《分析学词条：黎曼可积性》
字数 3369 2025-12-18 06:08:25

好的，根据记录，我们已讲过的词条数量庞大。为了避免重复，我将生成并讲解一个尚未出现在列表中的、分析学领域的基础且核心的词条。

《分析学词条：黎曼可积性》

现在，我将为您循序渐进地讲解“黎曼可积性”这个概念，力求细致准确。

第一步：问题的起源——曲线下的面积

我们从一个最古老的几何问题开始：如何计算一条连续曲线 \(y = f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上与x轴所围成的曲边梯形的“面积”？
对于简单的图形（如矩形、三角形），我们有精确的公式。但对于一般的曲线，我们缺乏直接的工具。黎曼可积性的思想，正是为解决这类问题而诞生的。

第二步：核心思想——以“直”代“曲”与逼近

黎曼的思路非常直观：既然我们擅长计算矩形的面积，那么我们可以尝试用一系列矩形来“覆盖”或“填充”这个曲边梯形。

  1. 分割：首先，将区间 \([a, b]\) 任意地分割成许多小的子区间。设这个分割为 \(P: a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b\)。
  2. 近似：在每个小子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上，因为区间很小，函数值变化不大。我们任取一点 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\)，用这个点的高 \(f(\xi_i)\) 来代表整个小区间上的“平均高度”。
  3. 求和：那么，以 \(f(\xi_i)\) 为高，以 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) 为宽的矩形面积就是 \(f(\xi_i) \Delta x_i\)。把所有这样的矩形面积加起来，就得到了曲边梯形面积的一个近似值。这个和称为 黎曼和（Riemann Sum）：

\[ S(P, f, \{\xi_i\}) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \]

这个和依赖于三样东西：分割 \(P\)、函数 \(f\) 以及 每个小区间上代表点的选取 \(\{\xi_i\}\)。

第三步：从近似到精确——极限的引入

仅仅得到近似值是不够的。黎曼的关键思想是：如果当我让分割越来越“细”，即所有小区间的最大长度 \(\|P\| = \max\{\Delta x_i\}\) 趋于0时，无论在每个小区间上如何选取代表点 \(\xi_i\)，相应的黎曼和都趋向于同一个确定的极限值 \(I\)。
这个极限过程消除了分割方式和代表点选取的任意性。如果这个公共的极限 \(I\) 存在，我们就认为它是曲边梯形的精确面积。

数学定义（黎曼可积性）：
设函数 \(f: [a， b] \to \mathbb{R}\) 是有界函数。如果存在一个实数 \(I\)，使得对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，总存在 \(\delta > 0\)，使得对于区间 \([a， b]\) 的任意分割 \(P\)，只要其模 \(\|P\| < \delta\)，并且任意选取代表点集 \(\{\xi_i\}\)，相应的黎曼和都满足：

\[| S(P, f, \{\xi_i\}) - I | < \epsilon \]

那么，我们就称函数 \(f\) 在 \([a， b]\) 上是 黎曼可积的，并称这个极限值 \(I\) 为 \(f\) 在 \([a， b]\) 上的 黎曼积分，记作：

\[I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

第四步：如何判断？——达布上下和与可积准则

直接使用上述极限定义来判断可积性非常困难，因为它要求考虑“所有”可能的分割和“所有”可能的代表点。法国数学家达布提供了一个更易于操作的可积性判据。

  1. 达布上和与下和：对于一个固定的分割 \(P\)。
  • 上确界（Supremum）：在小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上，函数 \(f\) 可能取到不同值。我们取这个小区间上函数值的上确界 \(M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)\)。
  • 下确界（Infimum）：同理，取其下确界 \(m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)\)。
  • 我们分别用 \(M_i\) 和 \(m_i\) 作为矩形的高，构造两个特殊的黎曼和：
  • 达布上和：\(U(P, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i\) （所有矩形都“包住”曲线）
  • 达布下和：\(L(P, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i\) （所有矩形都“含于”曲线下）
    显然，对于同一个分割 \(P\)，有 \(L(P, f) \le\) 任意黎曼和 \(\le U(P, f)\)。
  1. 可积的达布准则：一个在 \([a， b]\) 上有界的函数 \(f\) 是黎曼可积的，当且仅当：

\[ \forall \epsilon > 0， \exists \text{分割} P， \text{使得} \quad U(P， f) - L(P， f) < \epsilon \]

