模的张量积函子与左正合性

字数 4523 2025-12-17 23:34:46

模的张量积函子与左正合性

我们先从最基本的“函子”概念开始，逐步构建，直到理解“模的张量积函子为什么是右正合的”。

第一步：回顾模与张量积的基本定义

模：固定一个环 \(R\)。一个左 \(R\)-模 \(M\) 是一个阿贝尔群，配备了一个“数乘”运算 \(R \times M \to M\)，满足分配律、结合律等公理。右 \(R\)-模的定义类似。我们主要讨论双模。
双模：若一个阿贝尔群 \(M\) 既是左 \(R\)-模，又是右 \(S\)-模，并且满足相容性条件 \((rm)s = r(ms)\) 对所有 \(r \in R, s \in S, m \in M\) 成立，则称 \(M\) 是一个 \((R, S)\)-双模。
张量积：给定一个右 \(R\)-模 \(M\) 和一个左 \(R\)-模 \(N\)，它们的张量积 \(M \otimes_R N\) 是一个阿贝尔群（甚至是一个 \(\mathbb{Z}\)-模）。其构造目的是将 \(R\)-双线性映射“线性化”。其元素是形式和的等价类 \(\sum (m_i \otimes n_i)\)，满足关系：

\((m_1 + m_2) \otimes n = m_1 \otimes n + m_2 \otimes n\)
\(m \otimes (n_1 + n_2) = m \otimes n_1 + m \otimes n_2\)
\((mr) \otimes n = m \otimes (rn)\)

第二步：从张量积到张量积函子

张量积不仅仅是两个模之间的运算，它可以被看作一种“机器”或“函子”。

固定一个模：我们固定一个右 \(R\)-模 \(M_R\)。
构造函子：我们可以利用 \(M_R\) 来定义一个操作：

输入：任何一个左 \(R\)-模 \(_R N\)。
输出：得到一个阿贝尔群 \(M \otimes_R N\)。
对态射的作用：不仅如此，如果有一个左 \(R\)-模同态 \(f: \, _R N \to \, _R N‘\)，我们可以定义一个新的映射：

\[ (M \otimes f): M \otimes_R N \to M \otimes_R N’, \quad m \otimes n \mapsto m \otimes f(n) \]

    容易验证，这是一个良定义的群同态，并且满足：

\(M \otimes \text{id}_N = \text{id}_{M \otimes N}\)
若还有同态 \(g: N’ \to N’’\)，则 \(M \otimes (g \circ f) = (M \otimes g) \circ (M \otimes f)\)

函子的定义：将上述操作整体看成一个数学对象 \(F\)：

它将左 \(R\)-模范畴 \(R\text{-Mod}\) 中的对象 \(N\) 映到阿贝尔群范畴 \(\text{Ab}\) 中的对象 \(M \otimes_R N\)。
它将范畴 \(R\text{-Mod}\) 中的态射 \(f: N \to N’\) 映到范畴 \(\text{Ab}\) 中的态射 \(M \otimes f: M \otimes N \to M \otimes N’\)。
- 满足上述的恒等性和复合性。
  这样的对象 \(F\) 就称为一个（协变）函子，记作 \(M \otimes_R - : R\text{-Mod} \to \text{Ab}\)。这被称为张量积函子（由 \(M\) 诱导的）。

类似地，固定左模 \(N\)，我们可以定义函子 \(- \otimes_R N: \text{Mod-}R \to \text{Ab}\)。

第三步：正合列与函子的正合性

要理解“左正合”或“右正合”，需要先知道什么是“正合”。

正合序列：一列模同态

\[ \cdots \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to \cdots \]

称为在 \(B\) 处正合，如果 \(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)。即 \(f\) 的像恰好是 \(g\) 的核。
2. 短正合序列：一个最重要的特例是

\[ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \]

它在 \(A, B, C\) 三处都正合。这等价于：

\(f\) 是单射（在 \(A\) 处正合：\(0 \to A \to B\) 正合要求 \(\text{Ker}(f) = \text{Im}(0)=0\)）。
\(g\) 是满射（在 \(C\) 处正合：\(B \to C \to 0\) 正合要求 \(\text{Im}(g) = \text{Ker}(0)=C\)）。
\(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)（在 \(B\) 处正合）。
这样的序列意味着 \(C \cong B / f(A)\)，即 \(C\) 是 \(B\) 商去子模 \(A\) 的商模。

