双曲旋转

字数 3654 2025-12-18 18:27:52

双曲旋转

双曲旋转，也称为洛伦兹旋转或伪旋转，是闵可夫斯基平面上一种保持“时空距离”（即闵可夫斯基内积）不变的线性变换。与欧氏空间的旋转不同，它保持的是一种非正定的“距离”，是狭义相对论和双曲几何中的核心概念。我们可以从基础概念一步步构建对它的理解。

第一步：从欧氏旋转到双曲旋转的动机
在熟悉的欧几里得平面 \(\mathbb{R}^2\) 上，一个旋转用旋转矩阵表示：

\[R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

它保持标准的点积（内积） \(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2\) 不变，从而保持点的欧氏距离 \(d^2 = x_1^2 + x_2^2\) 不变。在闵可夫斯基平面（即（1+1）维时空）中，点（或事件）的坐标是 \((t, x)\)，其基本的“平方间隔”定义为 \(s^2 = t^2 - x^2\)（设光速 \(c=1\)）。我们需要找到能保持这种形式不变的“旋转”。

第二步：定义洛伦兹内积与双曲角
引入洛伦兹内积，对于向量 \(\mathbf{u} = (u_0, u_1), \mathbf{v} = (v_0, v_1)\)，定义为：

\[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_0 v_0 - u_1 v_1 \]

注意这里的符号差是 \((+,-)\)，与欧氏内积 \((+,+)\) 不同。我们需要一个线性变换 \(L\)，使得对所有向量 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\)，满足 \(\langle L\mathbf{u}, L\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\)。这个 \(L\) 称为洛伦兹变换（在（1+1）维情形，即双曲旋转）。
在欧氏旋转中，参数是角度 \(\theta\)。在这里，参数称为快度（rapidity），通常记为 \(\phi\)。它的物理意义是相对论速度 \(v\) 满足 \(v = \tanh \phi\)。双曲函数将替代三角函数。

第三步：推导双曲旋转矩阵的形式
我们寻找一个 \(2 \times 2\) 矩阵 \(L\)，形式设为：

\[L(\phi) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

它应满足保内积条件：\(\langle L\mathbf{e}_0, L\mathbf{e}_0 \rangle = 1\)， \(\langle L\mathbf{e}_1, L\mathbf{e}_1 \rangle = -1\)， \(\langle L\mathbf{e}_0, L\mathbf{e}_1 \rangle = 0\)，其中 \(\mathbf{e}_0 = (1,0), \mathbf{e}_1 = (0,1)\) 是标准基向量。
设：

\[L\mathbf{e}_0 = (a, c), \quad L\mathbf{e}_1 = (b, d) \]

由条件可得：

\(a^2 - c^2 = 1\)
\(b^2 - d^2 = -1\)
\(ab - cd = 0\)
方程1暗示我们可以用双曲函数参数化：\(a = \cosh \phi, \, c = \sinh \phi\)，因为 \(\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi = 1\)。
方程2暗示： \(d^2 - b^2 = 1\)，类似可设 \(d = \cosh \psi, \, b = \sinh \psi\)。
代入方程3：\(\cosh \phi \sinh \psi - \sinh \phi \cosh \psi = 0\)，即 \(\sinh(\psi - \phi) = 0\)，所以 \(\psi = \phi\)。
因此，我们得到标准的（沿 \(x\) 方向 boost 的）双曲旋转矩阵：

\[L(\phi) = \begin{pmatrix} \cosh\phi & \sinh\phi \\ \sinh\phi & \cosh\phi \end{pmatrix} \]

它对坐标 \((t, x)\) 的作用为：

\[\begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\phi & \sinh\phi \\ \sinh\phi & \cosh\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t\cosh\phi + x\sinh\phi \\ t\sinh\phi + x\cosh\phi \end{pmatrix} \]

第四步：双曲旋转的几何效应与速度解释
将快度 \(\phi\) 与物理速度 \(v\) 联系起来。考虑一个静止在 \(x'=0\) 的观察者（即新参考系的原点）。在旧坐标系中，其世界线满足 \(x' = 0 = t\sinh\phi + x\cosh\phi\)，即 \(x = -t\tanh\phi\)。这表明这个观察者在旧系中以速度 \(v = - \tanh \phi\) 运动。通常，我们取相对速度 \(v = \tanh \phi\)（方向取决于符号），则：

\[\cosh\phi = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}, \quad \sinh\phi = \gamma v \]

于是矩阵用速度表示为：

\[L = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma v \\ \gamma v & \gamma \end{pmatrix} \]

