哈尔测度的模函数（Modular Function of a Haar Measure）
字数 2289 2025-12-18 04:06:06

哈尔测度的模函数（Modular Function of a Haar Measure）

首先，请明确我们讨论的语境：哈尔测度是定义在局部紧拓扑群 \(G\) 上的一个（左不变）正则博雷尔测度。已讲过的词条如“哈尔测度的存在性”、“唯一性”、“平移不变性”等，为我们提供了基础。现在要深入的是：当群的运算不是可交换（即非阿贝尔）时，左哈尔测度与右哈尔测度可能不同。连接这两种测度的关键桥梁，就是模函数。

我将分步讲解：

第一步：左不变与右不变测度的差异

  • 设 \(G\) 是一个局部紧群。存在（在正数倍意义下）唯一的左哈尔测度 \(\mu_L\)，满足对任意 \(g \in G\) 和任意博雷尔集 \(B\)，有 \(\mu_L(gB) = \mu_L(B)\)。
  • 同样，也存在唯一的右哈尔测度 \(\mu_R\)，满足 \(\mu_R(Bg) = \mu_R(B)\)。
  • 对于阿贝尔群（交换群），左不变与右不变等价，因此 \(\mu_L\) 和 \(\mu_R\) 本质相同。
  • 对于非阿贝尔群，左测度未必右不变。但我们可以通过一个“修正因子”将两者联系起来。

第二步：模函数的直观动机与定义

  • 固定一个左哈尔测度 \(\mu\)。对于任意固定的群元素 \(g \in G\)，考虑将 \(\mu\) 进行右平移得到的集函数：对博雷尔集 \(E\)，定义 \(\mu_g(E) = \mu(Eg)\)。
  • 验证：因为 \(\mu\) 是左不变的，所以 \(\mu_g(hE) = \mu(hE g) = \mu(Eg) = \mu_g(E)\)。这表明 \(\mu_g\) 也是一个左不变测度！
  • 根据哈尔测度的唯一性（相差常数倍），存在一个严格正的实数，记为 \(\Delta(g) > 0\)，使得对任意博雷尔集 \(E\)，有：

\[ \mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)。 \]

  • 这样定义的函数 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 称为群 \(G\) 关于左哈尔测度 \(\mu\) 的模函数（或称为哈尔模）。

第三步：模函数的基本性质

  1. 同态性：\(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \((0, \infty)\) 的连续群同态。即：

    • \(\Delta(gh) = \Delta(g) \Delta(h)\) 对所有 \(g, h \in G\) 成立。
    • \(\Delta(e) = 1\)（\(e\) 是单位元）。
    • \(\Delta(g^{-1}) = (\Delta(g))^{-1}\)。

  2. 与右哈尔测度的关系：若 \(\mu\) 是左哈尔测度，则测度 \(\nu\) 定义为 \(d\nu(g) = \frac{1}{\Delta(g)} d\mu(g)\)（或等价地，\(\nu(E) = \int_E \frac{1}{\Delta(g)} d\mu(g)\)），是一个右哈尔测度。反之亦然。

  3. 单模群（Unimodular Groups）：若 \(\Delta(g) \equiv 1\) 对所有 \(g \in G\) 成立，则称 \(G\) 是单模的。此时左哈尔测度也是右哈尔测度。常见的单模群包括：阿贝尔群、紧群、离散群、以及许多重要的李群（如 SL(n, ℝ)）。

第四步：模函数的计算与解释

  • 模函数可以理解为测度在群作用下的“膨胀因子”或“扭曲因子”。在物理或几何中，它反映了群的几何结构非均匀的程度。
  • 对于矩阵李群，模函数常可通过雅可比行列式计算。例如，考虑 \(G = GL(n, ℝ)\)（一般线性群），其左哈尔测度在局部坐标下可表示为 \(d\mu = \frac{dx_{11} \cdots dx_{nn}}{|\det(X)|^n}\)。可以计算得 \(\Delta(g) = |\det(g)|^{-n} \cdot |\det(g)|^{n} = |\det(g)|^{n - n}?\) 实际上标准结果是 \(\Delta(g) = |\det(g)|^{-n}\) 对于左哈尔测度的定义方式有关，但关键在于它不等于1，除非行列式为±1的子群。

第五步：模函数在分析中的应用

  • 积分变换公式：模函数出现在哈尔积分的重要公式中。对任意可积函数 \(f\)，有：

\[ \int_G f(xg^{-1}) d\mu(x) = \Delta(g) \int_G f(x) d\mu(x)。 \]

以及：

\[ \int_G f(g^{-1}x) d\mu(x) = \Delta(g)^{-1} \int_G f(x) d\mu(x)。 \]

  • 与卷积的关系：在非单模群上定义卷积时，若不引入模函数修正，卷积运算可能不满足结合律。修正后可恢复代数结构。
  • 在表示论中的应用：模函数在构建群代数、Plancherel定理的推广（非单模情形的傅里叶变换）中扮演核心角色。

总结：哈尔测度的模函数 \(\Delta(g)\) 是一个从局部紧群 \(G\) 到正实数乘法群的连续同态，它精确刻画了左哈尔测度在右平移下的缩放行为。它是理解非阿贝尔群上调和分析与几何测度论的关键工具，区分了单模群与非单模群，并在积分变换、卷积和表示论中提供必要的修正因子。

