量子力学中的Kato-Rellich定理 扰动问题的引入 在量子力学中，系统的哈密顿量（能量算符）通常由一个已知的、性质良好的主要部分（如自由粒子的动能算符 \( H_ 0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \)）和一个相对较小的“扰动”部分（如势能 \( V \)）组成。一个核心问题是：当我们对 \( H_ 0 \) 施加一个扰动 \( V \) 得到新算符 \( H = H_ 0 + V \) 时，\( H_ 0 \) 的良好性质（如自伴性，它保证了系统演化的幺正性和概率守恒）有多少能够被 \( H \) 所继承？Kato-Rellich定理就是回答这个问题的强大工具，它给出了一组充分条件，保证在扰动下，算子的自伴性得以保持。 核心概念：无穷小有界性 要理解Kato-Rellich定理，首先需要掌握“无穷小有界性”这一关键概念。设 \( H_ 0 \) 是一个在希尔伯特空间上自伴的算子，\( V \) 是另一个算子（称为扰动）。如果存在常数 \( a < 1 \) 和 \( b \geq 0 \)，使得对于所有属于 \( H_ 0 \) 定义域 \( D(H_ 0) \) 的向量 \( \psi \)，以下不等式都成立： \[ \|V\psi\| \leq a \|H_ 0\psi\| + b \|\psi\| \] 那么，我们就称算子 \( V \) 相对于 \( \(H_ 0\) \) 是 无穷小有界的 。 理解无穷小有界性的含义 这个不等式是定理的核心，我们来逐步解析它： \(\|V\psi\|\) 衡量了扰动 \( V \) 作用于 \( \psi \) 后“有多大”。 \(\|H_ 0\psi\|\) 衡量了主算符 \( H_ 0 \) 作用于 \( \psi \) 后“有多大”。 这个不等式表明，扰动 \( V \) 的“大小”可以被主算符 \( H_ 0 \) 的“大小”所控制。 特别关键的是常数 \( a < 1 \)。这意味着，当 \( \psi \) 的能量（由 \( H_ 0 \) 表征）变得非常大时，扰动项 \( V\psi \) 的范数增长速率 严格小于 \( H_ 0\psi \) 的范数增长速率。换句话说，\( V \) 的效应相对于 \( H_ 0 \) 始终是“小的”，不会喧宾夺主。常数 \( b \) 则用来处理低能量区域的可能偏差。 Kato-Rellich定理的表述 有了上述准备，我们可以正式陈述定理： 定理（Kato-Rellich） ：设 \( H_ 0 \) 是一个在希尔伯特空间上自伴的算子，\( V \) 是一个对称算子（即 \( V \) 的期望值是实数）。如果 \( V \) 相对于 \( H_ 0 \) 是无穷小有界的（即满足上述不等式），那么： 算子和 \( H = H_ 0 + V \) 在定义域 \( D(H) = D(H_ 0) \) 上是 自伴 的。 如果 \( H_ 0 \) 是下有界的（即能量有下界），那么 \( H \) 也是下有界的。 定理的深远意义与应用实例 这个定理的意义非常重大： 保持自伴性 ：它确保了扰动后的哈密顿量 \( H \) 仍然是自伴的。这是量子力学物理诠释的数学基础，因为它保证了时间演化算符 \( e^{-iHt/\hbar} \) 是幺正的，从而概率守恒。 应用广泛性 ：库仑势 \( V(r) = -e^2/r \) 是量子力学中最重要的势之一。可以证明，在三维空间中，库仑势相对于动能算符 \( H_ 0 = -\nabla^2 \) 是满足无穷小有界条件的（其中 \( a \) 可以取任意小的正数）。因此，根据Kato-Rellich定理，氢原子的哈密顿量 \( H = -\nabla^2 - e^2/r \) 是自伴的。这个结论可以推广到多粒子原子和分子系统，为整个量子化学提供了坚实的数学基础。 稳定性 ：定理表明，在满足无穷小有界条件的扰动下，量子系统的本质数学结构是稳定的。