卡茨-穆迪代数的根系、权格与邓金图
字数 6743 2025-12-17 17:10:31

卡茨-穆迪代数的根系、权格与邓金图

好的，我们开始学习一个新的数论相关词条。这次我们将从代数结构的角度，深入探讨“卡茨-穆迪代数的根系、权格与邓金图”。这个概念连接了李代数、组合数学和表示论，是理解无限维对称性及其在数论（如自守形式和可积系统）中应用的基础。

步骤 1：回顾与动机——从有限维李代数到无限维推广

首先，我们需要一个参照物。你应该熟悉复数域上的有限维单李代数（如 \(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})\)）。其核心结构由以下几步描述：

  1. 嘉当子代数：选取一个极大交换子代数 \(\mathfrak{h}\)，称为嘉当子代数。它的元素是“可对角的”。
  2. 根空间分解：整个李代数可以表示为 \(\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Delta} \mathfrak{g}_{\alpha}\)。
  • \(\mathfrak{h}\) 是零根空间。
  • \(\mathfrak{g}_{\alpha}\) 是根空间，对应一个根 \(\alpha \in \mathfrak{h}^*\)（\(\mathfrak{h}\) 上的线性函数）。它满足对任意 \(h \in \mathfrak{h}, x \in \mathfrak{g}_{\alpha}\)，有 \([h, x] = \alpha(h) x\)。
  • \(\Delta\) 是根系，是有限个非零根组成的集合。
  1. 根系的性质：有限维单李代数的根系具有非常完美的结构：
  • 可以选取一组单根 \(\Pi = \{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\)，它们是线性无关的。
    • 任何根都可以表示为单根的整数线性组合，且系数要么全部非负（正根），要么全部非正（负根）。
  • 单根之间的夹角和长度比受到严格限制，这完全由嘉当矩阵 \(A = (a_{ij})\) 刻画，其中 \(a_{ij} = 2\frac{(\alpha_i, \alpha_j)}{(\alpha_j, \alpha_j)}\)。嘉当矩阵的元素是整数。

维克多·卡茨和罗伯特·穆迪的关键思想是：把这个构造过程反过来，并推广。他们从一组生成元和满足类似于嘉当矩阵条件的交换关系出发，来定义一类新的李代数。这允许嘉当矩阵不再对应一个正定或半正定的双线性型，从而产生了无限维的李代数，即卡茨-穆迪代数。

步骤 2：核心定义——嘉当矩阵与卡茨-穆迪代数的生成关系

我们来精确地定义出发点。

  • 广义嘉当矩阵：设 \(I\) 为一个有限指标集（例如 \(I = \{1, 2, \dots, n\}\)）。一个广义嘉当矩阵 \(A = (a_{ij})_{i,j \in I}\) 是一个整数矩阵，满足：
  1. \(a_{ii} = 2\) 对所有 \(i \in I\)。
  2. 对于 \(i \neq j\)，有 \(a_{ij} \leq 0\)。
  3. \(a_{ij} = 0\) 当且仅当 \(a_{ji} = 0\)。
    注意：这里我们没有要求 \(A\) 是正定的。如果 \(A\) 是正定的，我们得到的就是有限的单李代数。如果 \(A\) 是半正定但非正定的，我们得到的是仿射李代数（一类重要的无限维代数）。如果 \(A\) 是不定的，得到的就是更一般的卡茨-穆迪代数。
  • 卡茨-穆迪代数的定义（通过生成元和关系）：给定一个广义嘉当矩阵 \(A\)，相应的卡茨-穆迪代数 \(\mathfrak{g}(A)\) 是由一组生成元 \(\{e_i, f_i, h_i\}_{i \in I}\) 和满足以下关系的自由李代数模掉这些关系得到的：
  1. \([h_i, h_j] = 0\)。
  2. \([h_i, e_j] = a_{ij} e_j\)， \([h_i, f_j] = -a_{ij} f_j\)。
  3. \([e_i, f_j] = \delta_{ij} h_i\) （克罗内克δ）。
  4. （Serre关系）当 \(i \neq j\) 时：\(\text{ad}(e_i)^{1-a_{ij}} (e_j) = 0\)， \(\text{ad}(f_i)^{1-a_{ij}} (f_j) = 0\)。
    其中 \(\text{ad}(x)(y) = [x, y]\)。

理解：这里的 \(h_i\) 对应于嘉当子代数的生成元，\(e_i\) 和 \(f_i\) 分别对应“上升算符”和“下降算符”。Serre关系确保了代数的“大小”是受控的。广义嘉当矩阵 \(A\) 完全编码了这些生成元之间的基本对易关系。

