分析学词条：费耶尔定理（Fejér's Theorem）

字数 3077 2025-12-18 15:25:11

分析学词条：费耶尔定理（Fejér's Theorem）

我们从一个实际问题开始理解这个定理的背景和重要性。

第一步：从傅里叶级数的收敛问题引入
你已经知道，一个周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f\)，如果其在区间 \([-\pi, \pi]\) 上可积（比如黎曼可积或勒贝格可积），就可以构造其傅里叶级数：

\[S[f](x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]

其中系数 \(a_n, b_n\) 由积分公式给出。
然而，一个核心问题是：这个级数是否收敛？即使收敛，它是否一定收敛到函数 \(f(x)\) 本身？历史上，杜布瓦-雷蒙给出了一个连续函数，其傅里叶级数在某个点发散的例子。这说明，即使函数性质很好（连续），其傅里叶级数的“逐点收敛性”也并非必然。这促使数学家寻找新的、更稳健的求和方法来从傅里叶级数中“恢复”原函数。

第二步：部分和、算术平均与“求和法”
傅里叶级数的前 \(N\) 项部分和记为：

\[s_N(f; x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]

直接研究 \(s_N\) 当 \(N \to \infty\) 时的极限（即通常的收敛）是困难的。匈牙利数学家费耶尔引入了一个巧妙的方法：不直接看部分和，而是看部分和的算术平均。定义第 \(n\) 个费耶尔和为：

\[\sigma_N(f; x) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} s_k(f; x) \]

也就是说，\(\sigma_N\) 是前 \(N+1\) 个部分和的平均值。这种用平均值序列代替原序列来定义极限的方法，在分析学中称为切萨罗求和。如果原序列收敛，其算术平均序列也收敛到同一极限，但反之不然。算术平均能“平滑”掉剧烈的振荡，可能使一些原本不收敛的序列变得收敛。

第三步：费耶尔核——积分表达与核心性质
费耶尔和有一个极其优美的积分表示。通过将部分和 \(s_k\) 的积分表达式代入并求和，可以得到：

\[\sigma_N(f; x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) F_N(t) \, dt \]

其中 \(F_N(t)\) 称为费耶尔核，其显式表达式为：

\[F_N(t) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2 \frac{(N+1)t}{2}}{\sin^2 \frac{t}{2}} \]

请仔细观察这个核函数的性质，这是理解定理的关键：

非负性：对所有实数 \(t\)，有 \(F_N(t) \ge 0\)。这与狄利克雷核（用于部分和）可正可负形成鲜明对比，是非负性带来了“平滑”效果。
归一性：\(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F_N(t) \, dt = 1\)。这保证了一个常数函数的费耶尔和是其自身。
集中性：对于任意固定的 \(\delta > 0\)，当 \(N \to \infty\) 时，在区间 \([- \pi, -\delta] \cup [\delta, \pi]\) 上，费耶尔核 \(F_N(t)\) 一致收敛到 0。这意味着随着 \(N\) 增大，\(F_N\) 的“质量”越来越集中在 \(t=0\) 附近。

第四步：费耶尔定理的精确表述
现在我们可以严格叙述费耶尔定理（1900年）：

设 \(f\) 是一个以 \(2\pi\) 为周期的函数，且在 \([-\pi, \pi]\) 上勒贝格可积（或黎曼可积）。

如果 \(f\) 在点 \(x\) 处连续，则其费耶尔和在 \(x\) 点收敛于 \(f(x)\)：

\[ > \lim_{N \to \infty} \sigma_N(f; x) = f(x) > \]

如果 \(f\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续（从而在 \(\mathbb{R}\) 上一致连续），则上述收敛在 \([a, b]\) 上一致成立：

\[ > \lim_{N \to \infty} \sup_{x \in [a, b]} |\sigma_N(f; x) - f(x)| = 0 > \]

第五步：定理的证明思路与“好核”论证
证明的核心是利用费耶尔核的三个性质（非负、归一、集中）。以一致收敛部分为例，思路如下：
由于 \(f\) 一致连续，给定 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|t| < \delta\) 时，\(|f(x-t) - f(x)| < \epsilon\) 对所有 \(x\) 成立。
利用归一性，可以将差写为积分：

\[\sigma_N(f; x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x-t) - f(x)] F_N(t) \, dt \]

