伯努利多项式与伯努利数的生成函数及其算术性质
字数 2804 2025-12-18 03:55:31

伯努利多项式与伯努利数的生成函数及其算术性质

伯努利多项式 \(B_n(x)\) 与伯努利数 \(B_n = B_n(0)\) 是解析数论和代数数论中的基础工具，广泛用于求和公式、p进分析和特殊值问题。我将从最基础的生成函数开始，逐步深入到其算术性质。

第一步：生成函数的定义
伯努利多项式的指数生成函数定义为：

\[\frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!} \quad (|t| < 2\pi) \]

当 \(x = 0\) 时，得到伯努利数的生成函数：

\[\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!} \]

这里的 \(t/(e^t - 1)\) 在 \(t=0\) 处可解析延拓，其泰勒展开系数即为 \(B_n\)。前几个伯努利数为 \(B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0, B_4 = -\frac{1}{30}, \dots\)，且对所有奇数 \(n \geq 3\)，有 \(B_n = 0\)。

第二步：伯努利多项式的基本性质
由生成函数可推导出：

  1. 微分关系：\(\frac{d}{dx} B_n(x) = n B_{n-1}(x)\)。
  2. 加法公式：\(B_n(x+y) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k(x) y^{n-k}\)。
  3. 对称性：\(B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x)\)。
  4. 特殊值：
    • \(B_n(0) = B_n\)（伯努利数），
    • \(B_n(1) = (-1)^n B_n\)（由对称性推出），
    • \(B_n(\frac{1}{2}) = -(1-2^{1-n}) B_n\)（与伯努利数的关系）。

这些性质使得伯努利多项式成为处理多项式插值与周期函数的有力工具。

第三步：伯努利数与幂和公式
伯努利数的经典应用是计算自然数的幂和：

\[S_m(n) = \sum_{k=1}^{n-1} k^m = \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^{m} \binom{m+1}{k} B_k n^{m+1-k} \]

这个公式称为伯努利幂和公式。它由生成函数通过比较系数证明：注意到 \(\sum_{k=0}^{n-1} e^{kt} = (e^{nt}-1)/(e^t-1)\)，将其展开并与 \(B_n(x)\) 的生成函数结合即可导出。

第四步：傅里叶展开与周期伯努利多项式
将伯努利多项式限制在区间 [0,1] 上并周期延拓，得到周期伯努利函数 \(\widetilde{B}_n(x)\)。对于 \(n \geq 2\)，它们有傅里叶展开：

\[\widetilde{B}_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n} \sum_{k \ne 0} \frac{e^{2\pi i k x}}{k^n} \quad (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}) \]

当 \(n=1\) 时，在非整数点有 \(\widetilde{B}_1(x) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}\)。这个展开连接了伯努利多项式与黎曼ζ函数的特殊值：令 \(x=0\)，对偶数 \(n \geq 2\) 有：

\[B_n = -\frac{n!}{(2\pi i)^n} \cdot 2 \cdot \zeta(n) \]

从而得到 \(\zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{(2\pi)^{2k} B_{2k}}{2(2k)!}\)，这是伯努利数在解析数论中的核心应用之一。

第五步：算术性质——冯·施陶特-克劳森定理
伯努利数的分母由素数幂决定，具体由冯·施陶特-克劳森定理描述：对偶数 \(n \geq 2\)，写 \(B_n = \frac{N_n}{D_n}\)（既约分数），则：

  • 分母 \(D_n\) 是所有满足 \((p-1) \mid n\) 的素数 \(p\) 的乘积。
  • 分子 \(N_n\) 满足同余：对任意素数 \(p\)，若 \((p-1) \nmid n\)，则 \(p\) 不整除 \(D_n\)；若 \((p-1) \mid n\)，则 \(p N_n \equiv -1 \pmod{p}\)。

例如，\(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)，分母 2730 = 2·3·5·7·13，而这些素数均满足 \((p-1) \mid 12\)。该定理是 p进分析中伯努利数 p进可测性的起点。

第六步：p进伯努利数与库默尔同余
伯努利数的 p进性质由库默尔同余揭示：设 \(p\) 为素数，\((p-1) \nmid n\)，则对任意 \(a \ge 1\) 有：

\[\frac{B_{n+p^{a-1}(p-1)}}{n+p^{a-1}(p-1)} \equiv \frac{B_n}{n} \pmod{p^a} \]

这个同余意味着序列 \(B_n/n\) 在 p进意义下“连续”，从而可构造 p进伯努利函数 \(B_{k,\chi}\) 作为 p进测度的矩。这是岩泽理论中 p进 L 函数构造的基础。

第七步：推广——广义伯努利数与狄利克雷 L-函数
对狄利克雷特征 \(\chi \mod N\)，广义伯努利数 \(B_{n,\chi}\) 由生成函数定义：

\[\sum_{a=1}^{N} \chi(a) \frac{t e^{at}}{e^{Nt} - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,\chi} \frac{t^n}{n!} \]

它们与狄利克雷 L-函数的特殊值密切相关：对正整数 \(k \ge 1\)，

\[L(1-k,\chi) = -\frac{B_{k,\chi}}{k} \]

