法向量与切平面

字数 3456 2025-12-18 10:30:10

好的，我将为你生成并讲解一个几何学中尚未出现的关键词条。

法向量与切平面

这个概念是曲面微分几何的基石，理解它对于学习曲面的局部性质至关重要。我将从最简单的直观图像开始，逐步深入到其严格定义和计算。

第一步：从直观图像理解“切”与“法”

想象一个光滑的山丘表面。在某个特定的点（比如山顶附近），你可以：

放置一块平板：尝试将一块很小的平板（如一张信用卡）放在这一点上，使其与山丘表面在该点“恰好贴合”，既不刺入山丘，也不悬空。这块平板就近似代表了山丘在该点的切平面。它是在三维空间中无限延伸的一个平面，但在该点附近，它与曲面贴合得最好。
插一根垂直于平板的木棍：在这块平板上，通过该接触点，竖起一根与平板垂直的木棍。这根木棍的方向就是该点处的法线方向。任何与木棍方向平行的向量，都称为该点的一个法向量。法向量本质上垂直于切平面。

因此，曲面上某点的法向量是垂直于该点切平面的向量。它们是一对紧密关联的概念。

第二步：从曲线到曲面的概念迁移（一维到二维的推广）

为了更精确地定义它们，我们先回顾曲线的相关知识，然后推广到曲面。

曲线的切线：对于平面或空间中的一条光滑曲线，在其上一点 \(P\)，曲线的切线是通过点 \(P\) 且方向为该点切向量（即曲线在该点的导数或速度向量）的直线。
曲线的法线：在平面曲线中，过点 \(P\) 且垂直于切线的直线，称为法线。方向垂直于切向量的向量就是法向量。

对于曲面这个“二维”对象，我们需要将“切线”（一条直线）推广为“切平面”（一个平面），将“法线”（一条直线）推广为“法方向”（一条直线，但由切平面唯一确定）。

第三步：如何严谨地定义“切平面”？

给定一个光滑曲面 \(S\)，其参数方程为：

\[\mathbf{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad (u,v) \in D \]

设 \(P_0 = \mathbf{r}(u_0, v_0)\) 是曲面上一点。

核心思想：曲面在 \(P_0\) 点的所有切线的集合，构成一个平面。

如何找到这些切线？
考虑通过 \(P_0\) 点的两条特殊的曲线：

保持 \(v = v_0\) 不变，让 \(u\) 变化，得到一条过 \(P_0\) 的曲线，称为 u-坐标曲线。
保持 \(u = u_0\) 不变，让 \(v\) 变化，得到另一条过 \(P_0\) 的曲线，称为 v-坐标曲线。

这两条曲线在 \(P_0\) 点的切向量分别为：

\[\mathbf{r}_u(u_0, v_0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u_0, v_0), \quad \mathbf{r}_v(u_0, v_0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u_0, v_0) \]

我们假设曲面是正则的，即这两个偏导向量线性无关（不平行且非零）。

结论：曲面在 \(P_0\) 点的切平面 \(T_{P_0}S\)，就是由向量 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 张成的平面。它是一个二维向量空间。

这个平面上的任何一个向量，都可以表示为 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 的线性组合 \(a\mathbf{r}_u + b\mathbf{r}_v\)。这个向量就是曲面在 \(P_0\) 点的一个切向量。事实上，任何过 \(P_0\) 点且完全落在曲面上的光滑曲线，其在该点的切向量都必然位于这个切平面内。

第四步：定义“法向量”

既然切平面是由两个不共线的向量 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 张成的，那么与这个平面垂直的方向就是确定的（在正负号的意义下）。

单位法向量 \(\mathbf{n}\) 可以通过这两个切向量的叉积（外积）来计算并归一化：

\[\mathbf{n}(u_0, v_0) = \frac{\mathbf{r}_u(u_0, v_0) \times \mathbf{r}_v(u_0, v_0)}{\| \mathbf{r}_u(u_0, v_0) \times \mathbf{r}_v(u_0, v_0) \|} \]

叉积 \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) 的结果本身就是一个向量，它同时垂直于 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\)，因此垂直于整个切平面。将其长度除以其模长，就得到了一个长度为1的单位法向量。

