共鸣定理 我们先从线性算子的连续性概念开始。设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个赋范线性空间，\(T: X \to Y\) 是一个线性算子。如果存在一个常数 \(M > 0\)，使得对于所有 \(x \in X\)，都有 \(\|T(x)\|_ Y \leq M \|x\|_ X\)，那么我们就称 \(T\) 是有界线性算子。有界性等价于连续性。 现在，考虑一族有界线性算子 \(\{T_ \alpha\} {\alpha \in A}\)，其中 \(A\) 是一个指标集。我们关心的问题是：如果对于每一个 \(x \in X\)，对应的向量集 \(\{T \alpha(x)\} {\alpha \in A}\) 在 \(Y\) 中都是有界的（即点点有界），那么这族算子的范数 \(\{\|T \alpha\|\}_ {\alpha \in A}\) 是否也是有界的？ 共鸣定理（也称为一致有界性原理）对这个问题给出了肯定的回答，但其成立需要一个关键的前提条件：空间 \(X\) 必须是完备的，即 \(X\) 是一个巴拿赫空间。 定理的精确表述如下：设 \(X\) 是巴拿赫空间，\(Y\) 是赋范线性空间，\(\{T_ n\}_ {n \in \mathbb{N}}\) 是一列有界线性算子，\(T_ n: X \to Y\)。如果对于每一个 \(x \in X\)，序列 \(\{\|T_ n(x)\|_ Y\}\) 都是有界的（即 \(\sup_ n \|T_ n(x)\|_ Y < \infty\)），那么算子范数的序列 \(\{\|T_ n\|\}\) 也是一致有界的（即 \(\sup_ n \|T_ n\| < \infty\)）。 这个定理的证明精髓在于运用了贝尔纲定理。我们考虑集合 \(F_ k = \{ x \in X \mid \sup_ n \|T_ n(x)\| \leq k \}\)。根据点点有界的条件，整个空间 \(X\) 可以表示为所有 \(F_ k\) 的并集，即 \(X = \bigcup_ {k=1}^{\infty} F_ k\)。由于 \(X\) 是完备的，根据贝尔纲定理，它不能是可数个无处稠密集的并集。因此，至少存在一个 \(F_ {k_ 0}\) 不是无处稠密的，这意味着它在某个闭球内是稠密的。利用算子的线性性和连续性，我们可以证明这个 \(F_ {k_ 0}\) 实际上包含了原点的一个邻域，从而推导出算子范数的一致有界性。 共鸣定理的一个经典应用是判断一个线性算子的连续性。考虑一个线性算子 \(T: X \to Y\)，如果我们能证明对于 \(X\) 中任意一个收敛序列 \(x_ n \to x\)，都有 \(T(x_ n) \to T(x)\)（即序列连续），那么在有完备性的条件下，我们可以推断出 \(T\) 是连续的（即有界的）。这个推理过程就用到了共鸣定理的思想。