这就是著名的洛伦兹变换公式。双曲旋转的几何效应是将时空点沿着双曲线 \(t^2 - x^2 = \text{常数}\) 移动，而不像欧氏旋转沿着圆移动。

第五步：基本性质的数学分析

保时空间隔：直接计算 \(t'^2 - x'^2 = (t\cosh\phi + x\sinh\phi)^2 - (t\sinh\phi + x\cosh\phi)^2 = t^2 - x^2\)。
结合性与群结构：双曲旋转的集合在矩阵乘法下构成一个群（一维洛伦兹群，或称为双曲旋转群），因为 \(L(\phi_1) L(\phi_2) = L(\phi_1 + \phi_2)\)，这是由双曲函数的加法公式保证的。这与欧氏旋转群 \(SO(2)\) 的结构类似，但参数加法对应快度加法，这正是相对论速度合成律 \(v = \tanh(\phi_1 + \phi_2)\) 的来源。
特征向量与光锥：矩阵 \(L(\phi)\) 的特征值满足 \(\lambda^2 - 2\cosh\phi \, \lambda + 1 = 0\)，解得 \(\lambda = e^{\pm \phi}\)。对应的特征向量是 \((1, \pm 1)\) 方向，即沿着光锥（\(t = \pm x\)）的方向。这意味着光速方向在双曲旋转下不变（物理上对应光速不变原理）。

第六步：在双曲几何模型中的体现
在双曲几何的庞加莱圆盘模型或上半平面模型中，等距变换由莫比乌斯变换给出。双曲旋转对应于这些模型中保持某个“圆心”不动的等距变换。例如，在上半平面模型中，以点 \(i\) 为中心的“旋转”是变换 \(z \mapsto kz\)（\(k>0\)），这实际上是沿着一条测地线（垂直于边界的半圆）的平移。在闵可夫斯基空间中，将双曲面 \(t^2 - x^2 - y^2 = 1\)（双曲面模型）上的点用坐标表示时，围绕时间轴的变换就是双曲旋转。因此，双曲旋转本质上是二维双曲几何的基本等距变换之一。

第七步：推广与高维情形
在（1+3）维闵可夫斯基时空（即狭义相对论时空）中，完整的洛伦兹群包含空间旋转（三维旋转子群）和沿任意方向的 boost（即双曲旋转）。每个 boost 都可以视为在由时间轴和该方向空间轴张成的二维平面内进行的双曲旋转，而保持与该平面正交的空间方向不变。因此，理解（1+1）维的双曲旋转是理解高维洛伦兹变换的基础。其数学本质是保持一个不定度量不变的线性变换，属于伪正交群 \(O(1,1)\) 或 \(SO^+(1,1)\)（保持时间方向的连通分支）。

