量子力学中的谐振子 我们先从经典谐振子出发。一个质量为 m、角频率为 ω 的一维经典谐振子，其哈密顿量（总能量）为： H = p²/(2m) + (1/2)mω²x² 其中 x 是位置，p 是动量。这是一个在平衡位置附近做简谐运动的系统。 在量子力学中，位置算符 x 和动量算符 p 不再是对易的经典变量，它们满足对易关系： [ x, p ] = iℏ （其中 ℏ 是约化普朗克常数，[ A, B ] = AB - BA）。因此，量子谐振子的哈密顿算符为： Ĥ = p²/(2m) + (1/2)mω²x² 我们的目标是求解这个算符的本征值（能量）和本征态（能量本征态）。 直接求解这个微分方程（在坐标表象下，p 变为 -iℏ d/dx）是复杂的。一个非常优美且强大的方法是引入 升降算符 （也称为产生和湮灭算符）。我们定义湮灭算符 a 和产生算符 a† 如下： a = √(mω/(2ℏ)) (x + (i/(mω)) p) a† = √(mω/(2ℏ)) (x - (i/(mω)) p) 可以验证，它们满足对易关系： [ a, a† ] = 1 利用 x 和 p 用 a 和 a† 表达的逆关系，我们可以将哈密顿算符重新写为： Ĥ = ℏω (a†a + 1/2) 现在我们引入一个极其重要的算符： 粒子数算符 N ，定义为： N = a†a N 是一个厄米算符（因为 (a†a)† = a†a），因此它的本征值是实数。哈密顿算符可以简洁地写成： Ĥ = ℏω (N + 1/2) 这意味着，求解 Ĥ 的本征值问题等价于求解 N 的本征值问题。 假设 N 有一个本征态 |n>，对应的本征值为 n（一个实数）： N |n> = n |n> 利用对易关系 [ a, a† ] = 1，我们可以推导出升降算符作用于本征态 |n> 上的效果： a |n> = √n |n-1> （湮灭算符将能量状态降低一级） a† |n> = √(n+1) |n+1> （产生算符将能量状态提升一级） N (a |n>) = (n-1)(a |n>) （说明 a|n> 确实是 N 属于本征值 n-1 的本征态） N (a† |n>) = (n+1)(a† |n>) （说明 a†|n> 确实是 N 属于本征值 n+1 的本征态） 现在，我们来求解 n 的可能取值。由于 <n|N|n> = <n|a†a|n> = ||a|n>||² ≥ 0（态矢量模长的平方非负），所以本征值 n 必须满足 n ≥ 0。 假设最小的本征值为 n₀，对应的本征态为 |n₀>。根据性质1，如果我们试图用湮灭算符 a 去降低这个状态，应该得到 a |n₀> = √(n₀) |n₀ - 1>。但是 n₀ 已经是最小的本征值，不可能存在 |n₀ - 1> 这个状态，否则会与 n₀ 的最小性矛盾。为了避免这个矛盾，唯一的可能是： a |n₀> = 0 （零向量） 将 a 作用到 |n₀> 上，并取其模长平方： 0 = <n₀| a†a |n₀> = <n₀| N |n₀> = n₀ <n₀|n₀> = n₀ 因此，最小的本征值 n₀ = 0。 从基态（或称真空态）|0> 开始（满足 a|0>=0, N|0>=0），我们可以反复使用产生算符 a† 来构造所有更高的能级： |1> = a† |0> |2> = (1/√2) (a†)² |0> |n> = (1/√(n !)) (a†)ⁿ |0> 并且可以验证 N|n> = n|n>。 现在回到哈密顿算符 Ĥ = ℏω (N + 1/2)，我们立刻得到其能量本征值： E_ n = ℏω (n + 1/2), 其中 n = 0, 1, 2, ... 这就是量子谐振子著名的 等间距能级 。即使是在最低能态（基态，n=0），能量也不为零，而是 E₀ = (1/2)ℏω，这称为 零点能 ，是量子力学波粒二象性的直接结果。 在坐标表象下，基态波函数 ψ₀(x) 可以通过求解 a|0>=0 这个一阶微分方程得到，其结果是一个高斯波包：ψ₀(x) ∝ exp(-mωx²/(2ℏ))。更高激发态的波函数可以通过作用 a† 得到，它们是高斯函数乘以厄米多项式。 总结一下，通过引入升降算符，我们将一个复杂的微分方程问题转化为一个优雅的代数问题。这种方法（称为代数方法或因子化方法）的核心是找到了对易关系满足 [ H, a] ∝ a 和 [ H, a† ] ∝ a† 的算符 a 和 a†，这使得我们能系统地构造出整个能谱。这种方法在量子场论中得到了极大的推广，成为处理多粒子系统的基础。