有界变差函数
字数 2104 2025-10-26 12:44:01

有界变差函数

  1. 直观引入与动机
    在微积分中，我们研究函数的导数时，通常假设函数是“光滑”或“连续可微”的。然而，许多实际应用中出现的函数（例如由物理过程产生的函数）可能并不那么光滑。一个自然的问题是：对于一类不够光滑的函数，我们能否在某种意义下定义其“变化量”？有界变差函数正是为了刻画函数在区间上的整体振荡程度而引入的概念。直观上说，如果一个函数在区间上的图像可以被有限长的曲线覆盖，那么它的“总变差”是有限的，我们称其为有界变差函数。

  2. 划分与变差和的定义
    为了量化函数的变化，我们考虑区间 \([a, b]\) 的任意一个划分 \(P: a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b\)。对于这个划分，我们计算函数在各个子区间上变化的绝对值之和，即总和 \(V(f, P) = \sum_{i=1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i-1})|\)。这个值 \(V(f, P)\) 衡量了按照划分 \(P\) 来看，函数 \(f\) 的总变化量。

  3. 总变差的定义
    显然，不同的划分会得到不同的变差和。我们取所有可能划分对应的变差和的上确界（最小上界）作为函数在整个区间上的总变差，记为 \(T_V^b_a (f)\)：

\[ T_V^b_a (f) = \sup \{ V(f, P) : P是[a,b]的一个划分 \} \]

这个值可能是有限的，也可能是无穷大。

  1. 有界变差函数的定义
    如果函数 \(f\) 在区间 \([a, b]\) 上的总变差是有限的，即 \(T_V^b_a (f) < +\infty\)，那么就称 \(f\) 是 \([a, b]\) 上的有界变差函数。所有 \([a, b]\) 上的有界变差函数构成的集合记作 \(BV([a, b])\)。

  2. 基本例子与反例

    • 例子1（单调函数）：任何在 \([a, b]\) 上单调的函数（无论是单调递增还是递减）都是有界变差函数。如果 \(f\) 是单调递增的，那么对于任意划分 \(P\)，有 \(V(f, P) = \sum |f(x_i) - f(x_{i-1})| = f(b) - f(a)\)。因此，总变差 \(T_V^b_a (f) = f(b) - f(a) < \infty\)。
    • 例子2（Lipschitz连续函数）：如果存在常数 \(M\)，使得对任意 \(x, y \in [a, b]\)，有 \(|f(x) - f(y)| \le M|x-y|\)，那么 \(f\) 是有界变差的。因为对于任意划分，\(V(f, P) \le M(b-a)\)。
    • 反例（振荡函数）：考虑函数 \(f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\) 在区间 \([0, 1]\) 上。当 \(x\) 接近 0 时，函数在正负之间无限次振荡。可以证明，对于这个函数，其总变差是无穷大的，因此它不是有界变差函数。

  3. 基本性质

    • 代数运算封闭性：有界变差函数在加法和数乘下是封闭的。即，如果 \(f, g \in BV([a, b])\)，\(c\) 是常数，那么 \(f+g\) 和 \(cf\) 也在 \(BV([a, b])\) 中。
    • 乘积与复合：两个有界变差函数的乘积仍然是有界变差的。但有界变差函数的复合不一定是有界变差的。
    • 有界性：有界变差函数必然是有界函数。
    • 区间可加性：对于 \(a < c < b\)，有 \(T_V^b_a (f) = T_V^c_a (f) + T_V^b_c (f)\)。

  4. 与单调函数和可微性的深刻联系（Jordan分解定理）
    这是有界变差函数理论中的一个核心定理。它指出：函数 \(f\) 是 \([a, b]\) 上的有界变差函数，当且仅当，它可以表示为两个单调递增函数之差，即 \(f(x) = g(x) - h(x)\)，其中 \(g\) 和 \(h\) 都是单调递增函数。

    • 意义：这个定理将相对复杂的有界变差函数的研究归结为对简单得多的单调函数的研究。一个经典的构造方法是令 \(g(x) = T_V^x_a (f)\)（即从 \(a\) 到 \(x\) 的总变差函数），\(h(x) = g(x) - f(x)\)，可以证明 \(g\) 和 \(h\) 都是单调递增的。
    • 推论：由于单调函数是几乎处处可微的（一个重要的性质），根据Jordan分解定理，有界变差函数也一定是几乎处处可微的。这为在更广的函数类中讨论导数提供了基础。

  5. 与绝对连续函数的关系
    有界变差函数是一个比绝对连续函数更广的类。每一个绝对连续函数必然是有界变差的，但反之则不成立。有界变差函数可以含有“尖点”或“跳跃”，而绝对连续函数可以看作是“几乎光滑”的，它排除了那种由跳跃点产生的变差。有界变差函数是绝对连续函数与奇异函数（导数几乎处处为零的连续函数）的某种组合。

