模的有限维代数表示论

字数 5721 2025-12-18 02:56:36

模的有限维代数表示论

好的，我们现在开始学习“模的有限维代数表示论”。这个领域研究的是有限维代数上的有限维模，本质上是将代数的结构与线性变换（矩阵）理论联系起来，是联系环论、模论与线性代数的重要桥梁。我会从最基础的概念开始，逐步深入。

第一步：核心对象的定义——有限维代数与表示

首先，我们需要明确两个核心对象。

有限维代数 (Finite-dimensional Algebra)：设 \(K\) 是一个域。一个 \(K\)-代数 \(A\) 称为有限维的，如果它作为 \(K\)-向量空间是有限维的。换句话说，\(A\) 中存在有限个元素 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，使得 \(A\) 中任何元素都能唯一地表示为 \(k_1a_1 + ... + k_na_n\) 的形式，其中 \(k_i \in K\)。同时，\(A\) 上还有一个相容的乘法运算（双线性且结合）。例子包括：矩阵代数 \(M_n(K)\)、域 \(K\) 上的群代数 \(KG\)（当群 \(G\) 有限时）、多项式商代数 \(K[x] / (f(x))\)（其中 \(f(x)\) 是非零多项式）等。
表示 (Representation)：代数 \(A\) 在 \(K\)-向量空间 \(V\) 上的一个表示，是一个代数同态 \(\rho: A \rightarrow \text{End}_K(V)\)。这里，\(\text{End}_K(V)\) 是 \(V\) 上所有 \(K\)-线性变换构成的代数。这个同态将 \(A\) 中的每个元素 \(a\) 映射为 \(V\) 上的一个线性变换 \(\rho(a)\)，并且保持代数运算：\(\rho(ab) = \rho(a) \circ \rho(b)\)，\(\rho(a+b) = \rho(a) + \rho(b)\)，\(\rho(ka) = k\rho(a)\)。向量空间 \(V\) 的维数称为表示的维数。

第二步：表示的等价描述——模的观点

表示的概念有一个完全等价的描述，使用模的语言，这通常更便于进行代数操作。

A-模 (A-module)：设 \(A\) 是 \(K\)-代数。一个（左）\(A\)-模 \(M\) 是一个 \(K\)-向量空间，同时配备了一个“标量乘法” \(A \times M \to M\)，记作 \((a, m) \mapsto a \cdot m\)，满足对所有 \(a, b \in A\)，\(m, n \in M\)，\(k \in K\)：

\(a \cdot (m+n) = a \cdot m + a \cdot n\)
\((a+b) \cdot m = a \cdot m + b \cdot m\)
\((ab) \cdot m = a \cdot (b \cdot m)\)
\(1_A \cdot m = m\) （如果 \(A\) 有单位元 \(1_A\)）
\((ka) \cdot m = a \cdot (km) = k(a \cdot m)\) （体现了 \(K\)-代数的相容性）

与表示的联系：给定一个表示 \(\rho: A \to \text{End}_K(V)\)，我们可以定义 \(A\)-模结构：对 \(a \in A, v \in V\)，令 \(a \cdot v := \rho(a)(v)\)。反之，给定一个 \(A\)-模 \(M\)，我们可以定义表示 \(\rho(a)(m) := a \cdot m\)。因此，“\(A\) 的有限维表示”完全等同于“有限维（左）\(A\)-模”。我们常将这两个术语互换使用。

第三步：基本概念——同态、子模、商模、直和

既然我们在讨论模，就可以自然地引入模范畴中的标准概念。

A-模同态：两个 \(A\)-模 \(M\) 和 \(N\) 之间的同态是一个 \(K\)-线性映射 \(f: M \to N\)，且满足 \(f(a \cdot m) = a \cdot f(m)\) 对所有 \(a \in A, m \in M\) 成立。所有 \(A\)-模及其同态构成一个阿贝尔范畴。
子模与商模：如果 \(N\) 是 \(A\)-模 \(M\) 的一个子集，且自身在 \(A\) 的作用下封闭（即对 \(a \in A, n \in N\)，有 \(a \cdot n \in N\)），并且是 \(M\) 的向量子空间，则 \(N\) 是 \(M\) 的子模。商向量空间 \(M/N\) 自然成为一个 \(A\)-模，称为商模，其作用是 \(a \cdot (m+N) := (a \cdot m) + N\)。
直和：如果 \(M_1, M_2\) 是 \(A\)-模，它们的直和 \(M_1 \oplus M_2\)（作为向量空间的直和）也是一个 \(A\)-模，其作用是分量式的：\(a \cdot (m_1, m_2) = (a \cdot m_1, a \cdot m_2)\)。这对应于表示的直和。