双曲旋转双曲旋转，也称为洛伦兹旋转或伪旋转，是闵可夫斯基平面上一种保持“时空距离”（即闵可夫斯基内积）不变的线性变换。与欧氏空间的旋转不同，它保持的是一种非正定的“距离”，是狭义相对论和双曲几何中的核心概念。我们可以从基础概念一步步构建对它的理解。第一步：从欧氏旋转到双曲旋转的动机在熟悉的欧几里得平面 \(\mathbb{R}^2\) 上，一个旋转用旋转矩阵表示： \[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \] 它保持标准的点积（内积） \( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_ 1 y_ 1 + x_ 2 y_ 2 \) 不变，从而保持点的欧氏距离 \(d^2 = x_ 1^2 + x_ 2^2\) 不变。在闵可夫斯基平面（即（1+1）维时空）中，点（或事件）的坐标是 \((t, x)\)，其基本的“平方间隔”定义为 \(s^2 = t^2 - x^2\)（设光速 \(c=1\)）。我们需要找到能保持这种形式不变的“旋转”。第二步：定义洛伦兹内积与双曲角引入洛伦兹内积，对于向量 \(\mathbf{u} = (u_ 0, u_ 1), \mathbf{v} = (v_ 0, v_ 1)\)，定义为： \[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_ 0 v_ 0 - u_ 1 v_ 1 \] 注意这里的符号差是 \((+,-)\)，与欧氏内积 \((+,+)\) 不同。我们需要一个线性变换 \(L\)，使得对所有向量 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\)，满足 \(\langle L\mathbf{u}, L\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\)。这个 \(L\) 称为洛伦兹变换（在（1+1）维情形，即双曲旋转）。在欧氏旋转中，参数是角度 \(\theta\)。在这里，参数称为快度（rapidity），通常记为 \(\phi\)。它的物理意义是相对论速度 \(v\) 满足 \(v = \tanh \phi\)。双曲函数将替代三角函数。第三步：推导双曲旋转矩阵的形式我们寻找一个 \(2 \times 2\) 矩阵 \(L\)，形式设为： \[ L(\phi) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] 它应满足保内积条件：\(\langle L\mathbf{e}_ 0, L\mathbf{e}_ 0 \rangle = 1\)， \(\langle L\mathbf{e}_ 1, L\mathbf{e}_ 1 \rangle = -1\)， \(\langle L\mathbf{e}_ 0, L\mathbf{e}_ 1 \rangle = 0\)，其中 \(\mathbf{e}_ 0 = (1,0), \mathbf{e}_ 1 = (0,1)\) 是标准基向量。设： \[ L\mathbf{e}_ 0 = (a, c), \quad L\mathbf{e}_ 1 = (b, d) \] 由条件可得： \(a^2 - c^2 = 1\) \(b^2 - d^2 = -1\) \(ab - cd = 0\) 方程1暗示我们可以用双曲函数参数化：\(a = \cosh \phi, \, c = \sinh \phi\)，因为 \(\cosh^2 \phi - \sinh^2 \phi = 1\)。方程2暗示： \(d^2 - b^2 = 1\)，类似可设 \(d = \cosh \psi, \, b = \sinh \psi\)。代入方程3：\(\cosh \phi \sinh \psi - \sinh \phi \cosh \psi = 0\)，即 \(\sinh(\psi - \phi) = 0\)，所以 \(\psi = \phi\)。因此，我们得到标准的（沿 \(x\) 方向 boost 的）双曲旋转矩阵： \[ L(\phi) = \begin{pmatrix} \cosh\phi & \sinh\phi \\ \sinh\phi & \cosh\phi \end{pmatrix} \] 它对坐标 \((t, x)\) 的作用为： \[ \begin{pmatrix} t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\phi & \sinh\phi \\ \sinh\phi & \cosh\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t\cosh\phi + x\sinh\phi \\ t\sinh\phi + x\cosh\phi \end{pmatrix} \] 第四步：双曲旋转的几何效应与速度解释将快度 \(\phi\) 与物理速度 \(v\) 联系起来。考虑一个静止在 \(x'=0\) 的观察者（即新参考系的原点）。在旧坐标系中，其世界线满足 \(x' = 0 = t\sinh\phi + x\cosh\phi\)，即 \(x = -t\tanh\phi\)。这表明这个观察者在旧系中以速度 \(v = - \tanh \phi\) 运动。通常，我们取相对速度 \(v = \tanh \phi\)（方向取决于符号），则： \[ \cosh\phi = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}, \quad \sinh\phi = \gamma v \] 于是矩阵用速度表示为： \[ L = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma v \\ \gamma v & \gamma \end{pmatrix} \] 这就是著名的洛伦兹变换公式。双曲旋转的几何效应是将时空点沿着双曲线 \(t^2 - x^2 = \text{常数}\) 移动，而不像欧氏旋转沿着圆移动。第五步：基本性质的数学分析保时空间隔：直接计算 \(t'^2 - x'^2 = (t\cosh\phi + x\sinh\phi)^2 - (t\sinh\phi + x\cosh\phi)^2 = t^2 - x^2\)。结合性与群结构：双曲旋转的集合在矩阵乘法下构成一个群（一维洛伦兹群，或称为双曲旋转群），因为 \(L(\phi_ 1) L(\phi_ 2) = L(\phi_ 1 + \phi_ 2)\)，这是由双曲函数的加法公式保证的。这与欧氏旋转群 \(SO(2)\) 的结构类似，但参数加法对应快度加法，这正是相对论速度合成律 \(v = \tanh(\phi_ 1 + \phi_ 2)\) 的来源。特征向量与光锥：矩阵 \(L(\phi)\) 的特征值满足 \(\lambda^2 - 2\cosh\phi \, \lambda + 1 = 0\)，解得 \(\lambda = e^{\pm \phi}\)。对应的特征向量是 \((1, \pm 1)\) 方向，即沿着光锥（\(t = \pm x\)）的方向。这意味着光速方向在双曲旋转下不变（物理上对应光速不变原理）。第六步：在双曲几何模型中的体现在双曲几何的庞加莱圆盘模型或上半平面模型中，等距变换由莫比乌斯变换给出。双曲旋转对应于这些模型中保持某个“圆心”不动的等距变换。例如，在上半平面模型中，以点 \(i\) 为中心的“旋转”是变换 \(z \mapsto kz\)（\(k>0\)），这实际上是沿着一条测地线（垂直于边界的半圆）的平移。在闵可夫斯基空间中，将双曲面 \(t^2 - x^2 - y^2 = 1\)（双曲面模型）上的点用坐标表示时，围绕时间轴的变换就是双曲旋转。因此，双曲旋转本质上是二维双曲几何的基本等距变换之一。第七步：推广与高维情形在（1+3）维闵可夫斯基时空（即狭义相对论时空）中，完整的洛伦兹群包含空间旋转（三维旋转子群）和沿任意方向的 boost（即双曲旋转）。每个 boost 都可以视为在由时间轴和该方向空间轴张成的二维平面内进行的双曲旋转，而保持与该平面正交的空间方向不变。因此，理解（1+1）维的双曲旋转是理解高维洛伦兹变换的基础。其数学本质是保持一个不定度量不变的线性变换，属于伪正交群 \(O(1,1)\) 或 \(SO^+(1,1)\)（保持时间方向的连通分支）。