步骤 3：根系的结构——实根与虚根

对于一个卡茨-穆迪代数 \(\mathfrak{g}(A)\)，我们可以像有限维情形一样定义根系，但情况变得丰富得多。

  • 根格与单根：令 \(Q = \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z} \alpha_i\) 为由形式符号 \(\{\alpha_i\}_{i \in I}\) 生成的自由阿贝尔群，称为根格。这些 \(\alpha_i\) 被称为单根。我们在 \(Q\) 上可以定义一个自然的配对，使得 \(\langle h_i, \alpha_j \rangle = a_{ij}\)。
  • 正根与负根：定义 \(Q_+ = \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}_{\geq 0} \alpha_i\)。根系 \(\Delta\) 是 \(Q\) 的一个子集，满足 \(\Delta = \Delta^+ \cup \Delta^-\)，其中 \(\Delta^+\)（正根）是 \(Q_+ \setminus \{0\}\) 的一个子集，\(\Delta^- = -\Delta^+\)。
  • 实根与虚根：这是无限维情形的关键新特征。一个根 \(\alpha \in \Delta\) 被称为：
  • 实根：如果存在一个在韦尔群（由关于单根超平面的反射生成的群）作用下的元素 \(w\)，使得 \(w(\alpha)\) 是某个单根。实根具有正的内积 \((\alpha, \alpha) > 0\)。
  • 虚根：如果不是实根。虚根满足 \((\alpha, \alpha) \leq 0\)。特别是，存在零根（即满足 \((\alpha, \alpha) = 0\) 的根），这在有限维情形是不会出现的。

例子：在仿射李代数 \(\widehat{\mathfrak{sl}}_2\) 中，除了无穷多个类似有限维 \(\mathfrak{sl}_2\) 的实根（长度为正）外，还有形如 \(n\delta\) （\(n\) 为非零整数）的根，其中 \(\delta\) 是一个基本零根，满足 \((\delta, \delta)=0\)。这些 \(n\delta\) 就是虚根。虚根的重数（对应根空间的维数）可以大于1，这是另一个与有限维截然不同的性质。

步骤 4：权格与支配整权

根系描述了李代数本身的结构。为了研究它的表示（即李代数如何作用在一个线性空间上），我们需要权的概念。

  • 权格：定义权格 \(P = \{\lambda \in \mathfrak{h}^* \ |\ \langle h_i, \lambda \rangle \in \mathbb{Z}, \ \forall i \in I \}\)。
  • 这里 \(\mathfrak{h}\) 是由 \(\{h_i\}\) 张成的嘉当子代数，\(\mathfrak{h}^*\) 是其对偶空间。
  • 条件 \(\langle h_i, \lambda \rangle \in \mathbb{Z}\) 是“整性”条件。
  • 基本权：对于每个 \(i \in I\)，定义基本权 \(\Lambda_i \in P\) 满足 \(\langle h_j, \Lambda_i \rangle = \delta_{ij}\)。
  • 支配整权：一个权 \(\lambda \in P\) 称为支配整权，如果对于所有 \(i\)，有 \(\langle h_i, \lambda \rangle \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)。也就是说，它可以非负整数系数表示为基本权的和：\(\lambda = \sum_{i} c_i \Lambda_i, \ c_i \geq 0\)。
  • 最高权表示：在表示论中，最高权表示由一个支配整权 \(\lambda\) 唯一决定（在不可约的意义下）。这个权 \(\lambda\) 决定了表示的“最重”状态，其他状态（权）都可以通过下降算符 \(f_i\) 作用得到，它们形如 \(\lambda - \sum_i k_i \alpha_i\)，其中 \(k_i\) 是非负整数。

理解：权格 \(P\) 比根格 \(Q\) “更大”。单根 \(\alpha_i\) 和基本权 \(\Lambda_j\) 通过嘉当矩阵联系：\(\langle h_i, \alpha_j \rangle = a_{ij}\)，而 \(\langle h_i, \Lambda_j \rangle = \delta_{ij}\)。在有限维情形，支配整权参数化了所有有限维不可约表示。在无限维情形（如可积的最高权表示），支配整权同样扮演核心角色。