解释：这个准则的几何意义非常清晰。\(U(P, f) - L(P, f)\) 表示由“外包矩形”和“内含矩形”组成的阶梯形区域的总面积差，它衡量了分割 \(P\) 下近似的不精确度。准则说，只要我们能找到一种分割方式，使得这个“不精确度”（即曲边梯形上方“多算”的部分和下方“少算”的部分的总和）可以变得任意小，那么函数就是可积的。这个不精确度，本质上是由函数在小区间上的振幅 \(M_i - m_i\) 决定的。

第五步：哪些函数是黎曼可积的？——重要的充分条件

基于达布准则，我们可以推导出一些非常实用的充分条件：

  1. 连续函数必可积：如果 \(f\) 在闭区间 \([a， b]\) 上连续，那么它在 \([a， b]\) 上黎曼可积。因为连续函数在闭区间上一致连续，其振幅 \(M_i - m_i\) 在足够细的分割下可以整体控制得很小。
  2. 单调函数必可积：如果 \(f\) 在 \([a， b]\) 上单调（递增或递减），那么它黎曼可积。因为单调函数在小区间上的振幅就是端点函数值之差，通过控制分割的细度也可以使上和与下和的差任意小。
  3. 有有限个间断点的有界函数可积：如果 \(f\) 在 \([a， b]\) 上有界，并且只有有限个间断点，那么它是黎曼可积的。因为我们可以用很小的区间把那些间断点“隔离”起来，这些区间对面积和的贡献很小；而在剩下的区间上，函数是连续的（或只有有限个间断点），其振幅可控。

第六步：黎曼可积性的局限与推广

黎曼积分非常直观，但它有一个根本性的缺陷：可积函数类“不够大”。

  • 例子：定义在 \([0， 1]\) 上的狄利克雷函数 \(D(x)\)（有理点取1，无理点取0）是不黎曼可积的。因为在任何小区间上，其上确界 \(M_i=1\)，下确界 \(m_i=0\)，从而对于任何分割，恒有 \(U(P， D)=1\)， \(L(P， D)=0\)，其差恒为1，无法通过加细分割来减小。
  • 这个缺陷限制了分析学的发展。为了处理更广泛的一类函数（如极限运算与积分运算交换次序的问题），数学家勒贝格创立了 勒贝格积分。在勒贝格积分理论中，狄利克雷函数是可积的，且积分为0。勒贝格积分基于“测度”的概念，它通过划分函数值域（而非定义域）来构造积分，从而大大扩展了可积函数的范围，并建立了更强大的积分理论（如控制收敛定理）。

总结：
黎曼可积性是微积分中定义积分的基础概念，其核心是通过分割定义域、构造黎曼和并取极限来定义“面积”或“定积分”。达布准则是判断黎曼可积性的有效工具。连续函数和单调函数都是黎曼可积的。虽然黎曼积分在直观和应用上极其重要，但其理论有局限性，这促使了更强大的勒贝格积分理论的诞生。理解黎曼可积性是进入现代分析学（特别是实分析）的重要阶梯。

