分析学词条：法图引理（Fatou's Lemma）
字数 2437 2025-12-17 21:50:29

分析学词条：法图引理（Fatou's Lemma）

第一步：背景与动机
在实分析和测度论中，我们常常研究函数序列的积分与极限的交换问题。对于非负函数序列，一个重要的问题是：积分与下极限能否交换顺序？法图引理给出了一个不等式形式的保证，它表明，在一定条件下，积分号与下极限可以交换，但积分可能“损失”一些值。这个引理是勒贝格积分理论中的基本工具之一，为控制收敛定理等结果提供了基础。

第二步：预备知识

  1. 测度空间：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 为一个测度空间，其中 \(X\) 是集合，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 \(\sigma\)-代数，\(\mu\) 是 \(\mathcal{F}\) 上的测度（例如勒贝格测度）。
  2. 可测函数：函数 \(f: X \to [0, +\infty]\) 称为可测的，如果对任意 \(t \in \mathbb{R}\)，集合 \(\{x: f(x) > t\}\) 属于 \(\mathcal{F}\)。
  3. 勒贝格积分：对于非负可测函数 \(f\)，其勒贝格积分 \(\int_X f \, d\mu\) 定义为通过简单函数逼近的上确界。
  4. 下极限：对于一列实数 \(\{a_n\}\)，其下极限定义为 \(\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left( \inf_{k\ge n} a_k \right)\)。对于函数列 \(\{f_n\}\)，\(\liminf_{n\to\infty} f_n\) 是一个函数，其在点 \(x\) 的值为 \(\liminf_{n\to\infty} f_n(x)\)。

第三步：法图引理的严格表述
设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) 是一列非负可测函数，即每个 \(f_n: X \to [0, +\infty]\) 都是可测的。则函数

\[f(x) = \liminf_{n\to\infty} f_n(x) \]

也是非负可测的，并且满足不等式：

\[\int_X \liminf_{n\to\infty} f_n \, d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_X f_n \, d\mu. \]

注意：右边的 \(\liminf\) 是数值序列 \(\left\{ \int_X f_n \, d\mu \right\}\) 的下极限。

第四步：直观理解

  • 左边是先对每个 \(x\) 取函数值的下极限（即“逐点”取下极限），再积分。
  • 右边是先对每个函数积分，再取积分值的下极限。
  • 不等式表明，先取极限再积分，可能比先积分再取极限得到更小的值（或相等）。换句话说，积分运算相对于下极限是“下半连续”的。
  • 为什么可能严格小于？考虑函数列 \(f_n = n \cdot \mathbf{1}_{(0,1/n]}\) 在 \([0,1]\) 上（勒贝格测度）。每个 \(f_n\) 的积分为1，但逐点极限是0函数，其积分为0。这里左边=0，右边=1，不等式严格成立。

第五步：证明思路（概要）

  1. 令 \(g_k(x) = \inf_{n\ge k} f_n(x)\)，则 \(g_k\) 非负、可测，且序列 \(\{g_k\}\) 单调递增收敛到 \(f = \liminf f_n\)。
  2. 由勒贝格单调收敛定理，\(\int_X f \, d\mu = \lim_{k\to\infty} \int_X g_k \, d\mu\)。
  3. 由于对每个固定的 \(k\) 和所有 \(n \ge k\)，有 \(g_k \le f_n\)，故 \(\int_X g_k \, d\mu \le \int_X f_n \, d\mu\)。因此 \(\int_X g_k \, d\mu \le \inf_{n\ge k} \int_X f_n \, d\mu\)。
  4. 取 \(k \to \infty\)，左边趋于 \(\int_X f \, d\mu\)，右边趋于 \(\liminf_{n\to\infty} \int_X f_n \, d\mu\)，即得不等式。

第六步：关键推论与应用

  1. 控制收敛定理的引理：法图引理常用于证明勒贝格控制收敛定理（通过结合上下界）。
  2. 概率论中的应用：在概率中，若随机变量序列非负，则法图引理给出期望与下极限的不等式，用于证明如波莱尔-坎泰利引理等结果。
  3. 反向法图引理：若存在可积函数 \(g\) 使得对所有 \(n\) 有 \(f_n \le g\)，则有 \(\int_X \limsup_{n\to\infty} f_n \, d\mu \ge \limsup_{n\to\infty} \int_X f_n \, d\mu\)（通过对 \(g - f_n\) 应用法图引理）。
  4. 函数列积分下界估计：当难以直接计算极限函数的积分时，法图引理提供了极限函数积分的一个下界估计。

第七步：注意事项

  • 法图引理要求函数序列非负，这是关键条件。如果允许负值，结论可能不成立（例如取 \(f_n = -\mathbf{1}_{[n,n+1]}\)，在实数轴上积分）。
  • 即使函数列收敛，其极限函数的积分也可能严格小于积分序列的下极限，这反映了“质量损失”现象（如第四步的例子）。
  • 在更一般的形式中，法图引理可用于推广的测度（如无穷测度）和可测函数，只要保持非负性。

