分次环的Cohen-Macaulay性质
字数 2414 2025-12-18 09:40:41

分次环的Cohen-Macaulay性质

我们循序渐进地讲解这个概念。

1. 回顾基础：分次环

一个分次环 \(R\) 是带有直和分解

\[R = \bigoplus_{n \ge 0} R_n \]

的交换环（或更一般地，非交换环，但此处我们通常考虑交换含幺环），满足 \(R_m \cdot R_n \subseteq R_{m+n}\)。

  • \(R_0\) 是子环，每个 \(R_n\) 是 \(R_0\)-模。
  • 常见例子：多项式环 \(k[x_1,\dots,x_n]\)，以通常次数分次。

2. 分次模与分次同调

如果 \(M\) 是 \(R\)-模，且有直和分解

\[M = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} M_n \]

满足 \(R_m \cdot M_n \subseteq M_{m+n}\)，则称 \(M\) 为分次模。

  • 分次同态：保持次数的模同态。
  • 分次理想：作为 \(R\)-子模是分次的理想。

3. 分次环的局部上同调

对于分次环 \(R\)，令 \(\mathfrak{m} = R_+ = \bigoplus_{n>0} R_n\)（如果 \(R_0\) 是域，则 \(\mathfrak{m}\) 是唯一的极大分次理想）。
局部上同调模 \(H^i_{\mathfrak{m}}(M)\) 可以分次化，即

\[H^i_{\mathfrak{m}}(M) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} H^i_{\mathfrak{m}}(M)_n \]

其中 \(n\) 是分次次数。

4. 深度与Cohen-Macaulay模的回顾（非分次情形）

在一般交换代数中，模 \(M\) 的深度（depth）定义为：

\[\operatorname{depth}_{\mathfrak{m}}(M) = \inf\{ i \mid \operatorname{Ext}^i_R(R/\mathfrak{m}, M) \ne 0 \} \]

或等价地，极大 \(M\)-正则序列的长度。

环 \(R\)（或模 \(M\)）称为 Cohen-Macaulay（CM）如果

\[\operatorname{depth}_{\mathfrak{m}}(M) = \dim(M) \]

其中 \(\dim(M)\) 是 Krull 维数。

5. 分次情形下的深度与CM性质

在分次环 \(R\)（\(R_0\) 为域）中，对分次模 \(M\)：

  • 深度仍可用分次极大理想 \(\mathfrak{m} = R_+\) 定义，且 \(\operatorname{depth}_{\mathfrak{m}}(M)\) 等于极大分次 \(M\)-正则序列的长度。
  • Krull 维数 \(\dim(M)\) 仍定义为素理想链长度的上确界。

称分次模 \(M\) 为 分次 Cohen-Macaulay（graded CM）如果

\[\operatorname{depth}_{\mathfrak{m}}(M) = \dim(M) \]

这等价于：局部上同调 \(H^i_{\mathfrak{m}}(M) = 0\) 对 \(i < \dim(M)\)，且 \(H^{\dim(M)}_{\mathfrak{m}}(M) \neq 0\)。

6. 分次CM模的判别与性质

分次CM模有很好的同调特征：

  1. 自由分辨率：若 \(R\) 是多项式环，分次CM模 \(M\) 有极小自由分次分辨率，其长度等于 \(\operatorname{codim}(M) = \dim(R) - \dim(M)\)。
  2. Hilbert级数：若 \(R\) 是多项式环上的分次CM模，其 Hilbert 级数可写成

\[\frac{Q(t)}{(1-t)^{\dim(M)}} \]

其中 \(Q(t)\) 是多项式，系数非负（由于分次CM模的h-向量非负）。
3. 正则序列：存在齐次正则序列，长度等于深度。

7. 例子

  • \(R = k[x,y,z]\)（分次），\(I = (x^2, xy, xz)\)：商环 \(R/I\) 不是 CM，因为深度=1，维数=2。
  • \(R/I\) 其中 \(I\) 是齐次完全交理想：是分次CM模。
  • 仿射坐标环为 CM 的仿射代数簇，其齐次坐标环（对射影闭包）也是分次CM环。

8. 与射影几何的联系

若 \(X\) 是射影簇，齐次坐标环 \(S(X)\) 是分次环。

  • \(X\) 是算术 Cohen-Macaulay 的当且仅当 \(S(X)\) 是分次CM环。
  • 此时上同调 \(H^i(X, \mathcal{O}_X(n))\) 在某个范围消失（由局部上同调与射影上同调的对偶关系得到）。

9. 推广：分次Gorenstein环

分次CM环中，若 \(H^{\dim(R)}_{\mathfrak{m}}(R)\) 是分次模且在分次对偶下同构于 \(R\) 的平移（即 分次典范模 \(\omega_R \cong R(a)\)），则称 \(R\) 为分次Gorenstein环。
例如：完全交的齐次坐标环常是分次Gorenstein。

总结

分次环的Cohen-Macaulay性质 是结合了分次结构与经典CM条件的概念，它在射影代数几何、交换代数与组合交换代数中起核心作用，控制着 Hilbert 函数、自由分辨率与上同调消失行为。

