勒贝格逐项积分定理（Lebesgue Term-by-Term Integration Theorem）的函数项级数形式的推广

字数 3481 2025-12-18 14:46:31

勒贝格逐项积分定理（Lebesgue Term-by-Term Integration Theorem）的函数项级数形式的推广

我们之前已经讲过勒贝格逐项积分定理（基本形式），它处理的是可测函数序列的逐点收敛与积分交换问题。现在，我们将其推广到函数项级数的情形。这个推广是直接的，但在应用中极为常见和重要。

第一步：回顾基本定理——函数序列的逐项积分定理

设定：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(E \in \mathcal{F}\) 是一个可测集。
已知定理：若 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的一列可测函数，并且存在一个在 \(E\) 上可积的函数 \(g\)（称为控制函数），使得对几乎所有 \(x \in E\) 和所有 \(n\)，都有 \(|f_n(x)| \le g(x)\)。如果 \(f_n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于函数 \(f\)，即 \(f_n \to f\) a.e. 于 \(E\)，那么：

\(f\) 在 \(E\) 上可积。
\(\int_E f_n \, d\mu \to \int_E f \, d\mu\)。
特别地，\(\int_E \lim_{n\to\infty} f_n \, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_E f_n \, d\mu\)。

这个定理的核心是勒贝格控制收敛定理，它为积分与极限交换提供了充分条件。

第二步：从序列到级数——形式转换

函数项级数是函数序列的特殊形式。给定一列函数 \(\{u_n(x)\}\)，我们可以通过部分和将其构成一个函数项级数：

\[S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x) \]

那么，函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 的收敛性（几乎处处收敛、依测度收敛等）等价于部分和序列 \(\{S_n(x)\}\) 的相应收敛性。

同样，对级数逐项积分的期望是：

\[\int_E \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_E u_n(x) \, d\mu \]

这等价于要求：

\[\lim_{n\to\infty} \int_E S_n(x) \, d\mu = \int_E \lim_{n\to\infty} S_n(x) \, d\mu \]

这正是极限与积分交换问题。

第三步：定理陈述（函数项级数形式）

定理：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是测度空间，\(E \in \mathcal{F}\)。设 \(\{u_n\}\) 是定义在 \(E\) 上的一列可测函数。如果存在一个在 \(E\) 上可积的函数 \(g\)，使得对每个 \(n\) 和几乎所有 \(x \in E\)，有

\[\left| \sum_{k=1}^{n} u_k(x) \right| \le g(x) \]

（即部分和序列 \(\{S_n\}\) 被一个可积函数一致控制），并且级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于函数 \(S(x)\)，即

\[S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \quad \text{a.e. 于 } E \]

那么：

\(S\) 在 \(E\) 上可积。
对每个 \(n\)，\(u_n\) 在 \(E\) 上可积（实际上由控制条件可推出）。
可以逐项积分：

\[ \int_E S(x) \, d\mu = \int_E \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_E u_n(x) \, d\mu \]

并且右边的级数绝对收敛。

证明思路：将定理条件直接翻译到部分和序列 \(\{S_n\}\) 上。

由条件，\(|S_n(x)| \le g(x)\) a.e. 对每个 \(n\) 成立。
已知 \(S_n(x) \to S(x)\) a.e. 于 \(E\)。
对序列 \(\{S_n\}\) 应用勒贝格控制收敛定理，立得 \(\int_E S_n \, d\mu \to \int_E S \, d\mu\)。
而 \(\int_E S_n \, d\mu = \sum_{k=1}^{n} \int_E u_k \, d\mu\)，所以 \(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \int_E u_k \, d\mu = \int_E S \, d\mu\)，这正是级数形式的逐项积分。

第四步：关键与难点——控制条件的理解

“一致控制”的含义：控制条件要求整个部分和序列 \(\{S_n\}\) 被同一个可积函数 \(g\) 控制。这比要求每个单独的项 \(|u_n(x)|\) 被某个可积函数控制要强，但比要求 \(|u_n(x)| \le g_n(x)\) 且 \(\sum \int g_n < \infty\) 要具体和易于验证。
常见的充分条件：一个特别常用且强大的情形是，如果存在一列非负常数 \(M_n\) 使得 \(|u_n(x)| \le M_n\) 对几乎所有 \(x \in E\) 成立，并且数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty\)，同时 \(\mu(E) < \infty\)。那么可以取 \(g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} M_n\)（这是一个常数函数），它在有限测度集 \(E\) 上显然是可积的。这就是魏尔斯特拉斯M判别法在积分理论中的对应物，它同时保证了级数的一致收敛（从而a.e.收敛）和可逐项积分。
与黎曼积分理论的对比：在黎曼积分中，对于函数项级数，通常需要一致收敛来保证逐项积分。勒贝格定理的条件（被可积函数控制）比一致收敛更弱、适用范围更广。例如，它可以处理某些仅在几乎处处收敛而非一致收敛的级数。