第四步：核心问题与简单模、不可分解模

表示论的一个基本目标是“分类”一个代数 \(A\) 的所有有限维表示（模）。这个分类通常分两步走：

寻找“原子”构件——单模（不可约表示）：一个非零的 \(A\)-模 \(S\) 称为单模（或不可约模），如果它除了 \(\{0\}\) 和自身之外没有其他子模。从表示角度看，这意味着对应的表示空间没有在 \(A\) 作用下不变的非平凡子空间。单模是构造更复杂模的“基本粒子”。根据 Schur 引理（你已学过），单模的自同态环是一个可除代数，在 \(K\) 代数闭的情况下，就是 \(K\) 本身。
分解的第一步——不可分解模：一个非零的 \(A\)-模 \(M\) 称为不可分解模，如果它不能写成两个非零子模的直和。即，如果 \(M \cong M_1 \oplus M_2\)，则必有 \(M_1 = 0\) 或 \( M_2 = 0 \。显然，单模一定是不可分解的，但反之不成立。
Krull-Schmidt 定理：这是有限维代数表示论的基石定理。它断言：任何有限维 \(A\)-模 \(M\) 都可以分解成有限多个不可分解子模的直和：\(M \cong M_1 \oplus M_2 \oplus ... \oplus M_t\)。并且，如果还有另一种分解 \(M \cong N_1 \oplus ... \oplus N_s\)，那么 \(t = s\)，且在适当重排后，有 \(M_i \cong N_i\) 对所有 \(i\) 成立。这个定理将模的分类问题归结为对不可分解模的分类问题。

第五步：模范畴与同调工具

为了研究不可分解模之间的关系和整体结构，我们需要范畴和同调代数的工具。

模范畴：所有有限维左 \(A\)-模构成一个范畴，记作 \(A\text{-mod}\)。我们在这个范畴里研究对象（模）和态射（模同态）。
投射模与内射模：在 \(A\text{-mod}\) 中，我们可以定义投射模和内射模（你已学过其一般定义）。对于有限维代数 \(A\)，一个重要事实是：正则模 \(_A A\)（将 \(A\) 本身视为左 \(A\)-模）是投射生成子。这意味着任何有限维 \(A\)-模都是某个自由模 \(A^n\) 的商模。内射模则与投射模构成对偶概念。
同调维数：我们可以讨论模的投射维数、内射维数等。对于有限维代数，整体同调维数是有限的，这为我们使用导出函子（如 \(\text{Ext}^n_A(M, N)\)， \(\text{Tor}^A_n(M, N)\)）提供了良好的框架。\(\text{Ext}^1_A(M, N)\) 特别重要，它分类了从 \(N\) 到 \(M\) 的模扩张。