函子的正合性：设 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是一个（加法）函子。给定一个正合序列：

\[ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \]

将这个序列输入函子 \(F\)，我们得到一个新的序列（在范畴 \(\mathcal{D}\) 中）：

\[ F(A) \xrightarrow{F(f)} F(B) \xrightarrow{F(g)} F(C) \]

如果这个新序列总是正合的，则称 \(F\) 是正合函子。
如果对任意左正合列 \(0 \to A \to B \to C\)（即仅在 \(A\) 和 \(B\) 处正合），新序列 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) 总是正合的，则称 \(F\) 是左正合函子。这强调了函子“保持”单射和核的性质。
如果对任意右正合列 \(A \to B \to C \to 0\)（即仅在 \(B\) 和 \(C\) 处正合），新序列 \(F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\) 总是正合的，则称 \(F\) 是右正合函子。这强调了函子“保持”满射和余核的性质。

第四步：张量积函子是右正合函子

这是核心结论。固定右 \(R\)-模 \(M\)，考虑函子 \(M \otimes_R -\)。

定理：函子 \(M \otimes_R - : R\text{-Mod} \to \text{Ab}\) 是右正合的。

含义：对于任意左 \(R\)-模的短正合序列

\[0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \]

应用函子 \(M \otimes_R -\) 后，得到的序列

\[M \otimes_R A \xrightarrow{1_M \otimes f} M \otimes_R B \xrightarrow{1_M \otimes g} M \otimes_R C \to 0 \]

是右正合的。即：

\(1_M \otimes g\) 是满射。（函子保持满射）
\(\text{Im}(1_M \otimes f) = \text{Ker}(1_M \otimes g)\)。（函子保持余核）

但左端不一定保持。换句话说，序列

\[0 \to M \otimes_R A \xrightarrow{1_M \otimes f} M \otimes_R B \]

不一定正合，即 \(1_M \otimes f\) 不一定是单射。当 \(M \otimes_R f\) 总是单射时，我们称 \(M\) 是一个平坦模。平坦性是比“投射性”更弱的性质。

为什么是右正合而非左正合？直观理解

生成元与关系的视角：模 \(C\) 由 \(B\) 商去子模 \(A\) 得到。张量积 \(M \otimes C\) 可以想象为“用 \(M\) 中的系数线性组合 \(C\) 中的元素”。由于 \(C\) 中的元素是 \(B\) 中元素的等价类，这种“等价关系”在张量积操作下被保留了下来，保证了 \(M \otimes g\) 是满射，并且核正好是由 \(M \otimes A\) 的像生成。这对应了右正合性。
单射的破坏：考虑单射 \(f: A \to B\)。在张量 \(M\) 时，可能会出现 \(M\) 中的元素与 \(A\) 中的“挠”关系。例如，设 \(R=\mathbb{Z}\)，取单射 \(f: \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}\)（乘2映射），这是一个单射。取 \(M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。应用张量积函子 \(M \otimes_\mathbb{Z} -\)：

\(M \otimes A = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
\(M \otimes B = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
映射 \(1_M \otimes f\) 将 \(1 \otimes 1 \in M \otimes A\) 送到 \(1 \otimes 2 \in M \otimes B\)。但在 \(M \otimes B\) 中，\(1 \otimes 2 = 2 \otimes 1 = 0 \otimes 1 = 0\)。所以 \(1_M \otimes f\) 实际上把非零元 \(1 \otimes 1\) 映成了零元，因此它不是单射。这说明张量积不一定保持单射，即不是左正合的。

总结：

张量积函子 \(M \otimes_R -\) 是由固定一个模 \(M\) 定义的、从左模范畴到阿贝尔群范畴的协变函子。
它是一个右正合函子：它将一个右正合列（\(- \to - \to - \to 0\)）映射为另一个右正合列。这意味着它保持满射和余核，但不一定保持单射。
该函子左正合的失效，引出了平坦模这一重要概念：如果对所有单射 \(f\)，\(1_M \otimes f\) 都是单射，则 \(M\) 称为平坦模，此时函子 \(M \otimes -\) 是正合函子。