第五步：应用示例

考虑区间 \(E = [0, 1]\) 上的勒贝格测度。定义函数项 \(u_n(x) = \frac{\cos(nx)}{n^2}\)。

可测性：每个 \(u_n\) 连续，故可测。
控制函数：由于 \(|\cos(nx)| \le 1\)，有 \(|u_n(x)| \le \frac{1}{n^2}\)。因此，对任何部分和，

\[ \left| \sum_{k=1}^{n} u_k(x) \right| \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

我们可以取控制函数 \(g(x) \equiv \frac{\pi^2}{6}\)（常数函数），它在有限测度集 \([0,1]\) 上显然可积。

收敛性：由数项级数 \(\sum 1/n^2\) 收敛及 \(M\) 判别法，级数 \(\sum \frac{\cos(nx)}{n^2}\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛（当然也a.e.收敛）于某个函数 \(S(x)\)。
结论：由定理，

\[ \int_0^1 S(x) \, dx = \int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{\cos(nx)}{n^2} \, dx \]

我们可以安全地交换积分与求和号来计算。

总结

这个推广将勒贝格控制收敛定理的力量无缝衔接至函数项级数。其核心价值在于提供了一个验证积分与无穷求和可交换的实用判据：只要级数的部分和能被一个共同的可积函数控制，且级数几乎处处收敛，那么交换就成立。这一定理是实变函数论中处理级数、傅里叶级数、幂级数等问题的基本工具之一。