第六步：箭图与代数表示论的核心工具

对于许多有限维代数（特别是基代数 \(K\) 代数闭时），有一种非常强大的组合工具来描述其表示。

箭图 (Quiver)：一个有向图 \(Q = (Q_0, Q_1)\)，其中 \(Q_0\) 是顶点集，\(Q_1\) 是箭头集。每个箭头 \(a\) 有起点 \(s(a)\) 和终点 \(t(a)\)。
箭图的表示：\(Q\) 的一个表示 \(V\) 由以下数据给出：对每个顶点 \(i\)，赋予一个 \(K\)-向量空间 \(V_i\)；对每个箭头 \(a: i \to j\)，赋予一个 \(K\)-线性映射 \(V_a: V_i \to V_j\)。
路代数 (Path Algebra)：从箭图 \(Q\) 可以构造一个代数 \(KQ\)，称为路代数。它的基是所有（有限）路径（包括每个顶点处的“懒路径” \(e_i\)），乘法是路径的衔接（如果可能）。路代数通常是无限维的。
关联代数：为了得到有限维代数，我们通常取路代数 \(KQ\) 关于一个容许理想 \(I\) 的商代数 \(A = KQ / I\)。这里 \(I\) 是由某些路径（关系）生成的理想，且包含在所有长度足够大的路径生成的理想中。
Gabriel 定理：这是一个里程碑式的定理。粗略地说，当 \(K\) 代数闭时，任何有限维基本代数（即 \(A / \text{rad}(A) \cong K \times ... \times K\)）都同构于某个箭图 \(Q\) 的路代数模去一个容许理想 \(I\) 的商代数。更重要的是，\(A\)-模范畴等价于 \((Q, I)\) 的表示范畴。这让我们可以用组合（箭图和关系）来研究代数的表示。
不可分解模与箭图表示：在箭图表示的语言下，一个 \(A\)-模对应一个满足关系 \(I\) 的 \(Q\)-表示。不可分解模对应于不可分解的表示。对于一些简单的箭图（如 \(A_n, D_n, E_6, E_7, E_8\) Dynkin型），其表示是有限型的（即只有有限多个不可分解模）。对于扩展的Dynkin型（仿射型），则是驯顺型的（无限多不可分解模，但有很好的参数化）。其他类型则是野的，无法分类。

第七步：Auslander-Reiten 理论（几乎可裂序列）

这是现代表示论的核心理论，旨在系统描述不可分解模之间的“不可约”映射关系。

不可约态射：一个态射 \(f: X \to Y\) 称为不可约的，如果它不是可逆的，并且在任何分解 \(f = h \circ g\) 中，要么 \(g\) 有右逆，要么 \(h\) 有左逆。这可以看作是态射的“素元”。
Auslander-Reiten 平移：这是一个重要的函子 \(\tau\)（及其逆 \(\tau^{-1}\)），联系着投射模、非投射不可分解模和内射模。它是通过转置和取Dual来定义的（\(\tau M = D \text{Tr} M, \tau^{-1}M = \text{Tr} D M\)），其中 \(D = \text{Hom}_K(-, K)\) 是 \(K\)-对偶，\(\text{Tr}\) 是转置。
几乎可裂序列 (Auslander-Reiten序列)：这是一个不可分裂的短正合序列 \(0 \to L \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} N \to 0\)，满足：

\(L\) 和 \(N\) 是不可分解模。
\(f\) 是左几乎可裂的（即任何从 \(L\) 到非可裂模的态射都通过 \(f\) 分解）。
\(g\) 是右几乎可裂的（即任何到 \(N\) 的非可裂态射都通过 \(g\) 分解）。
关键定理：对于每个非投射不可分解模 \(N\)，存在唯一（在同构意义下）的几乎可裂序列以 \(N\) 为右端项；对于每个非内射不可分解模 \(L\)，存在唯一（在同构意义下）的几乎可裂序列以 \(L\) 为左端项。并且满足 \(L = \tau N\)。

Auslander-Reiten 箭图 (AR-箭图)：这是一个以所有不可分解 \(A\)-模为顶点，以不可约态射为箭头的有向图。几乎可裂序列的存在使得这个箭图具有丰富的结构，每个非投射不可分解模 \(N\) 都位于一条“AR-网格”中，连接到 \(\tau N\) 和它的“前驱”。这个箭图是理解模范畴整体结构（特别是不可分解模之间的关系）的强有力的组合工具。

总结一下，模的有限维代数表示论从代数及其模的基本定义出发，通过Krull-Schmidt定理聚焦于不可分解模，并运用模范畴和同调工具进行分析。其高潮部分是使用箭图与关系的组合描述（Gabriel定理），以及通过Auslander-Reiten理论（几乎可裂序列和AR箭图）来深刻揭示不可分解模之间的内在联系和模范畴的整体形状。它是代数学中一个既深刻又优美的领域。

