数学中“代数方程求根公式”的探寻与终结 从具体求解到一般方程：古代与中世纪的成就 首先，我们从最简单的情形开始。在数学发展的早期，人们已经掌握了 一次方程 （线性方程）和 二次方程 的解法。例如，古巴比伦的泥板（约公元前2000年）记载了二次方程的实际解法。公元9世纪，波斯数学家 花拉子米 在其著作《代数学》中系统地给出了二次方程的一般解法（仅承认正根）。这个阶段，解的表达依赖于系数的 算术运算 （加、减、乘、除）和 开平方 。人们自然会问：更高次的方程是否也能用类似的“公式”求解？即，对于三次、四次方程，其根能否通过系数的 有限次 算术运算和开方（平方根、立方根等）表示出来？这就是“根式解”或“代数解”问题。 三次与四次方程的突破：文艺复兴时期的辉煌 接下来，故事在16世纪的意大利迎来高潮。 费罗 、 塔尔塔利亚 和 卡尔达诺 先后发现了 三次方程 的一般解法。卡尔达诺在《大术》（1545年）中公开了公式，即著名的“卡尔达诺公式”。这个公式不仅包含算术运算，还不可避免地引入了 开立方 运算。更重要的是，即使方程的三个根都是实数，公式中间步骤也可能出现 负数的平方根 ，这迫使数学家正视并最终接受了复数概念。紧接着，卡尔达诺的学生 费拉里 成功找到了 四次方程 的根式解法。这个解法通过巧妙的变量替换，将解四次方程转化为解一个相关的三次方程和一个二次方程。至此，人类掌握了从一次到四次方程的通用求根公式，极大地鼓舞了寻找五次方程公式的信心。 五次方程的困境与怀疑：拉格朗日的洞察 然而，前进之路很快变得崎岖。整个17、18世纪，尽管欧拉、范德蒙等杰出数学家进行了不懈尝试，但寻找 五次方程 根式解的努力全部失败。意大利数学家 拉格朗日 在1770年的反思性工作中迈出了关键一步。他系统分析了前人的解法，特别是对三、四次方程成功的解法，提出了“ 预解式 ”的概念。他发现，三、四次方程可解的关键在于能找到次数较低的辅助方程（预解式），而该预解式的根具有某种对称性（在根的置换下保持不变）。当他将同样的方法应用于五次方程时，得到的预解式次数 高达六次 ，比原方程还高，这使得方法失效。拉格朗日的工作虽然没有证明五次方程无根式解，但他深刻地揭示了根的对称性（即排列）是解方程的核心，并提出了明确的质疑，这为后来的突破指明了方向。 不可能性的证明：鲁菲尼与阿贝尔的贡献 进入19世纪，答案开始浮现。意大利医生兼数学家 鲁菲尼 在1799年至1813年间多次尝试证明五次方程一般无根式解，其证明核心是：如果一个方程有根式解，那么根的所有排列（对称群）必须满足特定性质（即可解性），而五次方程的排列群（5个元素的对称群S5）不满足该性质。然而，他的证明因不够严密而未被广泛接受。最终，挪威天才数学家 阿贝尔 在1824年给出了一个严密且完整的证明，确立了“ 阿贝尔-鲁菲尼定理 ”：一般的五次及五次以上代数方程 没有 根式解。这里的“一般”特指系数为字母、方程形式最普通的情形。阿贝尔的证明彻底终结了对通用求根公式的追寻，标志着方程论进入了一个全新的阶段。 可解性的完美刻画：伽罗瓦理论的诞生 然而，阿贝尔定理留下了一个深刻的问题：虽然一般五次方程无根式解，但有些特殊的高次方程（如 $x^n - 1 = 0$）却可以有。那么，如何判断一个 具体 的方程是否可以用根式求解？法国青年数学家 伽罗瓦 在阿贝尔工作基础上，提出了革命性的理论。他将每个方程与一个特定的“ 伽罗瓦群 ”联系起来，这个群由方程根的对称置换所构成。伽罗瓦的核心思想是： 一个方程有根式解，当且仅当它的伽罗瓦群是一个“可解群” 。这里“可解群”是一个精确的代数概念，指该群存在一系列子群，使得相邻的商群都是交换群（阿贝尔群）。他证明了五次对称群S5不是可解群，从而优雅地涵盖了阿贝尔定理。更强大的是，他的理论为判断任意方程的可解性提供了明确有效的代数准则，彻底解决了根式可解性的根本问题，并催生了 群论 这一全新的数学领域。 总结 ：从具体的数值解法，到三、四次方程求根公式的辉煌发现，再到对五次方程公式的漫长探索与受挫，最终在拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的接力下，问题从“寻找公式”升华为“理解为何公式不存在”，并通过深刻的群论思想给出了完美的内在刻画。这一历程不仅是代数方程理论的顶点，也是现代代数学思想的重要源泉。