数值稳定性 数值稳定性是计算数学中分析算法在有限精度运算下误差传播行为的重要概念。它研究的是，当算法输入存在微小扰动（如舍入误差）时，输出结果的变化是否在可控范围内。 1. 问题的起源：误差 在实际的科学计算中，我们无法进行无限的精确运算。计算机使用浮点数系统表示实数，这必然会引入 舍入误差 。此外，输入数据本身也可能来自测量或之前的计算，存在 数据误差 。一个“好”的算法应该对这些微小的初始误差不敏感，即不会让误差在计算过程中被急剧放大。 2. 核心概念：前向误差与后向误差 要量化稳定性，我们首先定义两种误差： 前向误差 ：计算得到的近似解与真实解之间的差距。这是我们最终关心的误差。 后向误差 ：将近似解作为某个“扰动后的问题”的精确解时，这个“扰动后的问题”与原问题之间的差距。 数值稳定性的核心思想是：一个算法如果其 后向误差很小 ，那么我们就认为它是一个“好”算法。因为这意味着，这个算法给出的解，虽然对于原问题不精确，但它却是另一个非常接近原问题的问题的精确解。如果这个“扰动后的问题”的解对扰动不敏感，那么小的后向误差就会导致小的前向误差。 3. 稳定性的分类 基于误差传播的行为，算法通常被分为以下几类： 数值稳定的算法 ：计算过程中引入的舍入误差的增长是可控的，或者说是缓慢的，不会淹没真正的结果。其前向误差与问题的 条件数 （一个衡量问题本身对输入误差敏感度的量）所决定的下限相当。 数值不稳定的算法 ：计算过程中微小的舍入误差会被急剧放大，导致最终结果完全偏离真实值，变得毫无意义。 条件稳定的算法 ：稳定性取决于某些参数（如步长），只有在参数满足特定条件时算法才是稳定的。 4. 一个经典的不稳定算法例子：二次方程求根 考虑二次方程 \(x^2 - 1000.001x + 1 = 0\)。其精确根非常接近 \(r_ 1 \approx 1000\) 和 \(r_ 2 \approx 0.001\)。 如果我们使用标准的求根公式 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) 在一位有效数字的十进制浮点数系统下计算： 判别式 \(b^2 - 4ac = 1000002 - 4 \approx 1000000\)，开方后为 \(1000.0005 \approx 1000\)（因为只能保留4位有效数字）。 对于大根 \(r_ 1\)：\(x_ 1 = (1000.001 + 1000) / 2 = 2000.001 / 2 \approx 1000\)。这个结果相对准确。 对于小根 \(r_ 2\)：\(x_ 2 = (1000.001 - 1000) / 2 = 0.001 / 2 = 0.0005\)。这与真实值 \(0.001\) 相差一倍，相对误差高达50%！ 不稳定性分析 ：这里的不稳定性源于“相近数相减”导致了 有效数字消失 。在计算分子时，两个相近的大数相减，放大了舍入误差。 5. 将其转化为稳定算法 对于上面的例子，我们可以利用韦达定理 \(x_ 1 \cdot x_ 2 = c/a\) 来设计稳定算法。 首先用标准公式计算绝对值较大的根 \(x_ 1 \approx 1000\)（这个计算是稳定的）。 然后利用 \(x_ 2 = (c/a) / x_ 1 = 1 / 1000 = 0.001\) 来计算小根。 这个新算法避免了直接相减，从而得到了精确的小根。 6. 稳定性与其他领域的联系 数值稳定性的分析渗透在计算数学的各个分支： 数值线性代数 ：高斯消元法需要选主元（Partial Pivoting）来保证稳定性。 数值微积分 ：某些数值积分公式对高振荡函数不稳定。 微分方程数值解 ：稳定性是核心议题，催生了 绝对稳定性区域 等概念。 总结来说，数值稳定性关注的不是算法在精确算术下的理论表现，而是其在有限精度这个现实约束下的鲁棒性。设计数值算法时，稳定性是与效率、精度同等重要的考量因素。