模的有限维代数表示论好的，我们现在开始学习“模的有限维代数表示论”。这个领域研究的是有限维代数上的有限维模，本质上是将代数的结构与线性变换（矩阵）理论联系起来，是联系环论、模论与线性代数的重要桥梁。我会从最基础的概念开始，逐步深入。第一步：核心对象的定义——有限维代数与表示首先，我们需要明确两个核心对象。有限维代数 (Finite-dimensional Algebra) ：设 \( K \) 是一个域。一个 \( K \)-代数 \( A \) 称为有限维的，如果它作为 \( K \)-向量空间是有限维的。换句话说，\( A \) 中存在有限个元素 \( a_ 1, a_ 2, ..., a_ n \)，使得 \( A \) 中任何元素都能唯一地表示为 \( k_ 1a_ 1 + ... + k_ na_ n \) 的形式，其中 \( k_ i \in K \)。同时，\( A \) 上还有一个相容的乘法运算（双线性且结合）。例子包括：矩阵代数 \( M_ n(K) \)、域 \( K \) 上的群代数 \( KG \)（当群 \( G \) 有限时）、多项式商代数 \( K[ x ] / (f(x)) \)（其中 \( f(x) \) 是非零多项式）等。表示 (Representation) ：代数 \( A \) 在 \( K \)-向量空间 \( V \) 上的一个表示，是一个代数同态 \( \rho: A \rightarrow \text{End}_ K(V) \)。这里，\( \text{End}_ K(V) \) 是 \( V \) 上所有 \( K \)-线性变换构成的代数。这个同态将 \( A \) 中的每个元素 \( a \) 映射为 \( V \) 上的一个线性变换 \( \rho(a) \)，并且保持代数运算：\( \rho(ab) = \rho(a) \circ \rho(b) \)，\( \rho(a+b) = \rho(a) + \rho(b) \)，\( \rho(ka) = k\rho(a) \)。向量空间 \( V \) 的维数称为表示的维数。第二步：表示的等价描述——模的观点表示的概念有一个完全等价的描述，使用模的语言，这通常更便于进行代数操作。 A-模 (A-module) ：设 \( A \) 是 \( K \)-代数。一个（左）\( A \)-模 \( M \) 是一个 \( K \)-向量空间，同时配备了一个“标量乘法” \( A \times M \to M \)，记作 \( (a, m) \mapsto a \cdot m \)，满足对所有 \( a, b \in A \)，\( m, n \in M \)，\( k \in K \)： \( a \cdot (m+n) = a \cdot m + a \cdot n \) \( (a+b) \cdot m = a \cdot m + b \cdot m \) \( (ab) \cdot m = a \cdot (b \cdot m) \) \( 1_ A \cdot m = m \) （如果 \( A \) 有单位元 \( 1_ A \)） \( (ka) \cdot m = a \cdot (km) = k(a \cdot m) \) （体现了 \( K \)-代数的相容性）与表示的联系：给定一个表示 \( \rho: A \to \text{End}_ K(V) \)，我们可以定义 \( A \)-模结构：对 \( a \in A, v \in V \)，令 \( a \cdot v := \rho(a)(v) \)。反之，给定一个 \( A \)-模 \( M \)，我们可以定义表示 \( \rho(a)(m) := a \cdot m \)。因此，“\( A \) 的有限维表示”完全等同于“有限维（左）\( A \)-模”。我们常将这两个术语互换使用。第三步：基本概念——同态、子模、商模、直和既然我们在讨论模，就可以自然地引入模范畴中的标准概念。 A-模同态：两个 \( A \)-模 \( M \) 和 \( N \) 之间的同态是一个 \( K \)-线性映射 \( f: M \to N \)，且满足 \( f(a \cdot m) = a \cdot f(m) \) 对所有 \( a \in A, m \in M \) 成立。所有 \( A \)-模及其同态构成一个阿贝尔范畴。