有界变差函数 直观引入与动机 在微积分中，我们研究函数的导数时，通常假设函数是“光滑”或“连续可微”的。然而，许多实际应用中出现的函数（例如由物理过程产生的函数）可能并不那么光滑。一个自然的问题是：对于一类不够光滑的函数，我们能否在某种意义下定义其“变化量”？有界变差函数正是为了刻画函数在区间上的整体振荡程度而引入的概念。直观上说，如果一个函数在区间上的图像可以被有限长的曲线覆盖，那么它的“总变差”是有限的，我们称其为有界变差函数。 划分与变差和的定义 为了量化函数的变化，我们考虑区间 \([ a, b]\) 的任意一个划分 \(P: a = x_ 0 < x_ 1 < x_ 2 < \dots < x_ n = b\)。对于这个划分，我们计算函数在各个子区间上变化的绝对值之和，即总和 \(V(f, P) = \sum_ {i=1}^{n} |f(x_ i) - f(x_ {i-1})|\)。这个值 \(V(f, P)\) 衡量了按照划分 \(P\) 来看，函数 \(f\) 的总变化量。 总变差的定义 显然，不同的划分会得到不同的变差和。我们取所有可能划分对应的变差和的上确界（最小上界）作为函数在整个区间上的总变差，记为 \(T_ V^b_ a (f)\)： \[ T_ V^b_ a (f) = \sup \{ V(f, P) : P是[ a,b ]的一个划分 \} \] 这个值可能是有限的，也可能是无穷大。 有界变差函数的定义 如果函数 \(f\) 在区间 \([ a, b]\) 上的总变差是有限的，即 \(T_ V^b_ a (f) < +\infty\)，那么就称 \(f\) 是 \([ a, b]\) 上的有界变差函数。所有 \([ a, b]\) 上的有界变差函数构成的集合记作 \(BV([ a, b ])\)。 基本例子与反例 例子1（单调函数） ：任何在 \([ a, b]\) 上单调的函数（无论是单调递增还是递减）都是有界变差函数。如果 \(f\) 是单调递增的，那么对于任意划分 \(P\)，有 \(V(f, P) = \sum |f(x_ i) - f(x_ {i-1})| = f(b) - f(a)\)。因此，总变差 \(T_ V^b_ a (f) = f(b) - f(a) < \infty\)。 例子2（Lipschitz连续函数） ：如果存在常数 \(M\)，使得对任意 \(x, y \in [ a, b ]\)，有 \(|f(x) - f(y)| \le M|x-y|\)，那么 \(f\) 是有界变差的。因为对于任意划分，\(V(f, P) \le M(b-a)\)。 反例（振荡函数） ：考虑函数 \(f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\) 在区间 \([ 0, 1 ]\) 上。当 \(x\) 接近 0 时，函数在正负之间无限次振荡。可以证明，对于这个函数，其总变差是无穷大的，因此它不是有界变差函数。 基本性质 代数运算封闭性 ：有界变差函数在加法和数乘下是封闭的。即，如果 \(f, g \in BV([ a, b])\)，\(c\) 是常数，那么 \(f+g\) 和 \(cf\) 也在 \(BV([ a, b ])\) 中。 乘积与复合 ：两个有界变差函数的乘积仍然是有界变差的。但有界变差函数的复合不一定是有界变差的。 有界性 ：有界变差函数必然是有界函数。 区间可加性 ：对于 \(a < c < b\)，有 \(T_ V^b_ a (f) = T_ V^c_ a (f) + T_ V^b_ c (f)\)。 与单调函数和可微性的深刻联系（Jordan分解定理） 这是有界变差函数理论中的一个核心定理。它指出：函数 \(f\) 是 \([ a, b]\) 上的有界变差函数， 当且仅当 ，它可以表示为两个单调递增函数之差，即 \(f(x) = g(x) - h(x)\)，其中 \(g\) 和 \(h\) 都是单调递增函数。 意义 ：这个定理将相对复杂的有界变差函数的研究归结为对简单得多的单调函数的研究。一个经典的构造方法是令 \(g(x) = T_ V^x_ a (f)\)（即从 \(a\) 到 \(x\) 的总变差函数），\(h(x) = g(x) - f(x)\)，可以证明 \(g\) 和 \(h\) 都是单调递增的。 推论 ：由于单调函数是几乎处处可微的（一个重要的性质），根据Jordan分解定理，有界变差函数也一定是几乎处处可微的。这为在更广的函数类中讨论导数提供了基础。 与绝对连续函数的关系 有界变差函数是一个比 绝对连续函数 更广的类。每一个绝对连续函数必然是有界变差的，但反之则不成立。有界变差函数可以含有“尖点”或“跳跃”，而绝对连续函数可以看作是“几乎光滑”的，它排除了那种由跳跃点产生的变差。有界变差函数是绝对连续函数与奇异函数（导数几乎处处为零的连续函数）的某种组合。