哈尔测度的模函数与商测度的关系
字数 3177 2025-12-17 23:12:43

哈尔测度的模函数与商测度的关系

哈尔测度的模函数是连接左哈尔测度与右哈尔测度的关键对象，而商测度则是从群上的测度诱导到商空间上的自然测度。理解它们的关系，是研究齐性空间上调和分析的基础。我将从基本概念出发，逐步揭示这种联系。

第一步：回顾左、右哈尔测度与模函数

  1. 左哈尔测度 (Left Haar Measure)：在一个局部紧拓扑群 \(G\) 上，一个（非零）左哈尔测度 \(\mu\) 是一个在 \(G\) 的波莱尔集上定义的正则博雷尔测度，并且满足左不变性：对任何波莱尔集 \(E \subseteq G\) 和任何 \(a \in G\)，有 \(\mu(aE) = \mu(E)\)，其中 \(aE = \{ ax : x \in E \}\)。
  2. 右哈尔测度 (Right Haar Measure)：类似地，一个右哈尔测度 \(\nu\) 满足右不变性：\(\mu(Ea) = \mu(E)\) 对所有 \(a \in G\) 成立。
  3. 关键事实：在一个局部紧群 \(G\) 上，左（或右）哈尔测度在正数倍的意义下是唯一的。但一个给定的左哈尔测度 \(\mu\) 通常不是右不变的。
  4. 模函数的引入：对于固定的 \(a \in G\)，考虑从 \(G\) 到自身的映射 \(x \mapsto xa\)。这个映射诱导了一个新的测度 \(\mu_a\)，定义为 \(\mu_a(E) = \mu(Ea)\)。由于 \(\mu_a\) 也满足左不变性（验证：\(\mu_a(bE) = \mu(bEa) = \mu(Ea) = \mu_a(E)\)），根据哈尔测度的唯一性，存在一个只依赖于 \(a\) 的正数 \(\Delta(a)\)，使得 \(\mu_a = \Delta(a) \mu\)。即：

\[ \mu(Ea) = \Delta(a) \mu(E) \quad \text{对所有波莱尔集} E \subseteq G。 \]

这个函数 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 称为群 \(G\) 的模函数 (Modular Function)。

第二步：模函数的性质与对群结构的反映

  1. 连续同态：模函数 \(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \((0, \infty)\) 的连续群同态。即：
  • \(\Delta(ab) = \Delta(a)\Delta(b)\) （同态性）
  • \(\Delta\) 是连续的。
  1. 对右哈尔测度的描述：给定一个左哈尔测度 \(\mu\)，可以构造一个右哈尔测度 \(\nu\)。一个直接的方式是定义 \(\nu(E) = \mu(E^{-1})\)，其中 \(E^{-1} = \{ x^{-1} : x \in E \}\)。但更常用、与模函数紧密相关的构造是：

\[ \nu(E) = \int_E \Delta(x^{-1}) d\mu(x) \quad \text{或等价地} \quad d\nu(x) = \Delta(x^{-1}) d\mu(x). \]

容易验证这个 \(\nu\) 是右不变的。这表明，左哈尔测度通过乘以模函数的倒数，可以调整为一个右哈尔测度。
3. 幺模群 (Unimodular Group)：如果 \(\Delta \equiv 1\)，则左哈尔测度同时也是右哈尔测度，此时称 \(G\) 为幺模群。阿贝尔群、紧群、离散群都是幺模群。

第三步：商测度的构造动机与定义

现在考虑一个闭正规子群 \(N \trianglelefteq G\)。我们关心如何将 \(G\) 上的哈尔测度与 \(G/N\) 上的哈尔测度联系起来。商群 \(G/N\) 在商拓扑下也是一个局部紧拓扑群。

  1. 动机：我们希望找到一个公式，能将 \(G\) 上关于 \(\mu_G\) 的积分，“分解”为先在陪集 \(xN\) 上积分，再在商空间 \(G/N\) 上积分。这需要我们在 \(N\) 和 \(G/N\) 上也有合适的测度。
  2. 准备工作：设：
  • \(\mu_G\) 是 \(G\) 上的一个左哈尔测度。
  • \(\mu_N\) 是子群 \(N\) 上的一个左哈尔测度（将 \(N\) 视为局部紧群）。
  • \(\mu_{G/N}\) 是商群 \(G/N\) 上的一个左哈尔测度。
  1. 模函数的作用：关键在于，为了保证分解公式的“相容性”，我们不能任意选择 \(\mu_N\)。需要考察 \(G\) 的模函数 \(\Delta_G\) 在子群 \(N\) 上的限制 \(\Delta_G|_N\)，以及 \(N\) 自身的模函数 \(\Delta_N\)。
  2. 相容性条件：可以证明，商群 \(G/N\) 是幺模群 当且仅当 \(\Delta_G(n) = \Delta_N(n)\) 对所有 \(n \in N\) 成立。这是一个关键的调和条件。
  3. 商测度构造定理：如果上述相容条件满足，那么存在 \(G/N\) 上的左哈尔测度 \(\mu_{G/N}\)，使得对于所有在 \(G\) 上连续且具有紧支集的函数 \(f\)，有以下积分公式（或“切片积分公式”）成立：

\[ \int_G f(x) d\mu_G(x) = \int_{G/N} \left( \int_N f(xn) d\mu_N(n) \right) d\mu_{G/N}(xN). \]

