佩尔方程（Pell Equation）
字数 2600 2025-12-18 03:44:56

佩尔方程（Pell Equation）

佩尔方程是指形如

\[x^2 - D y^2 = 1 \]

的二元二次丢番图方程，其中 \(D\) 是一个正整数且不是完全平方数。它因欧拉误记为17世纪数学家佩尔（Pell）的工作而得名。这一方程在数论中具有重要意义，其解的结构展现出深刻的规律性。

第一步：基本概念与简单例子

方程 \(x^2 - D y^2 = 1\) 中，\(D\) 是非平方正整数。若 \(D\) 是完全平方数，如 \(D = 4\)，则方程化为 \((x - 2y)(x + 2y) = 1\)，仅有平凡解 \((x, y) = (\pm 1, 0)\)。因此我们总假设 \(D\) 不是平方数，此时方程才有无穷多组非平凡整数解。

例如，取 \(D = 2\)，方程 \(x^2 - 2 y^2 = 1\) 的最小正整数解（称为基本解）是 \((x_1, y_1) = (3, 2)\)，因为 \(3^2 - 2 \times 2^2 = 9 - 8 = 1\)。

第二步：解的存在性与基本解

关键定理：对于非平方正整数 \(D\)，佩尔方程总有无限多组整数解 \((x, y)\)，且所有正整数解可由一个最小正整数解 \((x_1, y_1)\)（称为基本解）通过幂次运算生成。

基本解是满足 \(x, y > 0\) 且 \(x\) 最小（或等价地 \(x + y \sqrt{D}\) 最小）的解。寻找基本解并非平凡问题，可通过连分数展开 \(\sqrt{D}\) 得到。

第三步：与连分数的联系

\(\sqrt{D}\) 的连分数展开具有周期性质。记其循环周期长度为 \(l\)。则：

  • 若周期 \(l\) 为偶数，基本解对应于连分数渐近分数 \(p_{l-1} / q_{l-1}\)。
  • 若周期 \(l\) 为奇数，基本解对应于 \(p_{2l-1} / q_{2l-1}\)。

以 \(D = 7\) 为例：\(\sqrt{7} = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]\)，周期 \(l = 4\)（偶数）。计算第 \(l-1 = 3\) 个渐近分数：

\[[2;1,1,1] = 2 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}} = \frac{8}{3} \]

验证 \(8^2 - 7 \times 3^2 = 64 - 63 = 1\)，因此基本解为 \((8, 3)\)。

第四步：解的结构公式

设基本解为 \((x_1, y_1)\)，定义数列：

\[x_n + y_n \sqrt{D} = (x_1 + y_1 \sqrt{D})^n, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]

则 \((x_n, y_n)\) 给出全部正整数解，且满足递推关系：

\[x_{n+1} = x_1 x_n + D y_1 y_n, \quad y_{n+1} = x_1 y_n + y_1 x_n. \]

例如对 \(D = 2\)，基本解 \((3, 2)\)，取 \(n = 2\)：

\[(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2} \]

得 \((x_2, y_2) = (17, 12)\)，验证 \(17^2 - 2 \times 12^2 = 289 - 288 = 1\)。

所有整数解为 \((\pm x_n, \pm y_n)\)，其中 \(n \ge 1\)。

第五步：一般形式与负佩尔方程

佩尔方程更一般的形式是

\[x^2 - D y^2 = N \]

其中 \(N\) 为整数。当 \(N = \pm 1, \pm 4\) 等特殊值时，解的结构也可由基本解控制。特别地，负佩尔方程

\[x^2 - D y^2 = -1 \]

并非总有解。它有解当且仅当 \(\sqrt{D}\) 的连分数周期长度为奇数。例如 \(D = 5\) 时，周期为 1（奇数），方程 \(x^2 - 5y^2 = -1\) 有解 \((2, 1)\)。若有解，其基本解也可由连分数渐近分数得到。

第六步：代数数论视角

考虑二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\)，其整数环为 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\)（当 \(D \equiv 2, 3 \pmod{4}\)）或 \(\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]\)（当 \(D \equiv 1 \pmod{4}\)）。方程 \(x^2 - D y^2 = 1\) 等价于寻找范数 \(N(x + y \sqrt{D}) = 1\) 的单位元。因此佩尔方程的解对应于实二次域的单位群 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]^\times\)，由狄利克雷单位定理，其单位群是 \(\{\pm 1\} \times \varepsilon^{\mathbb{Z}}\)，其中 \(\varepsilon = x_1 + y_1 \sqrt{D}\) 即基本解，称为该二次域的基本单位元。

第七步：应用示例

佩尔方程在数学中应用广泛：

  1. 逼近无理数：解 \(x/y\) 给出 \(\sqrt{D}\) 的最佳有理逼近。
  2. 求解其他丢番图方程：如求边长为整数的直角三角形，其直角边差为 1（即 \(a^2 + (a+1)^2 = c^2\)）可化为佩尔方程。
  3. 组合数学：用于生成整数边长的等腰三角形，其高也为整数的问题。

总结

佩尔方程 \(x^2 - D y^2 = 1\) 是一个经典的丢番图方程，其解的存在性与结构通过连分数和二次域单位理论完美刻画。基本解可通过 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开求得，所有解由基本解的幂次生成，体现了数论中代数结构与有理逼近的深刻联系。

