M\) 映射为阿贝尔群 \(\text{Hom}_R(N, M)\)）。如果 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 是短正合序列，那么施加函子后得到的序列 \(0 \to \text{Hom}(N, A) \to \text{Hom}(N, B) \to \text{Hom}(N, C)\) 总是正合的，但最右边的同态可能不是满的。也就是说，函子破坏了原序列的“右正合性”。
用分解修补正合性：为了系统化地研究这种“破损”，我们对模 \(M\) 取一个内射分解 \(0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \cdots\)。然后对这个分解（去掉开头的 \(M\)）施加函子 \(\text{Hom}(N, -)\)，得到一个新的复形：\(0 \to \text{Hom}(N, I^0) \to \text{Hom}(N, I^1) \to \cdots\)。这个新序列不一定正合，但我们可以取它的上同调。
定义导出函子：我们定义Ext 函子为：\(\text{Ext}^n_R(N, M) := H^n(\text{Hom}_R(N, I^\bullet))\)，即上面那个复形的第 \(n\) 阶上同调模。关键定理表明，这个定义与所选的内射分解（对 \(M\)）或投射分解（对 \(N\)）无关。Ext 函子精确地刻画了短正合序列扩张的等价类，是研究模的扩张性质和同调维数的基本工具。
Tor 函子：类似地，对张量积函子 \(-\otimes_R N\)（它是一个右正合函子），我们对模 \(M\) 取一个投射分解 \(\cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0\)，施加函子 \(-\otimes_R N\) 得到复形 \(\cdots \to P_1 \otimes N \to P_0 \otimes N \to 0\)，然后取它的同调，就定义了 Tor 函子：\(\text{Tor}^R_n(M, N) := H_n(P_\bullet \otimes_R N)\)。它用于研究张量积的“非正合”行为，与平坦性、挠理论密切相关。

第五步：正合分解的应用与重要性总结

计算不变量：如上所述，正合分解是定义和计算同调不变量（如 Ext, Tor, 各种同调维数）的通用框架。通过选择不同的分解（投射、内射、平坦），我们可以从不同角度研究模。
比较与提升：存在“比较引理”，它保证了在构造导出函子时，任意两个分解之间都存在链映射，并且链映射在链同伦的意义下是唯一的。这确保了导出函子定义的良定性。
揭示结构信息：分解本身就能提供信息。例如，一个模具有有限长度的投射分解（即存在一个在某步之后全为0的投射分解）与其具有有限的投射维数等价，这是衡量模复杂性的重要指标。
统一视角：正合分解的观点将许多经典构造统一起来。例如，群的上同调可以被视为将群 \(G\) 的平凡模 \(\mathbb{Z}\) 视为 \(\mathbb{Z}G\)-模，然后取其投射分解，再应用 \(\text{Hom}_{\mathbb{Z}G}(-, M)\) 并取上同调得到的。

总而言之，模的正合分解是一种将任意模表示为一系列“好”模（如投射模、内射模）通过正合序列连接起来的强大工具。它不仅是构造导出函子（如 Ext 和 Tor）的严格基础，使我们能够量化并研究各种函子的“非正合”偏差，同时也为理解模的深层结构和同调性质提供了系统的代数框架。

模的正合分解好的，我们开始讲解“模的正合分解”。这个主题是模论和同调代数中的基础但至关重要的工具，它为研究模的结构和性质提供了一种系统性的方法。第一步：回顾核心前提——正合序列在深入“正合分解”之前，我们必须清晰掌握“正合序列”这一基本概念。模同态：假设 \(R\) 是一个环，\(M, N\) 是 \(R\)-模。一个从 \(M\) 到 \(N\) 的 \(R\)-模同态 \(f: M \to N\) 是一个映射，满足对任意 \(m, m' \in M\) 和 \(r \in R\)，有 \(f(m+m') = f(m) + f(m')\) 和 \(f(rm) = r f(m)\)。核与像：同态 \(f: M \to N\) 的核是 \(M\) 中所有被映射到零元的元素构成的子模，即 \(\text{Ker}(f) = \{m \in M \mid f(m)=0\}\)。它的像是 \(N\) 中所有被映射到的元素构成的子模，即 \(\text{Im}(f) = \{f(m) \in N \mid m \in M\}\)。