遍历理论中的可压缩变换的遍历同调 首先，让我们明确几个基本概念，为理解这个新词条铺路。 可压缩变换 ：在遍历理论中，一个保测变换 \(T: (X, \mu) \to (X, \mu)\) 被称为是 可压缩的 ，如果存在一个非平凡的集合 \(A \subset X\) 使得其正向轨道 \(\{T^nA\}_ {n \ge 0}\) 的并集是整个空间 \(X\)，并且这些集合是几乎处处不相交的。直观上，这意味着你可以用变换的迭代来“铺满”整个空间，就像用一块瓷砖平移铺满地板一样。这是一个比遍历性更强的性质，它蕴含了正向遍历性，并且与变换的谱性质（如具有纯点谱）有深刻联系。 群作用与上同调 ：当考虑一个群 \(G\)（例如整数群 \(\mathbb{Z}\) 或更一般的可数群）在测度空间 \((X, \mu)\) 上的保测作用时，我们常常研究与该作用相关的 上同调 。具体来说，给定一个目标群 \(H\)（通常是实数加法群 \(\mathbb{R}\) 或圆周群 \(S^1\)），一个取值在 \(H\) 中的 1-上循环 是一个函数 \(\alpha: G \times X \to H\)，满足上循环方程：\(\alpha(g_ 1 g_ 2, x) = \alpha(g_ 1, g_ 2 \cdot x) + \alpha(g_ 2, x)\)。如果存在一个可测函数 \(f: X \to H\) 使得 \(\alpha(g, x) = f(g \cdot x) - f(x)\)，则称 \(\alpha\) 是一个 上边界 。上循环模去上边界得到的群，就是 第一上同调群 \(H^1(G, X; H)\)。这个群分类了作用的不同“扭曲”或“挠动”。 现在，我们将这两个概念结合起来，进入核心。 遍历同调 ：这是动力系统上同调理论的一个分支，特别关注于当群作用 \(G \curvearrowright (X, \mu)\) 是遍历的（甚至是可压缩的）时，其上同调的表现。在这种情况下，许多经典的代数拓扑中的上同调性质会表现出强烈的“刚性”或“正则性”。例如，对于遍历的 \(\mathbb{Z}\) 作用，任何实值上循环如果满足一定的可积性条件，几乎必然是一个上边界加上一个常数。这种现象被称为 上同调的遍历正则性 。 可压缩变换的遍历同调 ：这是我们词条的核心。当群作用不仅是遍历的，而且是 可压缩的 时，其上同调理论会展现出更强、更清晰的结论。 平凡上同调 ：对于具有可压缩变换的群作用（例如，一个可压缩的 \(\mathbb{Z}\) 作用生成），其取值在紧致阿贝尔群（如 \(S^1\)）中的第一上同调群往往会变得更小，甚至平凡。这是因为可压缩性提供的“铺砌”结构，使得任何上循环都可以通过某种平均过程构造出上边界，从而证明它是平凡的。这反映了动力系统的刚性：可压缩变换的结构非常规则，以至于不允许“非平凡”的上同调类存在。 与谱理论的联系 ：上同调和算子的谱理论紧密相连。一个可压缩变换 \(T\) 通常具有纯点谱。对于这样的变换，其酉算子 \(U_ T f = f \circ T\) 的特征函数 \(f\) 恰好对应于取值在 \(S^1\) 中的平凡上同调（即上边界）的生成函数。研究可压缩变换的上同调，可以帮助我们精细地理解其谱的生成元及其关系。 在光滑动力系统中的应用 ：在微分动力系统（光滑遍历理论）中，如果一个作用在流形上的光滑 \(\mathbb{Z}^d\) 或 \(\mathbb{R}^d\) 作用是可压缩的（在某种意义下），那么其上同调的刚性结论可以被用来推导作用的几何刚性。例如，它可以用来证明某些叶状结构的线性化，或者证明作用是通过一个阿贝尔李群的仿射作用来实现的。这连接了遍历理论、上同调和几何。 总结来说， 遍历理论中的可压缩变换的遍历同调 研究的是，当动力系统具有“铺砌”空间这种高度规则结构时，与之关联的上同调理论所展现出的特殊刚性现象。它揭示了可压缩性这一遍历性质如何深刻地约束了动力系统上可能的“扭曲”或“挠动”（由上同调类描述），并成为联系遍历性质、谱理论与光滑动力系统几何结构的桥梁。