分次环的Cohen-Macaulay性质 我们循序渐进地讲解这个概念。 1. 回顾基础：分次环 一个 分次环 \( R \) 是带有直和分解 \[ R = \bigoplus_ {n \ge 0} R_ n \] 的交换环（或更一般地，非交换环，但此处我们通常考虑交换含幺环），满足 \( R_ m \cdot R_ n \subseteq R_ {m+n} \)。 \( R_ 0 \) 是子环，每个 \( R_ n \) 是 \( R_ 0 \)-模。 常见例子：多项式环 \( k[ x_ 1,\dots,x_ n ] \)，以通常次数分次。 2. 分次模与分次同调 如果 \( M \) 是 \( R \)-模，且有直和分解 \[ M = \bigoplus_ {n \in \mathbb{Z}} M_ n \] 满足 \( R_ m \cdot M_ n \subseteq M_ {m+n} \)，则称 \( M \) 为 分次模 。 分次同态：保持次数的模同态。 分次理想：作为 \( R \)-子模是分次的理想。 3. 分次环的局部上同调 对于分次环 \( R \)，令 \( \mathfrak{m} = R_ + = \bigoplus_ {n>0} R_ n \)（如果 \( R_ 0 \) 是域，则 \( \mathfrak{m} \) 是唯一的极大分次理想）。 局部上同调模 \( H^i_ {\mathfrak{m}}(M) \) 可以分次化，即 \[ H^i_ {\mathfrak{m}}(M) = \bigoplus_ {n \in \mathbb{Z}} H^i_ {\mathfrak{m}}(M)_ n \] 其中 \( n \) 是分次次数。 4. 深度与Cohen-Macaulay模的回顾（非分次情形） 在一般交换代数中，模 \( M \) 的 深度 （depth）定义为： \[ \operatorname{depth}_ {\mathfrak{m}}(M) = \inf\{ i \mid \operatorname{Ext}^i_ R(R/\mathfrak{m}, M) \ne 0 \} \] 或等价地，极大 \( M \)-正则序列的长度。 环 \( R \)（或模 \( M \)）称为 Cohen-Macaulay （CM）如果 \[ \operatorname{depth}_ {\mathfrak{m}}(M) = \dim(M) \] 其中 \(\dim(M)\) 是 Krull 维数。 5. 分次情形下的深度与CM性质 在分次环 \( R \)（\( R_ 0 \) 为域）中，对分次模 \( M \)： 深度仍可用分次极大理想 \( \mathfrak{m} = R_ + \) 定义，且 \(\operatorname{depth}_ {\mathfrak{m}}(M)\) 等于极大分次 \( M \)-正则序列的长度。 Krull 维数 \(\dim(M)\) 仍定义为素理想链长度的上确界。 称分次模 \( M \) 为 分次 Cohen-Macaulay （graded CM）如果 \[ \operatorname{depth} {\mathfrak{m}}(M) = \dim(M) \] 这等价于：局部上同调 \( H^i {\mathfrak{m}}(M) = 0 \) 对 \( i < \dim(M) \)，且 \( H^{\dim(M)}_ {\mathfrak{m}}(M) \neq 0 \)。 6. 分次CM模的判别与性质 分次CM模有很好的同调特征： 自由分辨率 ：若 \( R \) 是多项式环，分次CM模 \( M \) 有 极小自由分次分辨率 ，其长度等于 \(\operatorname{codim}(M) = \dim(R) - \dim(M)\)。 Hilbert级数 ：若 \( R \) 是多项式环上的分次CM模，其 Hilbert 级数可写成 \[ \frac{Q(t)}{(1-t)^{\dim(M)}} \] 其中 \( Q(t) \) 是多项式，系数非负（由于分次CM模的 h-向量 非负）。 正则序列 ：存在齐次正则序列，长度等于深度。 7. 例子 \( R = k[ x,y,z ] \)（分次），\( I = (x^2, xy, xz) \)：商环 \( R/I \) 不是 CM，因为深度=1，维数=2。 \( R/I \) 其中 \( I \) 是齐次完全交理想：是分次CM模。 仿射坐标环为 CM 的仿射代数簇，其齐次坐标环（对射影闭包）也是分次CM环。 8. 与射影几何的联系 若 \( X \) 是射影簇，齐次坐标环 \( S(X) \) 是分次环。 \( X \) 是 算术 Cohen-Macaulay 的当且仅当 \( S(X) \) 是分次CM环。 此时上同调 \( H^i(X, \mathcal{O}_ X(n)) \) 在某个范围消失（由局部上同调与射影上同调的对偶关系得到）。 9. 推广：分次Gorenstein环 分次CM环中，若 \( H^{\dim(R)}_ {\mathfrak{m}}(R) \) 是分次模且在分次对偶下同构于 \( R \) 的平移（即 分次典范模 \( \omega_ R \cong R(a) \)），则称 \( R \) 为分次Gorenstein环。 例如：完全交的齐次坐标环常是分次Gorenstein。 总结 分次环的Cohen-Macaulay性质 是结合了分次结构与经典CM条件的概念，它在射影代数几何、交换代数与组合交换代数中起核心作用，控制着 Hilbert 函数、自由分辨率与上同调消失行为。