通过以上步骤，你可以理解法图引理的基本内容、证明逻辑以及它在分析学中的重要作用。掌握它有助于进一步学习极限与积分交换的更深层次结果。

分析学词条：法图引理（Fatou's Lemma） 第一步：背景与动机 在实分析和测度论中，我们常常研究函数序列的积分与极限的交换问题。对于非负函数序列，一个重要的问题是：积分与下极限能否交换顺序？法图引理给出了一个不等式形式的保证，它表明，在一定条件下，积分号与下极限可以交换，但积分可能“损失”一些值。这个引理是勒贝格积分理论中的基本工具之一，为控制收敛定理等结果提供了基础。 第二步：预备知识 测度空间 ：设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 为一个测度空间，其中 \(X\) 是集合，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 \(\sigma\)-代数，\(\mu\) 是 \(\mathcal{F}\) 上的测度（例如勒贝格测度）。 可测函数 ：函数 \(f: X \to [ 0, +\infty ]\) 称为可测的，如果对任意 \(t \in \mathbb{R}\)，集合 \(\{x: f(x) > t\}\) 属于 \(\mathcal{F}\)。 勒贝格积分 ：对于非负可测函数 \(f\)，其勒贝格积分 \(\int_ X f \, d\mu\) 定义为通过简单函数逼近的上确界。 下极限 ：对于一列实数 \(\{a_ n\}\)，其下极限定义为 \(\liminf_ {n\to\infty} a_ n = \lim_ {n\to\infty} \left( \inf_ {k\ge n} a_ k \right)\)。对于函数列 \(\{f_ n\}\)，\(\liminf_ {n\to\infty} f_ n\) 是一个函数，其在点 \(x\) 的值为 \(\liminf_ {n\to\infty} f_ n(x)\)。 第三步：法图引理的严格表述 设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_ n\} {n=1}^\infty\) 是一列非负可测函数，即每个 \(f_ n: X \to [ 0, +\infty ]\) 都是可测的。则函数 \[ f(x) = \liminf {n\to\infty} f_ n(x) \] 也是非负可测的，并且满足不等式： \[ \int_ X \liminf_ {n\to\infty} f_ n \, d\mu \le \liminf_ {n\to\infty} \int_ X f_ n \, d\mu. \] 注意：右边的 \(\liminf\) 是数值序列 \(\left\{ \int_ X f_ n \, d\mu \right\}\) 的下极限。 第四步：直观理解 左边是先对每个 \(x\) 取函数值的下极限（即“逐点”取下极限），再积分。 右边是先对每个函数积分，再取积分值的下极限。 不等式表明，先取极限再积分，可能比先积分再取极限得到更小的值（或相等）。换句话说，积分运算相对于下极限是“下半连续”的。 为什么可能严格小于？考虑函数列 \(f_ n = n \cdot \mathbf{1}_ {(0,1/n]}\) 在 \([ 0,1]\) 上（勒贝格测度）。每个 \(f_ n\) 的积分为1，但逐点极限是0函数，其积分为0。这里左边=0，右边=1，不等式严格成立。 第五步：证明思路（概要） 令 \(g_ k(x) = \inf_ {n\ge k} f_ n(x)\)，则 \(g_ k\) 非负、可测，且序列 \(\{g_ k\}\) 单调递增收敛到 \(f = \liminf f_ n\)。 由勒贝格单调收敛定理，\(\int_ X f \, d\mu = \lim_ {k\to\infty} \int_ X g_ k \, d\mu\)。 由于对每个固定的 \(k\) 和所有 \(n \ge k\)，有 \(g_ k \le f_ n\)，故 \(\int_ X g_ k \, d\mu \le \int_ X f_ n \, d\mu\)。因此 \(\int_ X g_ k \, d\mu \le \inf_ {n\ge k} \int_ X f_ n \, d\mu\)。 取 \(k \to \infty\)，左边趋于 \(\int_ X f \, d\mu\)，右边趋于 \(\liminf_ {n\to\infty} \int_ X f_ n \, d\mu\)，即得不等式。 第六步：关键推论与应用 控制收敛定理的引理 ：法图引理常用于证明勒贝格控制收敛定理（通过结合上下界）。 概率论中的应用 ：在概率中，若随机变量序列非负，则法图引理给出期望与下极限的不等式，用于证明如波莱尔-坎泰利引理等结果。 反向法图引理 ：若存在可积函数 \(g\) 使得对所有 \(n\) 有 \(f_ n \le g\)，则有 \(\int_ X \limsup_ {n\to\infty} f_ n \, d\mu \ge \limsup_ {n\to\infty} \int_ X f_ n \, d\mu\)（通过对 \(g - f_ n\) 应用法图引理）。 函数列积分下界估计 ：当难以直接计算极限函数的积分时，法图引理提供了极限函数积分的一个下界估计。 第七步：注意事项 法图引理要求函数序列 非负 ，这是关键条件。如果允许负值，结论可能不成立（例如取 \(f_ n = -\mathbf{1}_ {[ n,n+1 ]}\)，在实数轴上积分）。 即使函数列收敛，其极限函数的积分也可能严格小于积分序列的下极限，这反映了“质量损失”现象（如第四步的例子）。 在更一般的形式中，法图引理可用于推广的测度（如无穷测度）和可测函数，只要保持非负性。 通过以上步骤，你可以理解法图引理的基本内容、证明逻辑以及它在分析学中的重要作用。掌握它有助于进一步学习极限与积分交换的更深层次结果。