正合性：考虑一个由模和同态构成的有限或无限序列：\( \cdots \to M_ {i-1} \xrightarrow{f_ {i-1}} M_ i \xrightarrow{f_ i} M_ {i+1} \to \cdots \)。我们称这个序列在 \(M_ i\) 处是正合的，如果前一个同态的像恰好等于后一个同态的核，即 \(\text{Im}(f_ {i-1}) = \text{Ker}(f_ i)\)。这意味着所有被 \(f_ {i-1}\) 映射到 \(M_ i\) 中的元素，恰好就是那些被 \(f_ i\) 映射为零的元素。如果这个序列在每一处都是正合的，我们就称整个序列为一个正合序列。第二步：从正合序列到分解——短正合序列的意义最核心、最常用的正合序列形式是“短正合序列”。定义：一个形如 \(0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\) 的序列被称为短正合序列。它的正合性意味着三点：在 \(A\) 处：\(0 \to A\) 的像是 0，要求 \(\text{Ker}(f) = 0\)。这说明 \(f\) 是单同态（内射）。在 \(B\) 处：\(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)。这说明 \(B\) 中“来自于 \(A\) 的部分”恰好是“映射到零的部分”。在 \(C\) 处：\(\text{Im}(g) = C\)，要求 \(g\) 是满同态（满射）。几何解释：短正合序列可以视为一个“分解”或“扩张”。它告诉我们，模 \(B\) 在某种意义上是“由 \(A\) 和 \(C\) 拼成的”。更具体地说： \(A\) 可以看作是 \(B\) 的一个子模（通过单同态 \(f\) 嵌入）。 \(C\) 可以看作是 \(B\) 对子模 \(A\) 的商模（通过满同态 \(g\) 给出）。实际上，由正合性 \(C \cong B / \text{Im}(f) = B/A\)。因此，短正合序列精确地描述了 \(B\) 是如何包含子模 \(A\) 并商出 \(C\) 的。我们说 \(B\) 是 \(C\) 通过 \(A\) 的一个扩张。第三步：核心概念——模的正合分解 “正合分解”是短正合序列思想的推广和系统化应用，其目标是用一系列我们熟悉的、性质良好的模（如自由模、投射模、内射模、平坦模）来“逼近”或“表示”一个给定的模。核心想法：对于一个给定的 \(R\)-模 \(M\)，我们想找到一列模（通常指标为非负整数），通过同态连接，构成一个“长的”正合序列，使得这个序列在某处“复原”出 \(M\) 本身，而其他位置的模都是我们选定的、性质良好的模。投射分解：这是最经典的正合分解。对于模 \(M\)，它的一个投射分解是一个正合序列： \[ \cdots \to P_ 2 \xrightarrow{d_ 2} P_ 1 \xrightarrow{d_ 1} P_ 0 \xrightarrow{\epsilon} M \to 0 \] 其中，每个 \(P_ n\) 都是投射模（一种性质良好的模，其核心性质是从它出发到任何满同态的同态都可以提升）。\(\epsilon: P_ 0 \to M\) 是一个满同态，而正合性意味着： \(\text{Im}(\epsilon) = M\)。 \(\text{Im}(d_ 1) = \text{Ker}(\epsilon)\)。对 \(n \ge 1\)，有 \(\text{Im}(d_ {n+1}) = \text{Ker}(d_ n)\)。这个序列从右向左看：首先用投射模 \(P_ 0\) 通过满同态 \(\epsilon\)“覆盖”了 \(M\)，但覆盖得“不精确”，有“误差” \(\text{Ker}(\epsilon)\)。然后用另一个投射模 \(P_ 1\) 来覆盖这个“误差” \(\text{Ker}(\epsilon)\)，得到 \(d_ 1: P_ 1 \to P_ 0\)，使得其像等于这个核。然后 \(P_ 1\) 覆盖“误差”时又产生了新的“误差” \(\text{Ker}(d_ 1)\)，再用 \(P_ 2\) 来覆盖……如此反复，用一列投射模来一层层精确地逼近 \(M\) 的结构。内射分解：这是对偶的概念。对于模 \(M\)，它的一个内射分解是一个正合序列： \[ 0 \to M \xrightarrow{\eta} I^0 \xrightarrow{d^0} I^1 \xrightarrow{d^1} I^2 \to \cdots \] 其中，每个 \(I^n\) 都是内射模（对偶性质良好的模，其核心性质是任何单同态到它的同态都可以延拓）。\(\eta: M \to I^0\) 是一个单同态，正合性意味着： \(\text{Im}(\eta) = \text{Ker}(d^0)\)。