将积分区间分为 \(|t| < \delta\) 和 \(\delta \le |t| \le \pi\) 两部分。

在 \(|t| < \delta\) 部分，利用 \(f\) 的一致连续性和 \(F_N\) 的非负性、归一性，积分绝对值可被 \(\epsilon\) 控制。
在 \(\delta \le |t| \le \pi\) 部分，由于 \(f\) 连续故有界，而 \(F_N(t)\) 在该区间上一致趋于 0（集中性），因此这部分积分也随着 \(N\) 增大而一致趋于 0。
结合两部分，就证明了一致收敛性。逐点连续性的证明思路类似，但只使用在 \(x\) 点的连续性。

第六步：定理的意义与推论
费耶尔定理具有深远的影响：

用傅里叶级数一致逼近连续函数：这是魏尔斯特拉斯逼近定理在三角多项式情形下的一个非常具体和重要的实现。它告诉我们，任何一个连续周期函数，都可以用其傅里叶级数的费耶尔和（这是一组三角多项式）来一致逼近。这为函数逼近论和调和分析奠定了基础。
傅里叶级数的唯一性：如果两个可积函数有相同的傅里叶系数，且它们在某点连续，则根据费耶尔定理，它们在该点的值必须相等。进一步可以推出，如果两个连续函数的傅里叶系数全同，则这两个函数处处相等。这确立了傅里叶系数的唯一标识性。
“求和法”的成功范例：费耶尔定理展示了求和法（此处是切萨罗求和）在处理发散或收敛不稳定的级数时的强大威力。它为后续研究其他求和法（如阿贝尔求和）提供了范式和信心。
与狄利克雷-若尔当判别法的关系：你已学过狄利克雷-若尔当判别法，它给出了傅里叶级数逐点收敛的一个充分条件（函数在点 \(x\) 处有界变差）。费耶尔定理的条件（连续性）与之不同，它不保证原傅里叶级数 \(s_N\) 收敛，但保证了其算术平均 \(\sigma_N\) 的收敛性，并且结论可以加强为“一致收敛”。两者是处理傅里叶级数收敛问题的不同有力工具。

综上所述，费耶尔定理通过引入费耶尔和与费耶尔核，将傅里叶级数的研究从棘手的逐点收敛问题，转向了更稳定、更强大的一致收敛逼近，是古典调和分析中一座连接傅里叶级数与函数逼近论的里程碑。