好的，根据记录，我们已讲过的词条数量庞大。为了避免重复，我将生成并讲解一个尚未出现在列表中的、分析学领域的基础且核心的词条。 《分析学词条：黎曼可积性》 现在，我将为您循序渐进地讲解“黎曼可积性”这个概念，力求细致准确。 第一步：问题的起源——曲线下的面积 我们从一个最古老的几何问题开始：如何计算一条连续曲线 \( y = f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 上与x轴所围成的曲边梯形的“面积”？ 对于简单的图形（如矩形、三角形），我们有精确的公式。但对于一般的曲线，我们缺乏直接的工具。黎曼可积性的思想，正是为解决这类问题而诞生的。 第二步：核心思想——以“直”代“曲”与逼近 黎曼的思路非常直观：既然我们擅长计算矩形的面积，那么我们可以尝试用一系列 矩形 来“覆盖”或“填充”这个曲边梯形。 分割 ：首先，将区间 \([ a, b]\) 任意地分割成许多小的子区间。设这个分割为 \( P: a = x_ 0 < x_ 1 < x_ 2 < ... < x_ n = b \)。 近似 ：在每个小子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i]\) 上，因为区间很小，函数值变化不大。我们任取一点 \(\xi_ i \in [ x_ {i-1}, x_ i]\)，用这个点的高 \( f(\xi_ i) \) 来代表整个小区间上的“平均高度”。 求和 ：那么，以 \( f(\xi_ i) \) 为高，以 \(\Delta x_ i = x_ i - x_ {i-1}\) 为宽的矩形面积就是 \( f(\xi_ i) \Delta x_ i \)。把所有这样的矩形面积加起来，就得到了曲边梯形面积的一个近似值。这个和称为 黎曼和（Riemann Sum） ： \[ S(P, f, \{\xi_ i\}) = \sum_ {i=1}^{n} f(\xi_ i) \Delta x_ i \] 这个和依赖于三样东西： 分割 \(P\) 、 函数 \(f\) 以及 每个小区间上代表点的选取 \(\{\xi_ i\}\) 。 第三步：从近似到精确——极限的引入 仅仅得到近似值是不够的。黎曼的关键思想是： 如果当我让分割越来越“细”，即所有小区间的最大长度 \(\|P\| = \max\{\Delta x_ i\}\) 趋于0时，无论在每个小区间上如何选取代表点 \(\xi_ i\)，相应的黎曼和都趋向于同一个确定的极限值 \(I\) 。 这个极限过程消除了分割方式和代表点选取的任意性。如果这个公共的极限 \(I\) 存在，我们就认为它是曲边梯形的 精确面积 。 数学定义（黎曼可积性） ： 设函数 \(f: [ a， b] \to \mathbb{R}\) 是有界函数。如果存在一个实数 \(I\)，使得对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，总存在 \(\delta > 0\)，使得对于区间 \([ a， b]\) 的 任意 分割 \(P\)，只要其模 \(\|P\| < \delta\)，并且 任意 选取代表点集 \(\{\xi_ i\}\)，相应的黎曼和都满足： \[ | S(P, f, \{\xi_ i\}) - I | < \epsilon \] 那么，我们就称函数 \(f\) 在 \([ a， b]\) 上是 黎曼可积的 ，并称这个极限值 \(I\) 为 \(f\) 在 \([ a， b]\) 上的 黎曼积分 ，记作： \[ I = \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \] 第四步：如何判断？——达布上下和与可积准则 直接使用上述极限定义来判断可积性非常困难，因为它要求考虑“所有”可能的分割和“所有”可能的代表点。法国数学家达布提供了一个更易于操作的可积性判据。 达布上和与下和 ：对于一个固定的分割 \(P\)。 