步骤 5：邓金图——根系信息的图形化编码

广义嘉当矩阵 \(A\) 包含所有信息，但用图形表示更为直观。这个图形就是邓金图。

  • 作图规则：
  1. 对每个指标 \(i \in I\)（即矩阵的每一行/列），画一个顶点。
  2. 连接顶点 \(i\) 和 \(j\) (\(i \neq j\))：
  • 如果 \(a_{ij}a_{ji} \leq 4\)，则在两顶点间画 \(\max(|a_{ij}|, |a_{ji}|)\) 条边。
  • 如果 \(|a_{ij}| > |a_{ji}|\)，在这些边上画一个箭头指向 \(i\)。
    （更常见的规则是：如果 \(a_{ij}a_{ji} > 4\)，则画一条粗边或双线，但在标准分类中，我们主要关注 \(a_{ij}a_{ji} \leq 4\) 的情况）。
  1. 等价地，边的数量由 \(a_{ij}a_{ji}\) 的值决定：0条边对应0，1条边对应1，2条边对应2，3条边对应3。箭头指向较短的根（即对应 \(|a_{ij}|\) 较小的方向，这意味着 \(\alpha_i\) 更长）。
  • 邓金图的类型：
    • 有限型：邓金图是有限单李代数的图（A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2）。对应的广义嘉当矩阵是正定的。
  • 仿射型：在有限型图的基础上添加一个顶点得到。对应的广义嘉当矩阵是半正定、秩亏1的。这是最重要的无限维类型之一，例如 \(\widehat{A}_n, \widehat{B}_n, \ldots\)。
    • 不定型：既不是有限型也不是仿射型。其对应的嘉当矩阵是不定的，根系行为更复杂。

例子：

  • \(A_2\) （对应 \(\mathfrak{sl}_3\)）：两个顶点，用一条单边连接。无箭头。
  • \(B_2\) （对应 \(\mathfrak{so}_5\)）：两个顶点，用两条边连接，箭头从长根指向短根（即从度较大的顶点指向度较小的顶点，这里“度”指连接到另一顶点的边数，在B2中，一个顶点有两条边连接到对方，另一个顶点有一条边连接到对方，但通常我们画为一条双线边，箭头指向连接边数少的顶点，更准确说是用一条单边加箭头表示，但常见画法是：顶点1—(双线，箭头指向顶点2)—顶点2，意味着从1到2是短根到长根？需要小心，实际上标准B2图是：顶点o—>=<—顶点o，箭头指向边少的顶点，意味着从有双线连接的顶点指向有单线连接的顶点，这表示前者的根长较短。在标准记法中，B2的邓金图是O=<=O，其中=表示双线，<表示箭头方向）。
    更清晰的表述：对于 \(a_{12}a_{21} = 1 \times 2 = 2\)，画两条边，箭头指向 \(i\) 如果 \(|a_{ij}|=1\)（即根较短的方向）。在B2中，通常设 \(a_{12} = -2, a_{21} = -1\)，所以 \(\alpha_1\) 是长根，\(\alpha_2\) 是短根。边数= \(\max(2,1)=2\) 条，因为 \(|a_{12}|>|a_{21}|\)，箭头指向 \(i=1\)（即从顶点2指向顶点1），表示 \(\alpha_1\) 是长根。
  • \(\widehat{A}_1\) （仿射 \(\widehat{\mathfrak{sl}}_2\)）：两个顶点，用两条边连接（但无箭头？这里要注意，仿射A1的嘉当矩阵是 \(\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -2 & 2\end{pmatrix}\)，此时 \(a_{12}a_{21}=4\)，按照规则应画两条边，但由于 \(|a_{12}|=|a_{21}|\)，故无需箭头，但更常见的画法是画一个圈，即两个顶点用两条边连接，形成一个“双圈”或视为一条双线。实际上标准仿射A1的邓金图是一个两个顶点的图，中间是两条线，但常被画成一条双线边，并标记数字2，表示是双倍连接。准确说是：顶点O====顶点O，其中====表示双线边）。

邓金图让我们一眼就能看出代数的许多性质，比如它是有限的、仿射的还是不定的，以及其韦尔群是否是有限的。

步骤 6：总结与联系

现在，让我们将这几个核心概念串联起来：

  1. 数据链：广义嘉当矩阵 \(A\) 是最原始的数据。它唯一地决定了：
  • 李代数本身 \(\mathfrak{g}(A)\) 的生成关系。
  • 根系 \(\Delta\) 的抽象结构（通过根格 \(Q\) 和单根 \(\alpha_i\)），包括其实根和虚根的划分。
  • 权格 \(P\) 和基本权 \(\Lambda_i\)。
  • 邓金图，即矩阵 \(A\) 的图形表示。

  1. 逻辑关系：在表示论中，我们通常从邓金图或嘉当矩阵出发。根系描述了李代数内部的“对称性”结构（根向量是伴随作用下的“升降算符”）。权格则用于分类李代数的表示，特别是最高权表示。一个支配整权 \(\lambda\) 对应一个最高权模 \(V(\lambda)\)，这个模可以分解为权空间的直和，这些权都属于 \(\lambda - Q_+\)。