分析学词条：费耶尔定理（Fejér's Theorem）我们从一个实际问题开始理解这个定理的背景和重要性。第一步：从傅里叶级数的收敛问题引入你已经知道，一个周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f\)，如果其在区间 \([ -\pi, \pi ]\) 上可积（比如黎曼可积或勒贝格可积），就可以构造其傅里叶级数： \[ S f = \frac{a_ 0}{2} + \sum_ {n=1}^{\infty} (a_ n \cos nx + b_ n \sin nx) \] 其中系数 \(a_ n, b_ n\) 由积分公式给出。然而，一个核心问题是：这个级数是否收敛？即使收敛，它是否一定收敛到函数 \(f(x)\) 本身？历史上，杜布瓦-雷蒙给出了一个连续函数，其傅里叶级数在某个点发散的例子。这说明，即使函数性质很好（连续），其傅里叶级数的“逐点收敛性”也并非必然。这促使数学家寻找新的、更稳健的求和方法来从傅里叶级数中“恢复”原函数。第二步：部分和、算术平均与“求和法” 傅里叶级数的前 \(N\) 项部分和记为： \[ s_ N(f; x) = \frac{a_ 0}{2} + \sum_ {n=1}^{N} (a_ n \cos nx + b_ n \sin nx) \] 直接研究 \(s_ N\) 当 \(N \to \infty\) 时的极限（即通常的收敛）是困难的。匈牙利数学家费耶尔引入了一个巧妙的方法：不直接看部分和，而是看部分和的算术平均。定义第 \(n\) 个费耶尔和为： \[ \sigma_ N(f; x) = \frac{1}{N+1} \sum_ {k=0}^{N} s_ k(f; x) \] 也就是说，\(\sigma_ N\) 是前 \(N+1\) 个部分和的平均值。这种用平均值序列代替原序列来定义极限的方法，在分析学中称为切萨罗求和。如果原序列收敛，其算术平均序列也收敛到同一极限，但反之不然。算术平均能“平滑”掉剧烈的振荡，可能使一些原本不收敛的序列变得收敛。第三步：费耶尔核——积分表达与核心性质费耶尔和有一个极其优美的积分表示。通过将部分和 \(s_ k\) 的积分表达式代入并求和，可以得到： \[ \sigma_ N(f; x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(x-t) F_ N(t) \, dt \] 其中 \(F_ N(t)\) 称为费耶尔核，其显式表达式为： \[ F_ N(t) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2 \frac{(N+1)t}{2}}{\sin^2 \frac{t}{2}} \] 请仔细观察这个核函数的性质，这是理解定理的关键：非负性：对所有实数 \(t\)，有 \(F_ N(t) \ge 0\)。这与狄利克雷核（用于部分和）可正可负形成鲜明对比，是非负性带来了“平滑”效果。归一性：\(\frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} F_ N(t) \, dt = 1\)。这保证了一个常数函数的费耶尔和是其自身。集中性：对于任意固定的 \(\delta > 0\)，当 \(N \to \infty\) 时，在区间 \([ - \pi, -\delta] \cup [ \delta, \pi]\) 上，费耶尔核 \(F_ N(t)\) 一致收敛到 0 。这意味着随着 \(N\) 增大，\(F_ N\) 的“质量”越来越集中在 \(t=0\) 附近。第四步：费耶尔定理的精确表述现在我们可以严格叙述费耶尔定理（1900年）：设 \(f\) 是一个以 \(2\pi\) 为周期的函数，且在 \([ -\pi, \pi ]\) 上勒贝格可积（或黎曼可积）。如果 \(f\) 在点 \(x\) 处连续，则其费耶尔和在 \(x\) 点收敛于 \(f(x)\)： \[ \lim_ {N \to \infty} \sigma_ N(f; x) = f(x) \] 如果 \(f\) 在闭区间 \([ a, b]\) 上连续（从而在 \(\mathbb{R}\) 上一致连续），则上述收敛在 \([ a, b]\) 上一致成立： \[ \lim_ {N \to \infty} \sup_ {x \in [ a, b]} |\sigma_ N(f; x) - f(x)| = 0 \] 第五步：定理的证明思路与“好核”论证证明的核心是利用费耶尔核的三个性质（非负、归一、集中）。以一致收敛部分为例，思路如下：由于 \(f\) 一致连续，给定 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|t| < \delta\) 时，\(|f(x-t) - f(x)| < \epsilon\) 对所有 \(x\) 成立。利用归一性，可以将差写为积分： \[ \sigma_ N(f; x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} [ f(x-t) - f(x)] F_ N(t) \, dt \] 将积分区间分为 \(|t| < \delta\) 和 \(\delta \le |t| \le \pi\) 两部分。在 \(|t| < \delta\) 部分，利用 \(f\) 的一致连续性和 \(F_ N\) 的非负性、归一性，积分绝对值可被 \(\epsilon\) 控制。在 \(\delta \le |t| \le \pi\) 部分，由于 \(f\) 连续故有界，而 \(F_ N(t)\) 在该区间上一致趋于 0（集中性），因此这部分积分也随着 \(N\) 增大而一致趋于 0。结合两部分，就证明了一致收敛性。逐点连续性的证明思路类似，但只使用在 \(x\) 点的连续性。第六步：定理的意义与推论费耶尔定理具有深远的影响：用傅里叶级数一致逼近连续函数：这是魏尔斯特拉斯逼近定理在三角多项式情形下的一个非常具体和重要的实现。它告诉我们，任何一个连续周期函数，都可以用其傅里叶级数的费耶尔和（这是一组三角多项式）来一致逼近。这为函数逼近论和调和分析奠定了基础。傅里叶级数的唯一性：如果两个可积函数有相同的傅里叶系数，且它们在某点连续，则根据费耶尔定理，它们在该点的值必须相等。进一步可以推出，如果两个连续函数的傅里叶系数全同，则这两个函数处处相等。这确立了傅里叶系数的唯一标识性。 “求和法”的成功范例：费耶尔定理展示了求和法（此处是切萨罗求和）在处理发散或收敛不稳定的级数时的强大威力。它为后续研究其他求和法（如阿贝尔求和）提供了范式和信心。与狄利克雷-若尔当判别法的关系：你已学过狄利克雷-若尔当判别法，它给出了傅里叶级数逐点收敛的一个充分条件（函数在点 \(x\) 处有界变差）。费耶尔定理的条件（连续性）与之不同，它不保证原傅里叶级数 \(s_ N\) 收敛，但保证了其算术平均 \(\sigma_ N\) 的收敛性，并且结论可以加强为“一致收敛”。两者是处理傅里叶级数收敛问题的不同有力工具。综上所述，费耶尔定理通过引入费耶尔和与费耶尔核，将傅里叶级数的研究从棘手的逐点收敛问题，转向了更稳定、更强大的一致收敛逼近，是古典调和分析中一座连接傅里叶级数与函数逼近论的里程碑。