当 \(\chi\) 为平凡特征时，即回到普通伯努利数。这一关系是类数公式、p进 L 函数插值公式的核心。

通过这些步骤，你可以看到伯努利多项式与伯努利数从简单的生成函数出发，逐步展现出其在求和、傅里叶分析、p进数论和 L-函数中的深刻算术意义。

伯努利多项式与伯努利数的生成函数及其算术性质 伯努利多项式 \( B_ n(x) \) 与伯努利数 \( B_ n = B_ n(0) \) 是解析数论和代数数论中的基础工具，广泛用于求和公式、p进分析和特殊值问题。我将从最基础的生成函数开始，逐步深入到其算术性质。 第一步：生成函数的定义 伯努利多项式的指数生成函数定义为： \[ \frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_ {n=0}^{\infty} B_ n(x) \frac{t^n}{n!} \quad (|t| < 2\pi) \] 当 \( x = 0 \) 时，得到伯努利数的生成函数： \[ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_ {n=0}^{\infty} B_ n \frac{t^n}{n !} \] 这里的 \( t/(e^t - 1) \) 在 \( t=0 \) 处可解析延拓，其泰勒展开系数即为 \( B_ n \)。前几个伯努利数为 \( B_ 0 = 1, B_ 1 = -\frac{1}{2}, B_ 2 = \frac{1}{6}, B_ 3 = 0, B_ 4 = -\frac{1}{30}, \dots \)，且对所有奇数 \( n \geq 3 \)，有 \( B_ n = 0 \)。 第二步：伯努利多项式的基本性质 由生成函数可推导出： 微分关系 ：\( \frac{d}{dx} B_ n(x) = n B_ {n-1}(x) \)。 加法公式 ：\( B_ n(x+y) = \sum_ {k=0}^{n} \binom{n}{k} B_ k(x) y^{n-k} \)。 对称性 ：\( B_ n(1-x) = (-1)^n B_ n(x) \)。 特殊值 ： \( B_ n(0) = B_ n \)（伯努利数）， \( B_ n(1) = (-1)^n B_ n \)（由对称性推出）， \( B_ n(\frac{1}{2}) = -(1-2^{1-n}) B_ n \)（与伯努利数的关系）。 这些性质使得伯努利多项式成为处理多项式插值与周期函数的有力工具。 第三步：伯努利数与幂和公式 伯努利数的经典应用是计算自然数的幂和： \[ S_ m(n) = \sum_ {k=1}^{n-1} k^m = \frac{1}{m+1} \sum_ {k=0}^{m} \binom{m+1}{k} B_ k n^{m+1-k} \] 这个公式称为伯努利幂和公式。它由生成函数通过比较系数证明：注意到 \( \sum_ {k=0}^{n-1} e^{kt} = (e^{nt}-1)/(e^t-1) \)，将其展开并与 \( B_ n(x) \) 的生成函数结合即可导出。 第四步：傅里叶展开与周期伯努利多项式 将伯努利多项式限制在区间 [ 0,1] 上并周期延拓，得到周期伯努利函数 \( \widetilde{B}_ n(x) \)。对于 \( n \geq 2 \)，它们有傅里叶展开： \[ \widetilde{B} n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n} \sum {k \ne 0} \frac{e^{2\pi i k x}}{k^n} \quad (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}) \] 当 \( n=1 \) 时，在非整数点有 \( \widetilde{B} 1(x) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2} \)。这个展开连接了伯努利多项式与黎曼ζ函数的特殊值：令 \( x=0 \)，对偶数 \( n \geq 2 \) 有： \[ B_ n = -\frac{n !}{(2\pi i)^n} \cdot 2 \cdot \zeta(n) \] 从而得到 \( \zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{(2\pi)^{2k} B {2k}}{2(2k) !} \)，这是伯努利数在解析数论中的核心应用之一。 第五步：算术性质——冯·施陶特-克劳森定理 伯努利数的分母由素数幂决定，具体由冯·施陶特-克劳森定理描述：对偶数 \( n \geq 2 \)，写 \( B_ n = \frac{N_ n}{D_ n} \)（既约分数），则： 分母 \( D_ n \) 是所有满足 \( (p-1) \mid n \) 的素数 \( p \) 的乘积。 分子 \( N_ n \) 满足同余：对任意素数 \( p \)，若 \( (p-1) \nmid n \)，则 \( p \) 不整除 \( D_ n \)；若 \( (p-1) \mid n \)，则 \( p N_ n \equiv -1 \pmod{p} \)。 例如，\( B_ {12} = -\frac{691}{2730} \)，分母 2730 = 2·3·5·7·13，而这些素数均满足 \( (p-1) \mid 12 \)。该定理是 p进分析中伯努利数 p进可测性的起点。 第六步：p进伯努利数与库默尔同余 伯努利数的 p进性质由库默尔同余揭示：设 \( p \) 为素数，\( (p-1) \nmid n \)，则对任意 \( a \ge 1 \) 有： \[ \frac{B_ {n+p^{a-1}(p-1)}}{n+p^{a-1}(p-1)} \equiv \frac{B_ n}{n} \pmod{p^a} \] 这个同余意味着序列 \( B_ n/n \) 在 p进意义下“连续”，从而可构造 p进伯努利函数 \( B_ {k,\chi} \) 作为 p进测度的矩。这是岩泽理论中 p进 L 函数构造的基础。 第七步：推广——广义伯努利数与狄利克雷 L-函数 对狄利克雷特征 \( \chi \mod N \)，广义伯努利数 \( B_ {n,\chi} \) 由生成函数定义： \[ \sum_ {a=1}^{N} \chi(a) \frac{t e^{at}}{e^{Nt} - 1} = \sum_ {n=0}^{\infty} B_ {n,\chi} \frac{t^n}{n !} \] 它们与狄利克雷 L-函数的特殊值密切相关：对正整数 \( k \ge 1 \)， \[ L(1-k,\chi) = -\frac{B_ {k,\chi}}{k} \] 当 \( \chi \) 为平凡特征时，即回到普通伯努利数。这一关系是类数公式、p进 L 函数插值公式的核心。 通过这些步骤，你可以看到伯努利多项式与伯努利数从简单的生成函数出发，逐步展现出其在求和、傅里叶分析、p进数论和 L-函数中的深刻算术意义。