勒贝格逐项积分定理（Lebesgue Term-by-Term Integration Theorem）的函数项级数形式的推广我们之前已经讲过勒贝格逐项积分定理（基本形式），它处理的是可测函数序列的逐点收敛与积分交换问题。现在，我们将其推广到函数项级数的情形。这个推广是直接的，但在应用中极为常见和重要。第一步：回顾基本定理——函数序列的逐项积分定理设定：设 \( (X, \mathcal{F}, \mu) \) 是一个测度空间，\( E \in \mathcal{F} \) 是一个可测集。已知定理：若 \(\{f_ n\}\) 是 \(E\) 上的一列可测函数，并且存在一个在 \(E\) 上可积的函数 \(g\)（称为控制函数），使得对几乎所有 \(x \in E\) 和所有 \(n\)，都有 \(|f_ n(x)| \le g(x)\)。如果 \(f_ n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于函数 \(f\)，即 \(f_ n \to f\) a.e. 于 \(E\)，那么： \(f\) 在 \(E\) 上可积。 \(\int_ E f_ n \, d\mu \to \int_ E f \, d\mu\)。特别地，\(\int_ E \lim_ {n\to\infty} f_ n \, d\mu = \lim_ {n\to\infty} \int_ E f_ n \, d\mu\)。这个定理的核心是勒贝格控制收敛定理，它为积分与极限交换提供了充分条件。第二步：从序列到级数——形式转换函数项级数是函数序列的特殊形式。给定一列函数 \(\{u_ n(x)\}\)，我们可以通过部分和将其构成一个函数项级数： \[ S_ n(x) = \sum_ {k=1}^{n} u_ k(x) \] 那么，函数项级数 \(\sum_ {n=1}^{\infty} u_ n(x)\) 的收敛性（几乎处处收敛、依测度收敛等）等价于部分和序列 \(\{S_ n(x)\}\) 的相应收敛性。同样，对级数逐项积分的期望是： \[ \int_ E \sum_ {n=1}^{\infty} u_ n(x) \, d\mu = \sum_ {n=1}^{\infty} \int_ E u_ n(x) \, d\mu \] 这等价于要求： \[ \lim_ {n\to\infty} \int_ E S_ n(x) \, d\mu = \int_ E \lim_ {n\to\infty} S_ n(x) \, d\mu \] 这正是极限与积分交换问题。第三步：定理陈述（函数项级数形式）定理：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是测度空间，\(E \in \mathcal{F}\)。设 \(\{u_ n\}\) 是定义在 \(E\) 上的一列可测函数。如果存在一个在 \(E\) 上可积的函数 \(g\)，使得对每个 \(n\) 和几乎所有 \(x \in E\)，有 \[ \left| \sum_ {k=1}^{n} u_ k(x) \right| \le g(x) \] （即部分和序列 \(\{S_ n\}\) 被一个可积函数一致控制），并且级数 \(\sum_ {n=1}^{\infty} u_ n(x)\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于函数 \(S(x)\)，即 \[ S(x) = \sum_ {n=1}^{\infty} u_ n(x) \quad \text{a.e. 于 } E \] 那么： \(S\) 在 \(E\) 上可积。对每个 \(n\)，\(u_ n\) 在 \(E\) 上可积（实际上由控制条件可推出）。可以逐项积分： \[ \int_ E S(x) \, d\mu = \int_ E \sum_ {n=1}^{\infty} u_ n(x) \, d\mu = \sum_ {n=1}^{\infty} \int_ E u_ n(x) \, d\mu \] 并且右边的级数绝对收敛。证明思路：将定理条件直接翻译到部分和序列 \(\{S_ n\}\) 上。由条件，\(|S_ n(x)| \le g(x)\) a.e. 对每个 \(n\) 成立。已知 \(S_ n(x) \to S(x)\) a.e. 于 \(E\)。对序列 \(\{S_ n\}\) 应用勒贝格控制收敛定理，立得 \(\int_ E S_ n \, d\mu \to \int_ E S \, d\mu\)。而 \(\int_ E S_ n \, d\mu = \sum_ {k=1}^{n} \int_ E u_ k \, d\mu\)，所以 \(\lim_ {n\to\infty} \sum_ {k=1}^{n} \int_ E u_ k \, d\mu = \int_ E S \, d\mu\)，这正是级数形式的逐项积分。第四步：关键与难点——控制条件的理解 “一致控制”的含义：控制条件要求整个部分和序列 \(\{S_ n\}\) 被同一个可积函数 \(g\) 控制。这比要求每个单独的项 \(|u_ n(x)|\) 被某个可积函数控制要强，但比要求 \(|u_ n(x)| \le g_ n(x)\) 且 \(\sum \int g_ n < \infty\) 要具体和易于验证。常见的充分条件：一个特别常用且强大的情形是，如果存在一列非负常数 \(M_ n\) 使得 \(|u_ n(x)| \le M_ n\) 对几乎所有 \(x \in E\) 成立，并且数项级数 \(\sum_ {n=1}^{\infty} M_ n < \infty\)，同时 \(\mu(E) < \infty\)。那么可以取 \(g(x) = \sum_ {n=1}^{\infty} M_ n\)（这是一个常数函数），它在有限测度集 \(E\) 上显然是可积的。这就是魏尔斯特拉斯M判别法在积分理论中的对应物，它同时保证了级数的一致收敛（从而a.e.收敛）和可逐项积分。与黎曼积分理论的对比：在黎曼积分中，对于函数项级数，通常需要一致收敛来保证逐项积分。勒贝格定理的条件（被可积函数控制）比一致收敛更弱、适用范围更广。例如，它可以处理某些仅在几乎处处收敛而非一致收敛的级数。第五步：应用示例考虑区间 \(E = [ 0, 1]\) 上的勒贝格测度。定义函数项 \(u_ n(x) = \frac{\cos(nx)}{n^2}\)。可测性：每个 \(u_ n\) 连续，故可测。控制函数：由于 \(|\cos(nx)| \le 1\)，有 \(|u_ n(x)| \le \frac{1}{n^2}\)。因此，对任何部分和， \[ \left| \sum_ {k=1}^{n} u_ k(x) \right| \le \sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \le \sum_ {k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \] 我们可以取控制函数 \(g(x) \equiv \frac{\pi^2}{6}\)（常数函数），它在有限测度集 \([ 0,1 ]\) 上显然可积。收敛性：由数项级数 \(\sum 1/n^2\) 收敛及 \(M\) 判别法，级数 \(\sum \frac{\cos(nx)}{n^2}\) 在 \([ 0,1 ]\) 上一致收敛（当然也a.e.收敛）于某个函数 \(S(x)\)。结论：由定理， \[ \int_ 0^1 S(x) \, dx = \int_ 0^1 \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} \, dx = \sum_ {n=1}^{\infty} \int_ 0^1 \frac{\cos(nx)}{n^2} \, dx \] 我们可以安全地交换积分与求和号来计算。总结这个推广将勒贝格控制收敛定理的力量无缝衔接至函数项级数。其核心价值在于提供了一个验证积分与无穷求和可交换的实用判据：只要级数的部分和能被一个共同的可积函数控制，且级数几乎处处收敛，那么交换就成立。这一定理是实变函数论中处理级数、傅里叶级数、幂级数等问题的基本工具之一。