哈尔测度的模函数（Modular Function of a Haar Measure） 首先，请明确我们讨论的语境： 哈尔测度 是定义在 局部紧拓扑群 \( G \) 上的一个（左不变）正则博雷尔测度。已讲过的词条如“哈尔测度的存在性”、“唯一性”、“平移不变性”等，为我们提供了基础。现在要深入的是：当群的运算不是可交换（即非阿贝尔）时，左哈尔测度与右哈尔测度可能不同。连接这两种测度的关键桥梁，就是 模函数 。 我将分步讲解： 第一步：左不变与右不变测度的差异 设 \( G \) 是一个局部紧群。存在（在正数倍意义下）唯一的左哈尔测度 \( \mu_ L \)，满足对任意 \( g \in G \) 和任意博雷尔集 \( B \)，有 \( \mu_ L(gB) = \mu_ L(B) \)。 同样，也存在唯一的右哈尔测度 \( \mu_ R \)，满足 \( \mu_ R(Bg) = \mu_ R(B) \)。 对于阿贝尔群（交换群），左不变与右不变等价，因此 \( \mu_ L \) 和 \( \mu_ R \) 本质相同。 对于非阿贝尔群，左测度未必右不变。但我们可以通过一个“修正因子”将两者联系起来。 第二步：模函数的直观动机与定义 固定一个左哈尔测度 \( \mu \)。对于任意固定的群元素 \( g \in G \)，考虑将 \( \mu \) 进行右平移得到的集函数：对博雷尔集 \( E \)，定义 \( \mu_ g(E) = \mu(Eg) \)。 验证：因为 \( \mu \) 是左不变的，所以 \( \mu_ g(hE) = \mu(hE g) = \mu(Eg) = \mu_ g(E) \)。这表明 \( \mu_ g \) 也是一个左不变测度！ 根据哈尔测度的唯一性（相差常数倍），存在一个严格正的实数，记为 \( \Delta(g) > 0 \)，使得对任意博雷尔集 \( E \)，有： \[ \mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)。 \] 这样定义的函数 \( \Delta: G \to (0, \infty) \) 称为群 \( G \) 关于左哈尔测度 \( \mu \) 的 模函数 （或称为哈尔模）。 第三步：模函数的基本性质 同态性 ：\( \Delta \) 是 \( G \) 到乘法群 \( (0, \infty) \) 的连续群同态。即： \( \Delta(gh) = \Delta(g) \Delta(h) \) 对所有 \( g, h \in G \) 成立。 \( \Delta(e) = 1 \)（\( e \) 是单位元）。 \( \Delta(g^{-1}) = (\Delta(g))^{-1} \)。 与右哈尔测度的关系 ：若 \( \mu \) 是左哈尔测度，则测度 \( \nu \) 定义为 \( d\nu(g) = \frac{1}{\Delta(g)} d\mu(g) \)（或等价地，\( \nu(E) = \int_ E \frac{1}{\Delta(g)} d\mu(g) \)），是一个右哈尔测度。反之亦然。 单模群（Unimodular Groups） ：若 \( \Delta(g) \equiv 1 \) 对所有 \( g \in G \) 成立，则称 \( G \) 是 单模 的。此时左哈尔测度也是右哈尔测度。常见的单模群包括：阿贝尔群、紧群、离散群、以及许多重要的李群（如 SL(n, ℝ)）。 第四步：模函数的计算与解释 模函数可以理解为测度在群作用下的“膨胀因子”或“扭曲因子”。在物理或几何中，它反映了群的几何结构非均匀的程度。 对于矩阵李群，模函数常可通过雅可比行列式计算。例如，考虑 \( G = GL(n, ℝ) \)（一般线性群），其左哈尔测度在局部坐标下可表示为 \( d\mu = \frac{dx_ {11} \cdots dx_ {nn}}{|\det(X)|^n} \)。可以计算得 \( \Delta(g) = |\det(g)|^{-n} \cdot |\det(g)|^{n} = |\det(g)|^{n - n}? \) 实际上标准结果是 \( \Delta(g) = |\det(g)|^{-n} \) 对于左哈尔测度的定义方式有关，但关键在于它不等于1，除非行列式为±1的子群。 第五步：模函数在分析中的应用 积分变换公式 ：模函数出现在哈尔积分的重要公式中。对任意可积函数 \( f \)，有： \[ \int_ G f(xg^{-1}) d\mu(x) = \Delta(g) \int_ G f(x) d\mu(x)。 \] 以及： \[ \int_ G f(g^{-1}x) d\mu(x) = \Delta(g)^{-1} \int_ G f(x) d\mu(x)。 \] 与卷积的关系 ：在非单模群上定义卷积时，若不引入模函数修正，卷积运算可能不满足结合律。修正后可恢复代数结构。 在表示论中的应用 ：模函数在构建群代数、Plancherel定理的推广（非单模情形的傅里叶变换）中扮演核心角色。 总结 ：哈尔测度的模函数 \( \Delta(g) \) 是一个从局部紧群 \( G \) 到正实数乘法群的连续同态，它精确刻画了左哈尔测度在右平移下的缩放行为。它是理解非阿贝尔群上调和分析与几何测度论的关键工具，区分了单模群与非单模群，并在积分变换、卷积和表示论中提供必要的修正因子。