数值积分中的高斯求积法
字数 2191 2025-12-18 06:56:36

数值积分中的高斯求积法

我们先从数值积分的核心需求说起：在实际计算中，很多函数的定积分（即

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

）无法用牛顿-莱布尼茨公式求出精确的解析解（例如原函数找不到或过于复杂）。数值积分的任务，就是用有限的采样点（节点）处的函数值，构造一个加权和来近似这个积分值。

第一步：从机械求积公式到代数精度

最简单的数值积分方法是矩形法和梯形法。它们可以统一写成一个更一般的形式，称为机械求积公式：

\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k) \]

其中 \(x_k\) 是预先选定的积分节点（\(a \leq x_0 < x_1 < \dots < x_n \leq b\)），\(A_k\) 是对应的求积系数（权重）。

我们如何衡量一个求积公式的好坏？一个关键指标是代数精度。如果某个求积公式能对所有次数不超过 \(m\) 的多项式精确成立（即近似等号变成严格等号），但对至少一个 \(m+1\) 次多项式不精确，则称该公式具有 \(m\) 次代数精度。例如，梯形法（用两个端点）具有1次代数精度，能精确积分一次多项式（直线）。

第二步：提高精度——从等距节点到最优节点

对于给定的节点数 \(n+1\)，我们自然希望得到最高的代数精度。如果节点 \(x_k\) 固定（比如等距分布），可以通过解方程组确定权重 \(A_k\)，使得公式对尽可能低次的多项式精确。这种固定节点（如等距）下得到的最高代数精度是 \(n\) 次。这就是牛顿-柯特斯公式家族（包括梯形法、辛普森法等）。

但是，如果不固定节点位置，把 \(x_k\) 和 \(A_k\) 都作为待定参数，我们就有 \(2n+2\) 个自由度。理论上，可以让公式对 \(2n+1\) 次多项式精确成立。这就是高斯求积法的核心思想：通过精心选择节点位置，将代数精度从 \(n\) 次大幅提升至 \(2n+1\) 次。这意味着对于给定数量的函数计算（\(n+1\) 次），高斯公式能达到最高的代数精度，从而对光滑函数通常具有极佳的收敛性。

第三步：如何找到这些最优节点？——正交多项式的零点

高斯求积节点 \(x_k\) 的选择，与正交多项式紧密相关。考虑带权积分：

\[\int_{a}^{b} \omega(x) f(x) \, dx \approx \sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k) \]

其中 \(\omega(x) \geq 0\) 是权函数（例如在区间 \([-1, 1]\) 上，\(\omega(x) = 1\) 对应于勒让德多项式，\(\omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 对应于切比雪夫多项式）。

关键定理指出：使上述公式具有 \(2n+1\) 次代数精度的节点 \(x_k\)，正是与权函数 \(\omega(x)\) 及区间 \([a, b]\) 对应的 \(n+1\) 次正交多项式的零点。同时，权重 \(A_k\) 可以通过求解线性方程组或使用已知公式得到，且所有权重 \(A_k > 0\)，这保证了数值稳定性。

第四步：标准区间与常用高斯公式

为了应用方便，通常先将一般区间 \([a, b]\) 通过线性变换映射到标准区间。最常用的是：

  • 高斯-勒让德求积：区间 \([-1, 1]\)，权函数 \(\omega(x) = 1\)。其节点是勒让德多项式 \(P_{n+1}(x)\) 的零点。这是计算普通定积分的首选。
  • 高斯-拉盖尔求积：区间 \([0, \infty)\)，权函数 \(\omega(x) = e^{-x}\)。用于计算半无限区间上的积分。
  • 高斯-埃尔米特求积：区间 \((-\infty, \infty)\)，权函数 \(\omega(x) = e^{-x^2}\)。用于计算全无限区间上的积分。

第五步：实际计算与误差估计

对于积分 \(I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)，实际步骤如下：

  1. 根据区间和权函数选择对应的高斯求积类型（通常为高斯-勒让德）。
  2. 确定节点数 \(n+1\)。节点和权重有现成的表格或库函数可查。
  3. 将节点从标准区间变换回 \([a, b]\)，并计算函数值 \(f(x_k)\)。
  4. 计算加权和 \(\sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k)\) 作为积分近似值。

误差分析表明，高斯求积的误差项与 \(f^{(2n+2)}(\xi)\) 在某点的值有关。对于充分光滑的函数，误差随 \(n\) 增大而指数级衰减，收敛速度极快。实践中，常通过比较不同 \(n\) 下的结果来估计精度。

总结：高斯求积法通过在积分区间内最优地选择非均匀分布的节点，实现了给定计算量下的最高代数精度。它的理论基础是正交多项式，其高效性源于对光滑函数积分误差的快速收敛性，是科学计算中最为重要和常用的数值积分技术之一。

