切线的判定和性质 切线是几何中与圆相关的重要概念。我们先从定义入手，再逐步讲解判定方法和性质。 1. 切线的定义 一条直线与圆有且只有一个公共点（称为 切点 ），那么这条直线叫做圆的 切线 。 直观理解：切线刚好“碰到”圆，但不穿过圆（不像割线那样与圆相交于两点）。 2. 切线的判定定理 要判断一条直线是否是圆的切线，有两种常用方法： （1）定义法 证明直线与圆只有一个公共点。但这种方法在证明时往往比较困难，因为需要说明除该点外再无其他交点。 （2）判定定理（更常用） 定理 ：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 已知：点 \(A\) 在圆 \(O\) 上，直线 \(l\) 经过点 \(A\)，且 \(l \perp OA\)。 结论：直线 \(l\) 是圆 \(O\) 的切线。 推理思路 ： 假设直线 \(l\) 还与圆有另一个交点 \(B\)（\(B \neq A\)），那么 \(OB = OA\)（半径），且 \(OA \perp l\)，但在三角形 \(OAB\) 中会出现矛盾（直角边 \(OA\) 等于斜边 \(OB\)？不可能），所以假设不成立，因此只有一个交点。 3. 切线的性质定理 如果一条直线是圆的切线，那么它有以下性质： 定理 ：圆的切线垂直于经过切点的半径。 已知：直线 \(l\) 是圆 \(O\) 的切线，\(A\) 是切点。 结论：\(l \perp OA\)。 证明思路（反证法） ： 如果切线不垂直于半径，那么从圆心 \(O\) 到直线 \(l\) 可作垂线，垂足为 \(A\)，且可在 \(l\) 上找到另一点 \(B\) 也在圆上（由对称性），这与切线定义（只有一个交点）矛盾。 4. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等 ，并且圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 已知：点 \(P\) 在圆外，\(PA\)、\(PB\) 分别切圆于 \(A\)、\(B\)。 结论： \(PA = PB\) \(\angle APO = \angle BPO\)（即 \(PO\) 平分 \(\angle APB\)） \(PO\) 垂直平分线段 \(AB\)（隐含结论） 证明思路 ： 连接 \(OA\)、\(OB\)，则 \(OA \perp PA\)，\(OB \perp PB\)。 在直角三角形 \(POA\) 与 \(POB\) 中，\(OA=OB\)（半径），\(OP\) 公共，所以 \(\triangle POA \cong \triangle POB\)（HL），从而 \(PA=PB\)，\(\angle APO = \angle BPO\)。 5. 应用与例题思路 已知半径和圆外点到圆心的距离，求切线长 ：用勾股定理。 若圆半径 \(r\)，\(OP = d\)，则切线长 \(PA = \sqrt{d^2 - r^2}\)。 证明某直线是切线 ：证明直线经过半径外端且与该半径垂直。 三角形内切圆 ：内切圆的切点将三角形的边分为若干相等线段（切线长定理的应用）。 如果需要，我可以进一步讲解与切线相关的角（弦切角定理）或两个圆的公切线。