这个单位法向量 \(\mathbf{n}\) 的选择有两种可能（指向曲面“上”方或“下”方），这取决于曲面的定向。对于可定向曲面（如球面、环面），我们可以一致地选择一个方向（例如外法向）。

第五步：举例巩固概念

考虑一个简单曲面：半径为 \(R\) 的球面，其参数方程（经纬度参数化）为：

\[\mathbf{r}(\theta, \phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta) \]

其中 \(\theta\) 是极角（与z轴夹角），\(\phi\) 是方位角。

计算偏导向量：

\[\mathbf{r}_\theta = (R\cos\theta\cos\phi, R\cos\theta\sin\phi, -R\sin\theta) \]

\[ \mathbf{r}_\phi = (-R\sin\theta\sin\phi, R\sin\theta\cos\phi, 0) \]

在点 \((\theta_0, \phi_0)\) 处，切平面由 \(\mathbf{r}_\theta\) 和 \(\mathbf{r}_\phi\) 张成。计算单位法向量：

\[\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = R^2\sin\theta (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) = R\sin\theta \cdot \mathbf{r}(\theta, \phi) \]

其模长为 \(\| \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi \| = R^2\sin\theta\)。

因此，单位法向量为：

\[\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi}{\| \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi \|} = \frac{\mathbf{r}(\theta, \phi)}{R} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) \]

这正是从球心指向球面点的径向单位向量，符合我们的直觉——球面某点的法向量沿半径方向。

总结：

切平面 \(T_P S\)：曲面上一点 \(P\) 处，所有可能的切向量构成的一个二维平面。它由参数方程的偏导 \(\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\) 张成。
法向量：垂直于该切平面的向量。通常使用单位法向量 \(\mathbf{n} = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) / \| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \|\)。

掌握切平面和法向量是理解曲面第一基本形式（度量）、第二基本形式（弯曲）、法曲率、主曲率等后续微分几何概念的绝对前提。它们是连接曲面局部线性近似（切平面）与其实际弯曲形态（由法方向的变化来衡量）的桥梁。