这里内层积分 \(\int_N f(xn) d\mu_N(n)\) 定义在陪集 \(xN\) 上，并且可以证明它只依赖于陪集 \(xN\)，因此可以作为 \(G/N\) 上的函数被外层积分。

第四步：模函数与商测度关系的核心

现在，我们可以精确阐述模函数与商测度的关系：

  1. 关系的桥梁：模函数 \(\Delta_G\) 和 \(\Delta_N\) 的比较，直接决定了能否从 \(G\) 和 \(N\) 的哈尔测度，以协调的方式诱导出商空间 \(G/N\) 上的哈尔测度（即商测度）。
  2. 关系的表述：上述积分公式成立，或者说商测度 \(\mu_{G/N}\) 能由 \(\mu_G\) 和 \(\mu_N\) 以所述方式诱导出来的充要条件是：

\[ \Delta_G(n) = \Delta_N(n) \quad \text{对所有 } n \in N. \]

这个等式意味着，当用 \(G\) 的群作用（共轭）来看子群 \(N\) 时，其引起的测度伸缩（由 \(\Delta_G|_N\) 描述）必须与 \(N\) 自身内部的左右测度差异（由 \(\Delta_N\) 描述）完全一致。只有这样，在“横截”各个陪集做积分时，不同陪集上的积分权值才不会产生不可抵消的扭曲，从而允许一个整体的、不变的商测度存在。
3. 几何/直观理解：可以把 \(G\) 想象成一个“纤维丛”，其底空间是 \(G/N\)，纤维是 \(N\)。要在整个 \(G\) 上积分，理想情况是先在每个纤维（陪集）上积分，再在底空间上对结果积分。模函数相等条件保证了存在一种对纤维（\(N\)）的测度选择，使得所有纤维在“捆绑”成总空间 \(G\) 时，其测度是均匀一致的，从而底空间的商测度是良定义的、不变的。

总结：哈尔测度的模函数量化了群的非幺模程度。在构造从群到其商群的商测度时，大群的模函数在子群上的限制，必须等于子群自身的模函数。这个等式是保证积分切片公式成立、从而协调地将大群上的哈尔测度分解为子群和商群上哈尔测度的关键相容性条件。它深刻反映了群结构、其测度结构以及商结构之间必须满足的调和关系。