子模与商模：如果 \( N \) 是 \( A \)-模 \( M \) 的一个子集，且自身在 \( A \) 的作用下封闭（即对 \( a \in A, n \in N \)，有 \( a \cdot n \in N \)），并且是 \( M \) 的向量子空间，则 \( N \) 是 \( M \) 的子模。商向量空间 \( M/N \) 自然成为一个 \( A \)-模，称为商模，其作用是 \( a \cdot (m+N) := (a \cdot m) + N \)。直和：如果 \( M_ 1, M_ 2 \) 是 \( A \)-模，它们的直和 \( M_ 1 \oplus M_ 2 \)（作为向量空间的直和）也是一个 \( A \)-模，其作用是分量式的：\( a \cdot (m_ 1, m_ 2) = (a \cdot m_ 1, a \cdot m_ 2) \)。这对应于表示的直和。第四步：核心问题与简单模、不可分解模表示论的一个基本目标是“分类”一个代数 \( A \) 的所有有限维表示（模）。这个分类通常分两步走：寻找“原子”构件——单模（不可约表示）：一个非零的 \( A \)-模 \( S \) 称为单模（或不可约模），如果它除了 \( \{0\} \) 和自身之外没有其他子模。从表示角度看，这意味着对应的表示空间没有在 \( A \) 作用下不变的非平凡子空间。单模是构造更复杂模的“基本粒子”。根据 Schur 引理（你已学过），单模的自同态环是一个可除代数，在 \( K \) 代数闭的情况下，就是 \( K \) 本身。分解的第一步——不可分解模：一个非零的 \( A \)-模 \( M \) 称为不可分解模，如果它不能写成两个非零子模的直和。即，如果 \( M \cong M_ 1 \oplus M_ 2 \)，则必有 \( M_ 1 = 0 \) 或 \( M_ 2 = 0 \。显然，单模一定是不可分解的，但反之不成立。 Krull-Schmidt 定理：这是有限维代数表示论的基石定理。它断言：任何有限维 \( A \)-模 \( M \) 都可以分解成有限多个不可分解子模的直和：\( M \cong M_ 1 \oplus M_ 2 \oplus ... \oplus M_ t \)。并且，如果还有另一种分解 \( M \cong N_ 1 \oplus ... \oplus N_ s \)，那么 \( t = s \)，且在适当重排后，有 \( M_ i \cong N_ i \) 对所有 \( i \) 成立。这个定理将模的分类问题归结为对不可分解模的分类问题。第五步：模范畴与同调工具为了研究不可分解模之间的关系和整体结构，我们需要范畴和同调代数的工具。模范畴：所有有限维左 \( A \)-模构成一个范畴，记作 \( A\text{-mod} \)。我们在这个范畴里研究对象（模）和态射（模同态）。投射模与内射模：在 \( A\text{-mod} \) 中，我们可以定义投射模和内射模（你已学过其一般定义）。对于有限维代数 \( A \)，一个重要事实是：正则模 \( _ A A \)（将 \( A \) 本身视为左 \( A \)-模）是投射生成子。这意味着任何有限维 \( A \)-模都是某个自由模 \( A^n \) 的商模。内射模则与投射模构成对偶概念。同调维数：我们可以讨论模的投射维数、内射维数等。对于有限维代数，整体同调维数是有限的，这为我们使用导出函子（如 \( \text{Ext}^n_ A(M, N) \)， \( \text{Tor}^A_ n(M, N) \)）提供了良好的框架。\( \text{Ext}^1_ A(M, N) \) 特别重要，它分类了从 \( N \) 到 \( M \) 的模扩张。第六步：箭图与代数表示论的核心工具对于许多有限维代数（特别是基代数 \( K \) 代数闭时），有一种非常强大的组合工具来描述其表示。箭图 (Quiver) ：一个有向图 \( Q = (Q_ 0, Q_ 1) \)，其中 \( Q_ 0 \) 是顶点集，\( Q_ 1 \) 是箭头集。每个箭头 \( a \) 有起点 \( s(a) \) 和终点 \( t(a) \)。箭图的表示：\( Q \) 的一个表示 \( V \) 由以下数据给出：对每个顶点 \( i \)，赋予一个 \( K \)-向量空间 \( V_ i \)；对每个箭头 \( a: i \to j \)，赋予一个 \( K \)-线性映射 \( V_ a: V_ i \to V_ j \)。