卢津定理 卢津定理是实变函数论中的重要结果，它描述了可测函数与连续函数之间的深刻关系。我们可以通过以下几个步骤来理解它。 问题的背景：可测函数与连续函数 在你已学过的知识中，可测函数是定义在可测集上的函数，它是我们进行勒贝格积分研究的基本对象。 连续函数是我们非常熟悉的一类函数，它具有许多良好的性质（例如，极限与函数值可以交换顺序）。 一个自然的问题是：可测函数与连续函数之间有什么关系？可测函数能否用连续函数来“逼近”？卢津定理正是对这个问题的一个完美回答。 定理的直观描述 卢津定理指出：如果一个函数 f 是定义在 R^n 上某个可测子集 E 上的可测函数，并且 E 的测度是有限的（ m(E) < ∞ ），那么对于任意给定的正数 ε > 0 ，我们都可以在 E 中找到一个紧致子集 K ，使得： 原集合 E 与子集 K 的差集 E \ K 的测度非常小，小于 ε （即 m(E \ K) < ε ）。 函数 f 在子集 K 上的限制 f|_K 是一个连续函数。 通俗地讲，这意味着 除了一个可以任意小的测度集之外，任何定义在有限测度集上的可测函数都是连续的 。或者说，我们可以通过“扔掉”一个测度很小的“坏”集合，使得剩下的“好”集合上的函数行为非常规整（连续）。 定理的严格数学表述 设 f 是定义在可测集 E ⊂ R^n 上的实值可测函数，且 m(E) < ∞ 。那么，对于任意 ε > 0 ，存在一个紧集 K ⊂ E ，满足 m(E \ K) < ε ，并且 f 在 K 上连续。 深入理解定理的内涵 “几乎处处”的连续性 ：卢津定理并不保证函数 f 在整个定义域 E 上连续。它只保证连续性在一个“很大”的子集 K 上成立，而 K 是从 E 中“几乎”全部的点中选出来的（因为被去掉的点的集合 E \ K 的测度可以任意小）。这与你学过的“几乎处处”概念紧密相连。我们可以说，可测函数是“几乎连续”的。 与魏尔斯特拉斯逼近定理的区别 ：魏尔斯特拉斯定理说闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近。卢津定理不同，它处理的是更一般的可测函数，并且逼近的方式不是通过另一个函数，而是通过 改变定义域 ——我们找到一个“几乎”完整的子集，使得函数在其上本身就具有连续性。 重要性 ：这个定理的价值在于，它允许我们将可测函数的问题（可能很复杂、不规则）转化为连续函数的问题（相对简单、规则）来处理，只要我们能容忍一个测度任意小的误差集。这在对勒贝格积分等概念进行理论推导时非常有用。 一个简单的例子 考虑定义在 [0, 1] 区间上的狄利克雷函数 D(x) ：当 x 为有理数时 D(x)=1 ，当 x 为无理数时 D(x)=0 。这个函数在 [0,1] 上处处不连续。 然而，它是一个可测函数（因为有理数集是可测的，且测度为0）。 根据卢津定理，对于任意小的 ε （比如 ε = 0.1 ），我们可以从定义域 [0,1] 中“去掉”一个总长度小于 0.1 的点集，使得函数在剩下的集合上连续。 具体怎么做？因为无理数集在 [0,1] 中测度为1，我们可以选择剩下的集合 K 为一个完全由无理数构成的紧集（例如， [0,1] 去掉所有有理数后剩下的集合的一个紧子集，其测度大于 0.9 ）。在这个集合 K 上，函数 D(x) 恒等于 0 。常值函数当然是连续的。这就验证了卢津定理的结论。