模的张量积函子与左正合性我们先从最基本的“函子”概念开始，逐步构建，直到理解“模的张量积函子为什么是右正合的”。第一步：回顾模与张量积的基本定义模：固定一个环 \(R\)。一个左 \(R\)-模 \(M\) 是一个阿贝尔群，配备了一个“数乘”运算 \(R \times M \to M\)，满足分配律、结合律等公理。右 \(R\)-模的定义类似。我们主要讨论双模。双模：若一个阿贝尔群 \(M\) 既是左 \(R\)-模，又是右 \(S\)-模，并且满足相容性条件 \((rm)s = r(ms)\) 对所有 \(r \in R, s \in S, m \in M\) 成立，则称 \(M\) 是一个 \((R, S)\)-双模。张量积：给定一个右 \(R\)-模 \(M\) 和一个左 \(R\)-模 \(N\)，它们的张量积 \(M \otimes_ R N\) 是一个阿贝尔群（甚至是一个 \(\mathbb{Z}\)-模）。其构造目的是将 \(R\)-双线性映射“线性化”。其元素是形式和的等价类 \(\sum (m_ i \otimes n_ i)\)，满足关系： \((m_ 1 + m_ 2) \otimes n = m_ 1 \otimes n + m_ 2 \otimes n\) \(m \otimes (n_ 1 + n_ 2) = m \otimes n_ 1 + m \otimes n_ 2\) \((mr) \otimes n = m \otimes (rn)\) 第二步：从张量积到张量积函子张量积不仅仅是两个模之间的运算，它可以被看作一种“机器”或“函子”。固定一个模：我们固定一个右 \(R\)-模 \(M_ R\)。构造函子：我们可以利用 \(M_ R\) 来定义一个操作：输入：任何一个左 \(R\)-模 \(_ R N\)。输出：得到一个阿贝尔群 \(M \otimes_ R N\)。对态射的作用：不仅如此，如果有一个左 \(R\)-模同态 \(f: \, _ R N \to \, _ R N‘\)，我们可以定义一个新的映射： \[ (M \otimes f): M \otimes_ R N \to M \otimes_ R N’, \quad m \otimes n \mapsto m \otimes f(n) \] 容易验证，这是一个良定义的群同态，并且满足： \(M \otimes \text{id} N = \text{id} {M \otimes N}\) 若还有同态 \(g: N’ \to N’’\)，则 \(M \otimes (g \circ f) = (M \otimes g) \circ (M \otimes f)\) 函子的定义：将上述操作整体看成一个数学对象 \(F\)：它将左 \(R\)-模范畴 \(R\text{-Mod}\) 中的对象 \(N\) 映到阿贝尔群范畴 \(\text{Ab}\) 中的对象 \(M \otimes_ R N\)。它将范畴 \(R\text{-Mod}\) 中的态射 \(f: N \to N’\) 映到范畴 \(\text{Ab}\) 中的态射 \(M \otimes f: M \otimes N \to M \otimes N’\)。满足上述的恒等性和复合性。这样的对象 \(F\) 就称为一个（协变）函子，记作 \(M \otimes_ R - : R\text{-Mod} \to \text{Ab}\)。这被称为张量积函子（由 \(M\) 诱导的）。类似地，固定左模 \(N\)，我们可以定义函子 \(- \otimes_ R N: \text{Mod-}R \to \text{Ab}\)。第三步：正合列与函子的正合性要理解“左正合”或“右正合”，需要先知道什么是“正合”。正合序列：一列模同态 \[ \cdots \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to \cdots \] 称为在 \(B\) 处正合，如果 \(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)。即 \(f\) 的像恰好是 \(g\) 的核。短正合序列：一个最重要的特例是 \[ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \] 它在 \(A, B, C\) 三处都正合。这等价于： \(f\) 是单射（在 \(A\) 处正合：\(0 \to A \to B\) 正合要求 \(\text{Ker}(f) = \text{Im}(0)=0\)）。 \(g\) 是满射（在 \(C\) 处正合：\(B \to C \to 0\) 正合要求 \(\text{Im}(g) = \text{Ker}(0)=C\)）。 \(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)（在 \(B\) 处正合）。这样的序列意味着 \(C \cong B / f(A)\)，即 \(C\) 是 \(B\) 商去子模 \(A\) 的商模。函子的正合性：设 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是一个（加法）函子。