圆的位似（Homothety of a Circle）
字数 2490 2025-12-17 19:55:29

圆的位似（Homothety of a Circle）

圆的位置变换中，位似是一种重要且直观的几何变换。它描述了图形在放大或缩小时，其形状保持不变的性质。下面我将详细为你讲解圆的位似变换。

第一步：位似变换的基本定义

位似，又称同伦变换或缩放变换，是一种平面到自身的映射。它由一个位似中心（或称缩放中心）\(O\) 和一个位似比（或称缩放系数）\(k\) （\(k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)）完全确定。

对于平面上任意一点 \(P\)，其位似像点 \(P'\) 由以下规则确定：

\[\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP} \]

换言之，点 \(P'\) 位于直线 \(OP\) 上，且满足 \(\frac{OP'}{OP} = |k|\)。当 \(k > 0\) 时，\(P'\) 与 \(P\) 在 \(O\) 的同侧（称为同向位似）；当 \(k < 0\) 时，\(P'\) 与 \(P\) 在 \(O\) 的异侧（称为反向位似）。特别地，当 \(|k| > 1\) 时，图形被放大；当 \(0 < |k| < 1\) 时，图形被缩小。

第二步：圆在位似变换下的像

现在考虑一个圆 \(C\)，其圆心为 \(A\)，半径为 \(R\)。对这个圆施加以点 \(O\) 为中心、系数为 \(k\) 的位似变换。我们要找出圆 \(C\) 的像是什么。

  1. 圆心变换：位似是线性映射（更准确地说，是仿射变换的一种特例）。一个基本性质是：线段的中点变换为像线段的中点。由此可推广出，图形的形心（如三角形的重心、圆的圆心）的像就是像图形的形心。因此，圆心 \(A\) 的位似像点 \(A'\) 满足：

\[ \overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OA} \]

\(A'\) 即为像圆的圆心。

  1. 半径变换：在圆 \(C\) 上任取一点 \(P\)，其位似像为 \(P'\)。由位似定义，有 \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\)。由于 \(P\) 在圆上，有 \(AP = R\)。我们需要考察 \(A'P'\) 的长度。

\[ \overrightarrow{A'P'} = \overrightarrow{OP'} - \overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OP} - k \cdot \overrightarrow{OA} = k (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) = k \cdot \overrightarrow{AP} \]

因此，\(A'P' = |k| \cdot AP = |k| \cdot R\)。这个距离与点 \(P\) 在圆上的选择无关。

结论：圆 \(C\) 在位似变换下的像，是一个以 \(A'\) 为圆心、半径为 \(R' = |k| \cdot R\) 的圆。圆经过位似变换后仍然是圆。

第三步：位似圆的几何关系

原圆与位似像圆之间存在一些重要的几何关系：

  1. 圆心共线：位似中心 \(O\)、原圆心 \(A\) 和像圆心 \(A'\) 三点共线。这是由变换定义 \(\overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OA}\) 直接得出的。

  2. 切线平行：过两圆上任意一对对应点（即由同一点 \(P\) 变换得到的点 \(P\) 和 \(P'\)）的切线互相平行。这是因为位似变换保持直线的方向不变（直线经位似变换后仍为直线或与其自身平行）。特别地，如果两圆存在公切线，那么这些公切线要么都经过位似中心 \(O\)（如果公切线与圆心连线不平行），要么彼此平行（如果公切线与圆心连线平行）。

  3. 位似轴：对于两个给定的圆（不一定有直接的位似关系），存在两个位似中心：外位似中心和内位似中心。外位似中心位于两圆圆心连线的延长线上，且两个圆心在它的同侧，对应的位似比 \(k > 0\)。内位似中心位于两圆圆心之间，对应的位似比 \(k < 0\)。这两个位似中心是根轴（等幂轴）的极点在圆心连线上的体现，是解决两圆相关几何问题的关键点。

第四步：位似变换的复合与群结构

位似变换的集合在复合运算下构成一个群，称为位似变换群。

  • 复合：先进行以 \(O_1\) 为中心、系数为 \(k_1\) 的位似变换，再进行以 \(O_2\) 为中心、系数为 \(k_2\) 的位似变换。当 \(k_1 k_2 \neq 1\) 时，复合结果仍是一个位似变换，其中心位于直线 \(O_1O_2\) 上（可通过计算确定具体位置），系数为 \(k_1 k_2\)。
  • 恒等变换：当 \(k = 1\) 时，位似变换就是恒等变换。
  • 逆变换：以 \(O\) 为中心、系数为 \(k\) 的位似变换，其逆变换是以 \(O\) 为中心、系数为 \(1/k\) 的位似变换。

位似变换是相似变换的一种特例（相似变换是位似变换与旋转、平移、反射的复合）。圆在所有相似变换下都变为圆，这是圆的一个重要几何特性。

总结：
圆的位似变换是一种以固定点为中心、按固定比例缩放图形（包括距离和面积）的变换。它将一个圆变换为另一个圆，且两圆圆心与位似中心共线，半径比等于位似比的绝对值。理解位似是理解圆的相似性、幂定理、根轴以及更复杂几何问题（如阿波罗尼奥斯问题）的重要基础。