上确界（Supremum） ：在小区间 \([ x_ {i-1}, x_ i]\) 上，函数 \(f\) 可能取到不同值。我们取这个小区间上函数值的 上确界 \(M_ i = \sup_ {x \in [ x_ {i-1}, x_ i ]} f(x)\)。 下确界（Infimum） ：同理，取其 下确界 \(m_ i = \inf_ {x \in [ x_ {i-1}, x_ i ]} f(x)\)。 我们分别用 \(M_ i\) 和 \(m_ i\) 作为矩形的高，构造两个特殊的黎曼和： 达布上和 ：\(U(P, f) = \sum_ {i=1}^{n} M_ i \Delta x_ i\) （所有矩形都“包住”曲线） 达布下和 ：\(L(P, f) = \sum_ {i=1}^{n} m_ i \Delta x_ i\) （所有矩形都“含于”曲线下） 显然，对于同一个分割 \(P\)，有 \(L(P, f) \le\) 任意黎曼和 \(\le U(P, f)\)。 可积的达布准则 ：一个在 \([ a， b]\) 上有界的函数 \(f\) 是黎曼可积的， 当且仅当 ： \[ \forall \epsilon > 0， \exists \text{分割} P， \text{使得} \quad U(P， f) - L(P， f) < \epsilon \] 解释 ：这个准则的几何意义非常清晰。\(U(P, f) - L(P, f)\) 表示由“外包矩形”和“内含矩形”组成的阶梯形区域的总面积差，它衡量了分割 \(P\) 下近似的不精确度。准则说，只要我们能找到一种分割方式，使得这个“不精确度”（即曲边梯形上方“多算”的部分和下方“少算”的部分的总和）可以变得任意小，那么函数就是可积的。这个不精确度，本质上是由函数在小区间上的 振幅 \(M_ i - m_ i\) 决定的。 第五步：哪些函数是黎曼可积的？——重要的充分条件 基于达布准则，我们可以推导出一些非常实用的充分条件： 连续函数必可积 ：如果 \(f\) 在闭区间 \([ a， b]\) 上 连续 ，那么它在 \([ a， b]\) 上黎曼可积。因为连续函数在闭区间上一致连续，其振幅 \(M_ i - m_ i\) 在足够细的分割下可以整体控制得很小。 单调函数必可积 ：如果 \(f\) 在 \([ a， b]\) 上 单调 （递增或递减），那么它黎曼可积。因为单调函数在小区间上的振幅就是端点函数值之差，通过控制分割的细度也可以使上和与下和的差任意小。 有有限个间断点的有界函数可积 ：如果 \(f\) 在 \([ a， b]\) 上有界，并且只有 有限个 间断点，那么它是黎曼可积的。因为我们可以用很小的区间把那些间断点“隔离”起来，这些区间对面积和的贡献很小；而在剩下的区间上，函数是连续的（或只有有限个间断点），其振幅可控。 第六步：黎曼可积性的局限与推广 黎曼积分非常直观，但它有一个根本性的缺陷： 可积函数类“不够大” 。 例子 ：定义在 \([ 0， 1]\) 上的狄利克雷函数 \(D(x)\)（有理点取1，无理点取0）是 不 黎曼可积的。因为在任何小区间上，其上确界 \(M_ i=1\)，下确界 \(m_ i=0\)，从而对于任何分割，恒有 \(U(P， D)=1\)， \(L(P， D)=0\)，其差恒为1，无法通过加细分割来减小。 这个缺陷限制了分析学的发展。为了处理更广泛的一类函数（如极限运算与积分运算交换次序的问题），数学家勒贝格创立了 勒贝格积分 。在勒贝格积分理论中，狄利克雷函数是可积的，且积分为0。勒贝格积分基于“测度”的概念，它通过划分函数值域（而非定义域）来构造积分，从而大大扩展了可积函数的范围，并建立了更强大的积分理论（如控制收敛定理）。 总结 ： 黎曼可积性 是微积分中定义积分的基础概念，其核心是通过分割定义域、构造黎曼和并取极限来定义“面积”或“定积分”。 达布准则 是判断黎曼可积性的有效工具。连续函数和单调函数都是黎曼可积的。虽然黎曼积分在直观和应用上极其重要，但其理论有局限性，这促使了更强大的勒贝格积分理论的诞生。理解黎曼可积性是进入现代分析学（特别是实分析）的重要阶梯。