对 \(n \ge 0\)，有 \(\text{Im}(d^n) = \text{Ker}(d^{n+1})\)。这个序列从左向右看：首先将 \(M\) 通过单同态 \(\eta\) 嵌入到内射模 \(I^0\) 中，但这个嵌入不“完全”，有“余差” \(I^0 / M\)。然后将这个“余差”嵌入到下一个内射模 \(I^1\) 中，得到 \(d^0: I^0 \to I^1\)，使得其核等于 \(M\) 的像。如此反复，用一列内射模来一层层包裹 \(M\)，研究其“补结构”。平坦分解：类似地，我们可以用平坦模来构造分解，称为平坦分解：\(\cdots \to F_ 2 \to F_ 1 \to F_ 0 \to M \to 0\)，其中每个 \(F_ i\) 是平坦模。第四步：为什么需要正合分解？——导出函子的引入正合分解并非只是抽象的构造，它是计算和研究导出函子的基石。导出函子是同调代数的核心工具，用于测量“非正合性”和探测模的深层性质。函子的非正合性：考虑一个函子，比如 \(\text{Hom}(N, -)\)（将模 \(M\) 映射为阿贝尔群 \(\text{Hom}_ R(N, M)\)）。如果 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 是短正合序列，那么施加函子后得到的序列 \(0 \to \text{Hom}(N, A) \to \text{Hom}(N, B) \to \text{Hom}(N, C)\) 总是正合的，但最右边的同态可能不是满的。也就是说，函子破坏了原序列的“右正合性”。用分解修补正合性：为了系统化地研究这种“破损”，我们对模 \(M\) 取一个内射分解 \(0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \cdots\)。然后对这个分解（去掉开头的 \(M\)）施加函子 \(\text{Hom}(N, -)\)，得到一个新的复形：\(0 \to \text{Hom}(N, I^0) \to \text{Hom}(N, I^1) \to \cdots\)。这个新序列不一定正合，但我们可以取它的上同调。定义导出函子：我们定义 Ext 函子为：\(\text{Ext}^n_ R(N, M) := H^n(\text{Hom}_ R(N, I^\bullet))\)，即上面那个复形的第 \(n\) 阶上同调模。关键定理表明，这个定义与所选的内射分解（对 \(M\)）或投射分解（对 \(N\)）无关。Ext 函子精确地刻画了短正合序列扩张的等价类，是研究模的扩张性质和同调维数的基本工具。 Tor 函子：类似地，对张量积函子 \(-\otimes_ R N\)（它是一个右正合函子），我们对模 \(M\) 取一个投射分解 \(\cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to M \to 0\)，施加函子 \(-\otimes_ R N\) 得到复形 \(\cdots \to P_ 1 \otimes N \to P_ 0 \otimes N \to 0\)，然后取它的同调，就定义了 Tor 函子：\(\text{Tor}^R_ n(M, N) := H_ n(P_ \bullet \otimes_ R N)\)。它用于研究张量积的“非正合”行为，与平坦性、挠理论密切相关。第五步：正合分解的应用与重要性总结计算不变量：如上所述，正合分解是定义和计算同调不变量（如 Ext, Tor, 各种同调维数）的通用框架。通过选择不同的分解（投射、内射、平坦），我们可以从不同角度研究模。比较与提升：存在“比较引理”，它保证了在构造导出函子时，任意两个分解之间都存在链映射，并且链映射在链同伦的意义下是唯一的。这确保了导出函子定义的良定性。揭示结构信息：分解本身就能提供信息。例如，一个模具有有限长度的投射分解（即存在一个在某步之后全为0的投射分解）与其具有有限的投射维数等价，这是衡量模复杂性的重要指标。统一视角：正合分解的观点将许多经典构造统一起来。例如，群的上同调可以被视为将群 \(G\) 的平凡模 \(\mathbb{Z}\) 视为 \(\mathbb{Z}G\)-模，然后取其投射分解，再应用 \(\text{Hom}_ {\mathbb{Z}G}(-, M)\) 并取上同调得到的。总而言之，模的正合分解是一种将任意模表示为一系列“好”模（如投射模、内射模）通过正合序列连接起来的强大工具。它不仅是构造导出函子（如 Ext 和 Tor）的严格基础，使我们能够量化并研究各种函子的“非正合”偏差，同时也为理解模的深层结构和同调性质提供了系统的代数框架。