好的，我将为你生成并讲解一个几何学中尚未出现的关键词条。法向量与切平面这个概念是曲面微分几何的基石，理解它对于学习曲面的局部性质至关重要。我将从最简单的直观图像开始，逐步深入到其严格定义和计算。第一步：从直观图像理解“切”与“法” 想象一个光滑的山丘表面。在某个特定的点（比如山顶附近），你可以：放置一块平板：尝试将一块很小的平板（如一张信用卡）放在这一点上，使其与山丘表面在该点“恰好贴合”，既不刺入山丘，也不悬空。这块平板就近似代表了山丘在该点的切平面。它是在三维空间中无限延伸的一个平面，但在该点附近，它与曲面贴合得最好。插一根垂直于平板的木棍：在这块平板上，通过该接触点，竖起一根与平板垂直的木棍。这根木棍的方向就是该点处的法线方向。任何与木棍方向平行的向量，都称为该点的一个法向量。法向量本质上垂直于切平面。因此，曲面上某点的法向量是垂直于该点切平面的向量。它们是一对紧密关联的概念。第二步：从曲线到曲面的概念迁移（一维到二维的推广）为了更精确地定义它们，我们先回顾曲线的相关知识，然后推广到曲面。曲线的切线：对于平面或空间中的一条光滑曲线，在其上一点 \( P \)，曲线的切线是通过点 \( P \) 且方向为该点切向量（即曲线在该点的导数或速度向量）的直线。曲线的法线：在平面曲线中，过点 \( P \) 且垂直于切线的直线，称为法线。方向垂直于切向量的向量就是法向量。对于曲面这个“二维”对象，我们需要将“切线”（一条直线）推广为“切平面”（一个平面），将“法线”（一条直线）推广为“法方向”（一条直线，但由切平面唯一确定）。第三步：如何严谨地定义“切平面”？给定一个光滑曲面 \( S \)，其参数方程为： \[ \mathbf{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad (u,v) \in D \] 设 \( P_ 0 = \mathbf{r}(u_ 0, v_ 0) \) 是曲面上一点。核心思想：曲面在 \( P_ 0 \) 点的所有切线的集合，构成一个平面。如何找到这些切线？考虑通过 \( P_ 0 \) 点的两条特殊的曲线：保持 \( v = v_ 0 \) 不变，让 \( u \) 变化，得到一条过 \( P_ 0 \) 的曲线，称为 u-坐标曲线。保持 \( u = u_ 0 \) 不变，让 \( v \) 变化，得到另一条过 \( P_ 0 \) 的曲线，称为 v-坐标曲线。这两条曲线在 \( P_ 0 \) 点的切向量分别为： \[ \mathbf{r}_ u(u_ 0, v_ 0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u_ 0, v_ 0), \quad \mathbf{r}_ v(u_ 0, v_ 0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u_ 0, v_ 0) \] 我们假设曲面是正则的，即这两个偏导向量线性无关（不平行且非零）。结论：曲面在 \( P_ 0 \) 点的切平面 \( T_ {P_ 0}S \)，就是由向量 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 张成的平面。它是一个二维向量空间。这个平面上的任何一个向量，都可以表示为 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 的线性组合 \( a\mathbf{r}_ u + b\mathbf{r}_ v \)。这个向量就是曲面在 \( P_ 0 \) 点的一个切向量。事实上，任何过 \( P_ 0 \) 点且完全落在曲面上的光滑曲线，其在该点的切向量都必然位于这个切平面内。第四步：定义“法向量” 既然切平面是由两个不共线的向量 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 张成的，那么与这个平面垂直的方向就是确定的（在正负号的意义下）。单位法向量 \( \mathbf{n} \) 可以通过这两个切向量的叉积（外积）来计算并归一化： \[ \mathbf{n}(u_ 0, v_ 0) = \frac{\mathbf{r}_ u(u_ 0, v_ 0) \times \mathbf{r}_ v(u_ 0, v_ 0)}{\| \mathbf{r}_ u(u_ 0, v_ 0) \times \mathbf{r}_ v(u_ 0, v_ 0) \|} \] 叉积 \( \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \) 的结果本身就是一个向量，它同时垂直于 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \)，因此垂直于整个切平面。将其长度除以其模长，就得到了一个长度为1的单位法向量。这个单位法向量 \( \mathbf{n} \) 的选择有两种可能（指向曲面“上”方或“下”方），这取决于曲面的定向。对于可定向曲面（如球面、环面），我们可以一致地选择一个方向（例如外法向）。第五步：举例巩固概念考虑一个简单曲面：半径为 \( R \) 的球面，其参数方程（经纬度参数化）为： \[ \mathbf{r}(\theta, \phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta) \] 其中 \( \theta \) 是极角（与z轴夹角），\( \phi \) 是方位角。计算偏导向量： \[ \mathbf{r} \theta = (R\cos\theta\cos\phi, R\cos\theta\sin\phi, -R\sin\theta) \] \[ \mathbf{r} \phi = (-R\sin\theta\sin\phi, R\sin\theta\cos\phi, 0) \] 在点 \( (\theta_ 0, \phi_ 0) \) 处，切平面由 \( \mathbf{r} \theta \) 和 \( \mathbf{r} \phi \) 张成。计算单位法向量： \[ \mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi = R^2\sin\theta (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) = R\sin\theta \cdot \mathbf{r}(\theta, \phi) \] 其模长为 \( \| \mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi \| = R^2\sin\theta \)。因此，单位法向量为： \[ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi}{\| \mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi \|} = \frac{\mathbf{r}(\theta, \phi)}{R} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) \] 这正是从球心指向球面点的径向单位向量，符合我们的直觉——球面某点的法向量沿半径方向。总结：切平面 \( T_ P S \)：曲面上一点 \( P \) 处，所有可能的切向量构成的一个二维平面。它由参数方程的偏导 \( \mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v \) 张成。法向量：垂直于该切平面的向量。通常使用单位法向量 \( \mathbf{n} = (\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v) / \| \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \| \)。掌握切平面和法向量是理解曲面第一基本形式（度量）、第二基本形式（弯曲）、法曲率、主曲率等后续微分几何概念的绝对前提。它们是连接曲面局部线性近似（切平面）与其实际弯曲形态（由法方向的变化来衡量）的桥梁。