哈尔测度的模函数与商测度的关系 哈尔测度的模函数是连接左哈尔测度与右哈尔测度的关键对象，而商测度则是从群上的测度诱导到商空间上的自然测度。理解它们的关系，是研究齐性空间上调和分析的基础。我将从基本概念出发，逐步揭示这种联系。 第一步：回顾左、右哈尔测度与模函数 左哈尔测度 (Left Haar Measure) ：在一个局部紧拓扑群 \(G\) 上，一个（非零）左哈尔测度 \(\mu\) 是一个在 \(G\) 的波莱尔集上定义的正则博雷尔测度，并且满足 左不变性 ：对任何波莱尔集 \(E \subseteq G\) 和任何 \(a \in G\)，有 \(\mu(aE) = \mu(E)\)，其中 \(aE = \{ ax : x \in E \}\)。 右哈尔测度 (Right Haar Measure) ：类似地，一个右哈尔测度 \(\nu\) 满足 右不变性 ：\(\mu(Ea) = \mu(E)\) 对所有 \(a \in G\) 成立。 关键事实 ：在一个局部紧群 \(G\) 上，左（或右）哈尔测度在正数倍的意义下是唯一的。但一个给定的左哈尔测度 \(\mu\) 通常 不 是右不变的。 模函数的引入 ：对于固定的 \(a \in G\)，考虑从 \(G\) 到自身的映射 \(x \mapsto xa\)。这个映射诱导了一个新的测度 \(\mu_ a\)，定义为 \(\mu_ a(E) = \mu(Ea)\)。由于 \(\mu_ a\) 也满足左不变性（验证：\(\mu_ a(bE) = \mu(bEa) = \mu(Ea) = \mu_ a(E)\)），根据哈尔测度的唯一性，存在一个只依赖于 \(a\) 的正数 \(\Delta(a)\)，使得 \(\mu_ a = \Delta(a) \mu\)。即： \[ \mu(Ea) = \Delta(a) \mu(E) \quad \text{对所有波莱尔集} E \subseteq G。 \] 这个函数 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 称为群 \(G\) 的 模函数 (Modular Function) 。 第二步：模函数的性质与对群结构的反映 连续同态 ：模函数 \(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \((0, \infty)\) 的连续群同态。即： \(\Delta(ab) = \Delta(a)\Delta(b)\) （同态性） \(\Delta\) 是连续的。 对右哈尔测度的描述 ：给定一个左哈尔测度 \(\mu\)，可以构造一个右哈尔测度 \(\nu\)。一个直接的方式是定义 \(\nu(E) = \mu(E^{-1})\)，其中 \(E^{-1} = \{ x^{-1} : x \in E \}\)。但更常用、与模函数紧密相关的构造是： \[ \nu(E) = \int_ E \Delta(x^{-1}) d\mu(x) \quad \text{或等价地} \quad d\nu(x) = \Delta(x^{-1}) d\mu(x). \] 容易验证这个 \(\nu\) 是右不变的。这表明， 左哈尔测度通过乘以模函数的倒数，可以调整为一个右哈尔测度 。 幺模群 (Unimodular Group) ：如果 \(\Delta \equiv 1\)，则左哈尔测度同时也是右哈尔测度，此时称 \(G\) 为幺模群。阿贝尔群、紧群、离散群都是幺模群。 第三步：商测度的构造动机与定义 现在考虑一个 闭正规子群 \(N \trianglelefteq G\)。我们关心如何将 \(G\) 上的哈尔测度与 \(G/N\) 上的哈尔测度联系起来。商群 \(G/N\) 在商拓扑下也是一个局部紧拓扑群。 动机 ：我们希望找到一个公式，能将 \(G\) 上关于 \(\mu_ G\) 的积分，“分解”为先在陪集 \(xN\) 上积分，再在商空间 \(G/N\) 上积分。这需要我们在 \(N\) 和 \(G/N\) 上也有合适的测度。 准备工作 ：设： \(\mu_ G\) 是 \(G\) 上的一个左哈尔测度。 \(\mu_ N\) 是子群 \(N\) 上的一个左哈尔测度（将 \(N\) 视为局部紧群）。 \(\mu_ {G/N}\) 是商群 \(G/N\) 上的一个左哈尔测度。 模函数的作用 ：关键在于，为了保证分解公式的“相容性”，我们不能任意选择 \(\mu_ N\)。需要考察 \(G\) 的模函数 \(\Delta_ G\) 在子群 \(N\) 上的限制 \(\Delta_ G|_ N\)，以及 \(N\) 自身的模函数 \(\Delta_ N\)。 相容性条件 ：可以证明， 商群 \(G/N\) 是幺模群 当且仅当 \(\Delta_ G(n) = \Delta_ N(n)\) 对所有 \(n \in N\) 成立。这是一个关键的调和条件。 商测度构造定理 ：如果上述相容条件满足，那么存在 \(G/N\) 上的左哈尔测度 \(\mu_ {G/N}\)，使得对于所有在 \(G\) 上连续且具有紧支集的函数 \(f\)，有以下 积分公式 （或“切片积分公式”）成立： \[ \int_ G f(x) d\mu_ G(x) = \int_ {G/N} \left( \int_ N f(xn) d\mu_ N(n) \right) d\mu_ {G/N}(xN). \] 这里内层积分 \(\int_ N f(xn) d\mu_ N(n)\) 定义在陪集 \(xN\) 上，并且可以证明它只依赖于陪集 \(xN\)，因此可以作为 \(G/N\) 上的函数被外层积分。 第四步：模函数与商测度关系的核心 现在，我们可以精确阐述模函数与商测度的关系： 关系的桥梁 ：模函数 \(\Delta_ G\) 和 \(\Delta_ N\) 的 比较 ，直接决定了能否从 \(G\) 和 \(N\) 的哈尔测度，以协调的方式诱导出商空间 \(G/N\) 上的哈尔测度（即商测度）。 关系的表述 ：上述积分公式成立，或者说商测度 \(\mu_ {G/N}\) 能由 \(\mu_ G\) 和 \(\mu_ N\) 以所述方式诱导出来的 充要条件 是： \[ \Delta_ G(n) = \Delta_ N(n) \quad \text{对所有 } n \in N. \] 这个等式意味着， 当用 \(G\) 的群作用（共轭）来看子群 \(N\) 时，其引起的测度伸缩（由 \(\Delta_ G|_ N\) 描述）必须与 \(N\) 自身内部的左右测度差异（由 \(\Delta_ N\) 描述）完全一致 。只有这样，在“横截”各个陪集做积分时，不同陪集上的积分权值才不会产生不可抵消的扭曲，从而允许一个整体的、不变的商测度存在。 几何/直观理解 ：可以把 \(G\) 想象成一个“纤维丛”，其底空间是 \(G/N\)，纤维是 \(N\)。要在整个 \(G\) 上积分，理想情况是先在每个纤维（陪集）上积分，再在底空间上对结果积分。模函数相等条件保证了存在一种对纤维（\(N\)）的测度选择，使得所有纤维在“捆绑”成总空间 \(G\) 时，其测度是均匀一致的，从而底空间的商测度是良定义的、不变的。 总结 ：哈尔测度的模函数量化了群的非幺模程度。在构造从群到其商群的商测度时， 大群的模函数在子群上的限制，必须等于子群自身的模函数 。这个等式是保证积分切片公式成立、从而协调地将大群上的哈尔测度分解为子群和商群上哈尔测度的关键相容性条件。它深刻反映了群结构、其测度结构以及商结构之间必须满足的调和关系。