圆的位似（Homothety of a Circle） 圆的位置变换中， 位似 是一种重要且直观的几何变换。它描述了图形在放大或缩小时，其形状保持不变的性质。下面我将详细为你讲解圆的位似变换。 第一步：位似变换的基本定义 位似，又称 同伦变换 或 缩放变换 ，是一种平面到自身的映射。它由一个 位似中心 （或称 缩放中心 ）\( O \) 和一个 位似比 （或称 缩放系数 ）\( k \) （\( k \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)）完全确定。 对于平面上任意一点 \( P \)，其位似像点 \( P' \) 由以下规则确定： \[ \overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP} \] 换言之，点 \( P' \) 位于直线 \( OP \) 上，且满足 \( \frac{OP'}{OP} = |k| \)。当 \( k > 0 \) 时，\( P' \) 与 \( P \) 在 \( O \) 的同侧（称为 同向位似 ）；当 \( k < 0 \) 时，\( P' \) 与 \( P \) 在 \( O \) 的异侧（称为 反向位似 ）。特别地，当 \( |k| > 1 \) 时，图形被放大；当 \( 0 < |k| < 1 \) 时，图形被缩小。 第二步：圆在位似变换下的像 现在考虑一个圆 \( C \)，其圆心为 \( A \)，半径为 \( R \)。对这个圆施加以点 \( O \) 为中心、系数为 \( k \) 的位似变换。我们要找出圆 \( C \) 的像是什么。 圆心变换 ：位似是线性映射（更准确地说，是仿射变换的一种特例）。一个基本性质是： 线段的中点变换为像线段的中点 。由此可推广出，图形的 形心 （如三角形的重心、圆的圆心）的像就是像图形的形心。因此，圆心 \( A \) 的位似像点 \( A' \) 满足： \[ \overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OA} \] \( A' \) 即为像圆的圆心。 半径变换 ：在圆 \( C \) 上任取一点 \( P \)，其位似像为 \( P' \)。由位似定义，有 \( \overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP} \)。由于 \( P \) 在圆上，有 \( AP = R \)。我们需要考察 \( A'P' \) 的长度。 \[ \overrightarrow{A'P'} = \overrightarrow{OP'} - \overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OP} - k \cdot \overrightarrow{OA} = k (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) = k \cdot \overrightarrow{AP} \] 因此，\( A'P' = |k| \cdot AP = |k| \cdot R \)。这个距离与点 \( P \) 在圆上的选择无关。 结论 ：圆 \( C \) 在位似变换下的像，是一个以 \( A' \) 为圆心、半径为 \( R' = |k| \cdot R \) 的圆。 圆经过位似变换后仍然是圆 。 第三步：位似圆的几何关系 原圆与位似像圆之间存在一些重要的几何关系： 圆心共线 ：位似中心 \( O \)、原圆心 \( A \) 和像圆心 \( A' \) 三点共线。这是由变换定义 \( \overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OA} \) 直接得出的。 切线平行 ：过两圆上任意一对 对应点 （即由同一点 \( P \) 变换得到的点 \( P \) 和 \( P' \)）的切线互相平行。这是因为位似变换保持直线的方向不变（直线经位似变换后仍为直线或与其自身平行）。特别地，如果两圆存在公切线，那么这些公切线要么都经过位似中心 \( O \)（如果公切线与圆心连线不平行），要么彼此平行（如果公切线与圆心连线平行）。 位似轴 ：对于两个给定的圆（不一定有直接的位似关系），存在两个位似中心： 外位似中心 和 内位似中心 。外位似中心位于两圆圆心连线的延长线上，且两个圆心在它的同侧，对应的位似比 \( k > 0 \)。内位似中心位于两圆圆心之间，对应的位似比 \( k < 0 \)。这两个位似中心是 根轴 （等幂轴）的极点在圆心连线上的体现，是解决两圆相关几何问题的关键点。 第四步：位似变换的复合与群结构 位似变换的集合在复合运算下构成一个群，称为 位似变换群 。 复合 ：先进行以 \( O_ 1 \) 为中心、系数为 \( k_ 1 \) 的位似变换，再进行以 \( O_ 2 \) 为中心、系数为 \( k_ 2 \) 的位似变换。当 \( k_ 1 k_ 2 \neq 1 \) 时，复合结果仍是一个位似变换，其中心位于直线 \( O_ 1O_ 2 \) 上（可通过计算确定具体位置），系数为 \( k_ 1 k_ 2 \)。 恒等变换 ：当 \( k = 1 \) 时，位似变换就是恒等变换。 逆变换 ：以 \( O \) 为中心、系数为 \( k \) 的位似变换，其逆变换是以 \( O \) 为中心、系数为 \( 1/k \) 的位似变换。 位似变换是 相似变换 的一种特例（相似变换是位似变换与旋转、平移、反射的复合）。圆在所有相似变换下都变为圆，这是圆的一个重要几何特性。 总结 ： 圆的位似变换是一种以固定点为中心、按固定比例缩放图形（包括距离和面积）的变换。它将一个圆变换为另一个圆，且两圆圆心与位似中心共线，半径比等于位似比的绝对值。理解位似是理解圆的相似性、幂定理、根轴以及更复杂几何问题（如阿波罗尼奥斯问题）的重要基础。