路代数 (Path Algebra) ：从箭图 \( Q \) 可以构造一个代数 \( KQ \)，称为路代数。它的基是所有（有限）路径（包括每个顶点处的“懒路径” \( e_ i \)），乘法是路径的衔接（如果可能）。路代数通常是无限维的。关联代数：为了得到有限维代数，我们通常取路代数 \( KQ \) 关于一个容许理想 \( I \) 的商代数 \( A = KQ / I \)。这里 \( I \) 是由某些路径（关系）生成的理想，且包含在所有长度足够大的路径生成的理想中。 Gabriel 定理：这是一个里程碑式的定理。粗略地说，当 \( K \) 代数闭时，任何有限维基本代数（即 \( A / \text{rad}(A) \cong K \times ... \times K \)）都同构于某个箭图 \( Q \) 的路代数模去一个容许理想 \( I \) 的商代数。更重要的是，\( A \)-模范畴等价于 \( (Q, I) \) 的表示范畴。这让我们可以用组合（箭图和关系）来研究代数的表示。不可分解模与箭图表示：在箭图表示的语言下，一个 \( A \)-模对应一个满足关系 \( I \) 的 \( Q \)-表示。不可分解模对应于不可分解的表示。对于一些简单的箭图（如 \( A_ n, D_ n, E_ 6, E_ 7, E_ 8 \) Dynkin型），其表示是有限型的（即只有有限多个不可分解模）。对于扩展的Dynkin型（仿射型），则是驯顺型的（无限多不可分解模，但有很好的参数化）。其他类型则是野的，无法分类。第七步：Auslander-Reiten 理论（几乎可裂序列）这是现代表示论的核心理论，旨在系统描述不可分解模之间的“不可约”映射关系。不可约态射：一个态射 \( f: X \to Y \) 称为不可约的，如果它不是可逆的，并且在任何分解 \( f = h \circ g \) 中，要么 \( g \) 有右逆，要么 \( h \) 有左逆。这可以看作是态射的“素元”。 Auslander-Reiten 平移：这是一个重要的函子 \( \tau \)（及其逆 \( \tau^{-1} \)），联系着投射模、非投射不可分解模和内射模。它是通过转置和取 Dual 来定义的（\( \tau M = D \text{Tr} M, \tau^{-1}M = \text{Tr} D M \)），其中 \( D = \text{Hom}_ K(-, K) \) 是 \( K \)-对偶，\( \text{Tr} \) 是转置。几乎可裂序列 (Auslander-Reiten序列) ：这是一个不可分裂的短正合序列 \( 0 \to L \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} N \to 0 \)，满足： \( L \) 和 \( N \) 是不可分解模。 \( f \) 是左几乎可裂的（即任何从 \( L \) 到非可裂模的态射都通过 \( f \) 分解）。 \( g \) 是右几乎可裂的（即任何到 \( N \) 的非可裂态射都通过 \( g \) 分解）。关键定理：对于每个非投射不可分解模 \( N \)，存在唯一（在同构意义下）的几乎可裂序列以 \( N \) 为右端项；对于每个非内射不可分解模 \( L \)，存在唯一（在同构意义下）的几乎可裂序列以 \( L \) 为左端项。并且满足 \( L = \tau N \)。 Auslander-Reiten 箭图 (AR-箭图) ：这是一个以所有不可分解 \( A \)-模为顶点，以不可约态射为箭头的有向图。几乎可裂序列的存在使得这个箭图具有丰富的结构，每个非投射不可分解模 \( N \) 都位于一条“AR-网格”中，连接到 \( \tau N \) 和它的“前驱”。这个箭图是理解模范畴整体结构（特别是不可分解模之间的关系）的强有力的组合工具。总结一下，模的有限维代数表示论从代数及其模的基本定义出发，通过Krull-Schmidt定理聚焦于不可分解模，并运用模范畴和同调工具进行分析。其高潮部分是使用箭图与关系的组合描述（Gabriel定理），以及通过Auslander-Reiten理论（几乎可裂序列和AR箭图）来深刻揭示不可分解模之间的内在联系和模范畴的整体形状。它是代数学中一个既深刻又优美的领域。