给定一个正合序列： \[ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \] 将这个序列输入函子 \(F\)，我们得到一个新的序列（在范畴 \(\mathcal{D}\) 中）： \[ F(A) \xrightarrow{F(f)} F(B) \xrightarrow{F(g)} F(C) \] 如果这个新序列总是正合的，则称 \(F\) 是正合函子。如果对任意左正合列 \(0 \to A \to B \to C\)（即仅在 \(A\) 和 \(B\) 处正合），新序列 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) 总是正合的，则称 \(F\) 是左正合函子。这强调了函子“保持”单射和核的性质。如果对任意右正合列 \(A \to B \to C \to 0\)（即仅在 \(B\) 和 \(C\) 处正合），新序列 \(F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\) 总是正合的，则称 \(F\) 是右正合函子。这强调了函子“保持”满射和余核的性质。第四步：张量积函子是右正合函子这是核心结论。固定右 \(R\)-模 \(M\)，考虑函子 \(M \otimes_ R -\)。定理：函子 \(M \otimes_ R - : R\text{-Mod} \to \text{Ab}\) 是右正合的。含义：对于任意左 \(R\)-模的短正合序列 \[ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \] 应用函子 \(M \otimes_ R -\) 后，得到的序列 \[ M \otimes_ R A \xrightarrow{1_ M \otimes f} M \otimes_ R B \xrightarrow{1_ M \otimes g} M \otimes_ R C \to 0 \] 是右正合的。即： \(1_ M \otimes g\) 是满射。（函子保持满射） \(\text{Im}(1_ M \otimes f) = \text{Ker}(1_ M \otimes g)\)。（函子保持余核）但左端不一定保持。换句话说，序列 \[ 0 \to M \otimes_ R A \xrightarrow{1_ M \otimes f} M \otimes_ R B \] 不一定正合，即 \(1_ M \otimes f\) 不一定是单射。当 \(M \otimes_ R f\) 总是单射时，我们称 \(M\) 是一个平坦模。平坦性是比“投射性”更弱的性质。为什么是右正合而非左正合？直观理解生成元与关系的视角：模 \(C\) 由 \(B\) 商去子模 \(A\) 得到。张量积 \(M \otimes C\) 可以想象为“用 \(M\) 中的系数线性组合 \(C\) 中的元素”。由于 \(C\) 中的元素是 \(B\) 中元素的等价类，这种“等价关系”在张量积操作下被保留了下来，保证了 \(M \otimes g\) 是满射，并且核正好是由 \(M \otimes A\) 的像生成。这对应了右正合性。单射的破坏：考虑单射 \(f: A \to B\)。在张量 \(M\) 时，可能会出现 \(M\) 中的元素与 \(A\) 中的“挠”关系。例如，设 \(R=\mathbb{Z}\)，取单射 \(f: \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}\)（乘2映射），这是一个单射。取 \(M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。应用张量积函子 \(M \otimes_ \mathbb{Z} -\)： \(M \otimes A = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \otimes_ \mathbb{Z} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) \(M \otimes B = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \otimes_ \mathbb{Z} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 映射 \(1_ M \otimes f\) 将 \(1 \otimes 1 \in M \otimes A\) 送到 \(1 \otimes 2 \in M \otimes B\)。但在 \(M \otimes B\) 中，\(1 \otimes 2 = 2 \otimes 1 = 0 \otimes 1 = 0\)。所以 \(1_ M \otimes f\) 实际上把非零元 \(1 \otimes 1\) 映成了零元，因此它不是单射。这说明张量积不一定保持单射，即不是左正合的。总结：张量积函子 \(M \otimes_ R -\) 是由固定一个模 \(M\) 定义的、从左模范畴到阿贝尔群范畴的协变函子。它是一个右正合函子：它将一个右正合列（\(- \to - \to - \to 0\)）映射为另一个右正合列。这意味着它保持满射和余核，但不一定保持单射。该函子左正合的失效，引出了平坦模这一重要概念：如果对所有单射 \(f\)，\(1_ M \otimes f\) 都是单射，则 \(M\) 称为平坦模，此时函子 \(M \otimes -\) 是正合函子。