曲面的主曲率与脐点（续） 接下来，我将详细讲解 主曲率 与 脐点 的几何特性，以及如何利用 魏因加滕映射 （Weingarten map）的矩阵特征值来精确刻画它们。这个过程是理解曲面局部形状的关键一步。 回顾与准备：法曲率与魏因加滕映射 在曲面上某点 \( P \)， 沿一个切方向 \( \mathbf{v} \) 的法曲率 \( k_ n(\mathbf{v}) \)， 衡量了曲面沿该方向“弯曲”的程度。其计算公式为：\( k_ n = \frac{\mathbf{v}^T \mathbf{II} \ \mathbf{v}}{\mathbf{v}^T \mathbf{I} \ \mathbf{v}} \)， 其中 \( \mathbf{I} \) 和 \( \mathbf{II} \) 分别是该点的第一和第二基本形式的矩阵。 魏因加滕映射 （或形状算子） \( S \) 是一个从点 \( P \) 的切空间到自身的线性变换。在给定切向量 \( \mathbf{v} \) 时， \( S(\mathbf{v}) \) 的结果向量描述了单位法向量 \( \mathbf{N} \) 沿 \( \mathbf{v} \) 方向的变化率（的负值），即 \( S(\mathbf{v}) = -D_ {\mathbf{v}} \mathbf{N} \)。 关键在于，在给定局部坐标基 \( \{ \mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v \} \) 下，魏因加滕映射 \( S \) 可以用一个 \( 2 \times 2 \) 矩阵 \( W \) 表示，它满足 \( S(\mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v) = (\mathbf{r}_ u, \mathbf{v}) W \)。 并且，这个矩阵 \( W \) 可以通过第一、第二基本形式计算得出：\( W = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II} \)。 这里的 \( \mathbf{I} \) 和 \( \mathbf{II} \) 是前述矩阵在相同基下的表示。 主曲率作为特征值 魏因加滕映射 \( S \) 是一个自伴线性算子（关于由第一基本形式 \( \mathbf{I} \) 诱导的内积）。根据线性代数，这样的算子在切空间中存在两个正交的特征方向（在曲面度量下正交），对应的特征值是实数。 主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 正是魏因加滕映射 \( S \) 的这两个 特征值 。它们满足特征方程：\( S(\mathbf{v}_ i) = k_ i \mathbf{v}_ i \)， 其中 \( \mathbf{v}_ i \) 是对应的单位特征向量（即主方向）。 用矩阵语言，即求解特征值问题：\( W \mathbf{x} = k \mathbf{x} \)， 其中 \( W = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II} \)。 解出的两个 \( k \) 就是主曲率。对应的特征向量 \( \mathbf{x} \) 给出了主方向在坐标基 \( \{\mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v\} \) 下的分量。 主曲率与法曲率的极值关系 由于主曲率是特征值，它们恰好给出了法曲率函数 \( k_ n(\mathbf{v}) \) 在单位切圆 \( |\mathbf{v}|=1 \) 上的 最大值和最小值 。也就是说，对所有单位切向量 \( \mathbf{v} \)， 有 \( k_ 2 \le k_ n(\mathbf{v}) \le k_ 1 \)（假设 \( k_ 1 \ge k_ 2 \)）。 当 \( \mathbf{v} \) 沿着主方向时，法曲率取得极值 \( k_ 1 \) 或 \( k_ 2 \)。沿其他方向，法曲率由欧拉公式给出：\( k_ n(\theta) = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta \)， 其中 \( \theta \) 是 \( \mathbf{v} \) 与第一主方向的夹角。 脐点的特征值刻画 回忆脐点的定义：在该点，所有方向的法曲率都相等。用魏因加滕映射的语言来说，这意味着映射 \( S \) 是 恒等映射的常数倍 。 在矩阵特征值层面，这等价于魏因加滕映射 \( S \) 的两个特征值 相等 ，即 \( k_ 1 = k_ 2 = k \)。 此时，矩阵 \( W \) 具有重特征值 \( k \)，并且它的任何非零特征向量都是特征向量。这意味着，在脐点处， 切空间中的每一个方向都是主方向 。因为任何方向 \( \mathbf{v} \) 都满足 \( S(\mathbf{v}) = k\mathbf{v} \)。 脐点可以根据这个公共特征值 \( k \) 的符号进一步分类： 椭圆型脐点 ： \( k \neq 0 \)。 例如球面上的任何点（ \( k_ 1 = k_ 2 = 1/R \)）， 或椭圆抛物面的顶点。 平点（或平面点） ： \( k = 0 \)。 此时 \( S \) 是零映射。例如平面上的任何点，或某些曲面上的平坦点。注意，平点是脐点的一个特例。 几何意义总结 通过魏因加滕映射的特征分析，我们将曲面的局部弯曲信息“线性化”了。主曲率（特征值）给出了弯曲的强度极值，主方向（特征向量）给出了这些极值发生的“轴线”。 脐点是这种线性结构退化的点，其特征空间（特征向量张成的空间）是整个二维切空间。在脐点附近，曲面的形状更接近于一个球面（如果 \( k \neq 0 \)）或一个平面（如果 \( k = 0 \)）， 其局部几何具有更高的对称性。 主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \) 直接决定了 高斯曲率 \( K = k_ 1 k_ 2 \)（特征值的乘积）和 平均曲率 \( H = (k_ 1 + k_ 2)/2 \)（特征值之和的一半）。在脐点， \( K = k^2 \ge 0 \)， \( H = k \)。 通过以上步骤，你将主曲率、脐点与线性代数中的特征值理论紧密联系了起来。这为使用强大的矩阵工具研究曲面局部形状（如计算曲率、判断点类型、分析曲率线的性态）奠定了坚实的理论基础。