数值积分中的高斯求积法 我们先从数值积分的核心需求说起：在实际计算中，很多函数的定积分（即 \[ \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \]）无法用牛顿-莱布尼茨公式求出精确的解析解（例如原函数找不到或过于复杂）。数值积分的任务，就是用有限的采样点（节点）处的函数值，构造一个加权和来近似这个积分值。 第一步：从机械求积公式到代数精度 最简单的数值积分方法是 矩形法 和 梯形法 。它们可以统一写成一个更一般的形式，称为 机械求积公式 ： \[ \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \approx \sum_ {k=0}^{n} A_ k f(x_ k) \] 其中 \( x_ k \) 是预先选定的积分节点（\( a \leq x_ 0 < x_ 1 < \dots < x_ n \leq b \)），\( A_ k \) 是对应的求积系数（权重）。 我们如何衡量一个求积公式的好坏？一个关键指标是 代数精度 。如果某个求积公式能对所有次数不超过 \( m \) 的多项式精确成立（即近似等号变成严格等号），但对至少一个 \( m+1 \) 次多项式不精确，则称该公式具有 \( m \) 次代数精度。例如，梯形法（用两个端点）具有1次代数精度，能精确积分一次多项式（直线）。 第二步：提高精度——从等距节点到最优节点 对于给定的节点数 \( n+1 \)，我们自然希望得到最高的代数精度。如果节点 \( x_ k \) 固定（比如等距分布），可以通过解方程组确定权重 \( A_ k \)，使得公式对尽可能低次的多项式精确。这种固定节点（如等距）下得到的最高代数精度是 \( n \) 次。这就是 牛顿-柯特斯公式 家族（包括梯形法、辛普森法等）。 但是，如果 不固定节点位置 ，把 \( x_ k \) 和 \( A_ k \) 都作为待定参数，我们就有 \( 2n+2 \) 个自由度。理论上，可以让公式对 \( 2n+1 \) 次多项式精确成立。这就是 高斯求积法 的核心思想：通过精心选择节点位置，将代数精度从 \( n \) 次大幅提升至 \( 2n+1 \) 次。这意味着对于给定数量的函数计算（\( n+1 \) 次），高斯公式能达到最高的代数精度，从而对光滑函数通常具有极佳的收敛性。 第三步：如何找到这些最优节点？——正交多项式的零点 高斯求积节点 \( x_ k \) 的选择，与 正交多项式 紧密相关。考虑带权积分： \[ \int_ {a}^{b} \omega(x) f(x) \, dx \approx \sum_ {k=0}^{n} A_ k f(x_ k) \] 其中 \( \omega(x) \geq 0 \) 是权函数（例如在区间 \([ -1, 1 ]\) 上，\( \omega(x) = 1 \) 对应于勒让德多项式，\( \omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 对应于切比雪夫多项式）。 关键定理指出：使上述公式具有 \( 2n+1 \) 次代数精度的节点 \( x_ k \)，正是与权函数 \( \omega(x) \) 及区间 \([ a, b]\) 对应的 \( n+1 \) 次正交多项式的零点。同时，权重 \( A_ k \) 可以通过求解线性方程组或使用已知公式得到，且所有权重 \( A_ k > 0 \)，这保证了数值稳定性。 第四步：标准区间与常用高斯公式 为了应用方便，通常先将一般区间 \([ a, b ]\) 通过线性变换映射到标准区间。最常用的是： 高斯-勒让德求积 ：区间 \([ -1, 1]\)，权函数 \( \omega(x) = 1 \)。其节点是勒让德多项式 \( P_ {n+1}(x) \) 的零点。这是计算普通定积分的首选。 高斯-拉盖尔求积 ：区间 \( [ 0, \infty)\)，权函数 \( \omega(x) = e^{-x} \)。用于计算半无限区间上的积分。 高斯-埃尔米特求积 ：区间 \((-\infty, \infty)\)，权函数 \( \omega(x) = e^{-x^2} \)。用于计算全无限区间上的积分。 第五步：实际计算与误差估计 对于积分 \( I = \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \)，实际步骤如下： 根据区间和权函数选择对应的高斯求积类型（通常为高斯-勒让德）。 确定节点数 \( n+1 \)。节点和权重有现成的表格或库函数可查。 将节点从标准区间变换回 \([ a, b]\)，并计算函数值 \( f(x_ k) \)。 计算加权和 \( \sum_ {k=0}^{n} A_ k f(x_ k) \) 作为积分近似值。 误差分析表明，高斯求积的误差项与 \( f^{(2n+2)}(\xi) \) 在某点的值有关。对于充分光滑的函数，误差随 \( n \) 增大而指数级衰减，收敛速度极快。实践中，常通过比较不同 \( n \) 下的结果来估计精度。 总结 ：高斯求积法通过在积分区间内最优地选择非均匀分布的节点，实现了给定计算量下的最高代数精度。它的理论基础是正交多项式，其高效性源于对光滑函数积分误差的快速收敛性，是科学计算中最为重要和常用的数值积分技术之一。