佩尔方程（Pell Equation） 佩尔方程是指形如 \[ x^2 - D y^2 = 1 \] 的二元二次丢番图方程，其中 \( D \) 是一个正整数且不是完全平方数。它因欧拉误记为17世纪数学家佩尔（Pell）的工作而得名。这一方程在数论中具有重要意义，其解的结构展现出深刻的规律性。 第一步：基本概念与简单例子 方程 \( x^2 - D y^2 = 1 \) 中，\( D \) 是非平方正整数。若 \( D \) 是完全平方数，如 \( D = 4 \)，则方程化为 \( (x - 2y)(x + 2y) = 1 \)，仅有平凡解 \( (x, y) = (\pm 1, 0) \)。因此我们总假设 \( D \) 不是平方数，此时方程才有无穷多组非平凡整数解。 例如，取 \( D = 2 \)，方程 \( x^2 - 2 y^2 = 1 \) 的最小正整数解（称为基本解）是 \( (x_ 1, y_ 1) = (3, 2) \)，因为 \( 3^2 - 2 \times 2^2 = 9 - 8 = 1 \)。 第二步：解的存在性与基本解 关键定理：对于非平方正整数 \( D \)，佩尔方程总有无限多组整数解 \( (x, y) \)，且所有正整数解可由一个最小正整数解 \( (x_ 1, y_ 1) \)（称为基本解）通过幂次运算生成。 基本解是满足 \( x, y > 0 \) 且 \( x \) 最小（或等价地 \( x + y \sqrt{D} \) 最小）的解。寻找基本解并非平凡问题，可通过连分数展开 \( \sqrt{D} \) 得到。 第三步：与连分数的联系 \( \sqrt{D} \) 的连分数展开具有周期性质。记其循环周期长度为 \( l \)。则： 若周期 \( l \) 为偶数，基本解对应于连分数渐近分数 \( p_ {l-1} / q_ {l-1} \)。 若周期 \( l \) 为奇数，基本解对应于 \( p_ {2l-1} / q_ {2l-1} \)。 以 \( D = 7 \) 为例：\( \sqrt{7} = [ 2; \overline{1, 1, 1, 4} ] \)，周期 \( l = 4 \)（偶数）。计算第 \( l-1 = 3 \) 个渐近分数： \[ [ 2;1,1,1 ] = 2 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}} = \frac{8}{3} \] 验证 \( 8^2 - 7 \times 3^2 = 64 - 63 = 1 \)，因此基本解为 \( (8, 3) \)。 第四步：解的结构公式 设基本解为 \( (x_ 1, y_ 1) \)，定义数列： \[ x_ n + y_ n \sqrt{D} = (x_ 1 + y_ 1 \sqrt{D})^n, \quad n = 1, 2, 3, \dots \] 则 \( (x_ n, y_ n) \) 给出全部正整数解，且满足递推关系： \[ x_ {n+1} = x_ 1 x_ n + D y_ 1 y_ n, \quad y_ {n+1} = x_ 1 y_ n + y_ 1 x_ n. \] 例如对 \( D = 2 \)，基本解 \( (3, 2) \)，取 \( n = 2 \)： \[ (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2} \] 得 \( (x_ 2, y_ 2) = (17, 12) \)，验证 \( 17^2 - 2 \times 12^2 = 289 - 288 = 1 \)。 所有整数解为 \( (\pm x_ n, \pm y_ n) \)，其中 \( n \ge 1 \)。 第五步：一般形式与负佩尔方程 佩尔方程更一般的形式是 \[ x^2 - D y^2 = N \] 其中 \( N \) 为整数。当 \( N = \pm 1, \pm 4 \) 等特殊值时，解的结构也可由基本解控制。特别地，负佩尔方程 \[ x^2 - D y^2 = -1 \] 并非总有解。它有解当且仅当 \( \sqrt{D} \) 的连分数周期长度为奇数。例如 \( D = 5 \) 时，周期为 1（奇数），方程 \( x^2 - 5y^2 = -1 \) 有解 \( (2, 1) \)。若有解，其基本解也可由连分数渐近分数得到。 第六步：代数数论视角 考虑二次域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{D}) \)，其整数环为 \( \mathbb{Z}[ \sqrt{D}] \)（当 \( D \equiv 2, 3 \pmod{4} \)）或 \( \mathbb{Z}[ \frac{1+\sqrt{D}}{2}] \)（当 \( D \equiv 1 \pmod{4} \)）。方程 \( x^2 - D y^2 = 1 \) 等价于寻找范数 \( N(x + y \sqrt{D}) = 1 \) 的单位元。因此佩尔方程的解对应于实二次域的单位群 \( \mathbb{Z}[ \sqrt{D}]^\times \)，由狄利克雷单位定理，其单位群是 \( \{\pm 1\} \times \varepsilon^{\mathbb{Z}} \)，其中 \( \varepsilon = x_ 1 + y_ 1 \sqrt{D} \) 即基本解，称为该二次域的基本单位元。 第七步：应用示例 佩尔方程在数学中应用广泛： 逼近无理数 ：解 \( x/y \) 给出 \( \sqrt{D} \) 的最佳有理逼近。 求解其他丢番图方程 ：如求边长为整数的直角三角形，其直角边差为 1（即 \( a^2 + (a+1)^2 = c^2 \)）可化为佩尔方程。 组合数学 ：用于生成整数边长的等腰三角形，其高也为整数的问题。 总结 佩尔方程 \( x^2 - D y^2 = 1 \) 是一个经典的丢番图方程，其解的存在性与结构通过连分数和二次域单位理论完美刻画。基本解可通过 \( \sqrt{D} \) 的连分数展开求得，所有解由基本解的幂次生成，体现了数论中代数结构与有理逼近的深刻联系。