  2. 与数论的联系：卡茨-穆迪代数，特别是其中的仿射李代数，在数论和数学物理中无处不在。

    • 模形式与顶点算子代数：仿射李代数在级点处的表示与模形式有深刻联系。具体来说，仿射李代数的特征标（权空间维数的生成函数）往往是模形式。
    • 可积系统与孤子方程：卡茨-穆迪代数的对称性是许多可积偏微分方程（如KdV方程）的对称性代数，这些方程也与数论中的τ函数等相关。
    • 朗兰兹纲领：在几何朗兰兹纲领中，仿射李代数的表示扮演着核心角色，连接了自守形式和代数几何中的层论。

因此，理解卡茨-穆迪代数的根系、权格和邓金图，是进入这一广阔数学领域，并洞察其与数论深层联系的关键第一步。它们提供了将无限维对称性的复杂代数数据，转化为相对直观的矩阵和图形语言的有力工具。

卡茨-穆迪代数的根系、权格与邓金图 好的，我们开始学习一个新的数论相关词条。这次我们将从代数结构的角度，深入探讨“卡茨-穆迪代数的根系、权格与邓金图”。这个概念连接了李代数、组合数学和表示论，是理解无限维对称性及其在数论（如自守形式和可积系统）中应用的基础。 步骤 1：回顾与动机——从有限维李代数到无限维推广 首先，我们需要一个参照物。你应该熟悉复数域上的 有限维单李代数 （如 \( \mathfrak{sl}_ n(\mathbb{C}) \)）。其核心结构由以下几步描述： 嘉当子代数 ：选取一个极大交换子代数 \( \mathfrak{h} \)，称为嘉当子代数。它的元素是“可对角的”。 根空间分解 ：整个李代数可以表示为 \( \mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_ {\alpha \in \Delta} \mathfrak{g}_ {\alpha} \)。 \( \mathfrak{h} \) 是零根空间。 \( \mathfrak{g} {\alpha} \) 是 根空间 ，对应一个 根 \( \alpha \in \mathfrak{h}^* \)（\( \mathfrak{h} \) 上的线性函数）。它满足对任意 \( h \in \mathfrak{h}, x \in \mathfrak{g} {\alpha} \)，有 \( [ h, x ] = \alpha(h) x \)。 \( \Delta \) 是 根系 ，是有限个非零根组成的集合。 根系的性质 ：有限维单李代数的根系具有非常完美的结构： 可以选取一组 单根 \( \Pi = \{\alpha_ 1, \dots, \alpha_ r\} \)，它们是线性无关的。 任何根都可以表示为单根的 整数 线性组合，且系数要么全部非负（正根），要么全部非正（负根）。 单根之间的夹角和长度比受到严格限制，这完全由 嘉当矩阵 \( A = (a_ {ij}) \) 刻画，其中 \( a_ {ij} = 2\frac{(\alpha_ i, \alpha_ j)}{(\alpha_ j, \alpha_ j)} \)。嘉当矩阵的元素是整数。 维克多·卡茨和罗伯特·穆迪的关键思想是： 把这个构造过程反过来，并推广 。他们从一组生成元和满足类似于嘉当矩阵条件的交换关系出发，来定义一类新的李代数。这允许嘉当矩阵不再对应一个正定或半正定的双线性型，从而产生了无限维的李代数，即 卡茨-穆迪代数 。 步骤 2：核心定义——嘉当矩阵与卡茨-穆迪代数的生成关系 我们来精确地定义出发点。 广义嘉当矩阵 ：设 \( I \) 为一个有限指标集（例如 \( I = \{1, 2, \dots, n\} \)）。一个 广义嘉当矩阵 \( A = (a_ {ij})_ {i,j \in I} \) 是一个整数矩阵，满足： \( a_ {ii} = 2 \) 对所有 \( i \in I \)。 对于 \( i \neq j \)，有 \( a_ {ij} \leq 0 \)。 \( a_ {ij} = 0 \) 当且仅当 \( a_ {ji} = 0 \)。 注意 ：这里我们没有要求 \( A \) 是正定的。如果 \( A \) 是正定的，我们得到的就是有限的单李代数。如果 \( A \) 是半正定但非正定的，我们得到的是 仿射李代数 （一类重要的无限维代数）。如果 \( A \) 是不定的，得到的就是更一般的卡茨-穆迪代数。 卡茨-穆迪代数的定义（通过生成元和关系） ：给定一个广义嘉当矩阵 \( A \)，相应的 卡茨-穆迪代数 \( \mathfrak{g}(A) \) 是由一组生成元 \( \{e_ i, f_ i, h_ i\}_ {i \in I} \) 和满足以下关系的自由李代数模掉这些关系得到的： \( [ h_ i, h_ j ] = 0 \)。 \( [ h_ i, e_ j] = a_ {ij} e_ j \)， \( [ h_ i, f_ j] = -a_ {ij} f_ j \)。 \( [ e_ i, f_ j] = \delta_ {ij} h_ i \) （克罗内克δ）。 （Serre关系）当 \( i \neq j \) 时：\( \text{ad}(e_ i)^{1-a_ {ij}} (e_ j) = 0 \)， \( \text{ad}(f_ i)^{1-a_ {ij}} (f_ j) = 0 \)。 其中 \( \text{ad}(x)(y) = [ x, y ] \)。 理解 ：这里的 \( h_ i \) 对应于嘉当子代数的生成元，\( e_ i \) 和 \( f_ i \) 分别对应“上升算符”和“下降算符”。Serre关系确保了代数的“大小”是受控的。广义嘉当矩阵 \( A \) 完全编码了这些生成元之间的基本对易关系。 步骤 3：根系的结构——实根与虚根 对于一个卡茨-穆迪代数 \( \mathfrak{g}(A) \)，我们可以像有限维情形一样定义根系，但情况变得丰富得多。 根格与单根 ：令 \( Q = \bigoplus_ {i \in I} \mathbb{Z} \alpha_ i \) 为由形式符号 \( \{\alpha_ i\} {i \in I} \) 生成的自由阿贝尔群，称为 根格 。这些 \( \alpha_ i \) 被称为 单根 。我们在 \( Q \) 上可以定义一个自然的配对，使得 \( \langle h_ i, \alpha_ j \rangle = a {ij} \)。 正根与负根 ：定义 \( Q_ + = \bigoplus_ {i \in I} \mathbb{Z} {\geq 0} \alpha_ i \)。 根系 \( \Delta \) 是 \( Q \) 的一个子集，满足 \( \Delta = \Delta^+ \cup \Delta^- \)，其中 \( \Delta^+ \)（正根）是 \( Q + \setminus \{0\} \) 的一个子集，\( \Delta^- = -\Delta^+ \)。 实根与虚根 ：这是无限维情形的关键新特征。一个根 \( \alpha \in \Delta \) 被称为： 实根 ：如果存在一个在 韦尔群 （由关于单根超平面的反射生成的群）作用下的元素 \( w \)，使得 \( w(\alpha) \) 是某个单根。实根具有正的内积 \( (\alpha, \alpha) > 0 \)。 虚根 ：如果不是实根。虚根满足 \( (\alpha, \alpha) \leq 0 \)。特别是，存在 零根 （即满足 \( (\alpha, \alpha) = 0 \) 的根），这在有限维情形是不会出现的。 例子 ：在仿射李代数 \( \widehat{\mathfrak{sl}}_ 2 \) 中，除了无穷多个类似有限维 \( \mathfrak{sl}_ 2 \) 的实根（长度为正）外，还有形如 \( n\delta \) （\( n \) 为非零整数）的根，其中 \( \delta \) 是一个 基本零根 ，满足 \( (\delta, \delta)=0 \)。这些 \( n\delta \) 就是虚根。虚根的重数（对应根空间的维数）可以大于1，这是另一个与有限维截然不同的性质。 步骤 4：权格与支配整权 根系描述了李代数本身的结构。为了研究它的表示（即李代数如何作用在一个线性空间上），我们需要 权 的概念。 权格 ：定义 权格 \( P = \{\lambda \in \mathfrak{h}^* \ |\ \langle h_ i, \lambda \rangle \in \mathbb{Z}, \ \forall i \in I \} \)。 这里 \( \mathfrak{h} \) 是由 \( \{h_ i\} \) 张成的嘉当子代数，\( \mathfrak{h}^* \) 是其对偶空间。 条件 \( \langle h_ i, \lambda \rangle \in \mathbb{Z} \) 是“整性”条件。 基本权 ：对于每个 \( i \in I \)，定义 基本权 \( \Lambda_ i \in P \) 满足 \( \langle h_ j, \Lambda_ i \rangle = \delta_ {ij} \)。 支配整权 ：一个权 \( \lambda \in P \) 称为 支配整权 ，如果对于所有 \( i \)，有 \( \langle h_ i, \lambda \rangle \in \mathbb{Z} {\geq 0} \)。也就是说，它可以非负整数系数表示为基本权的和：\( \lambda = \sum {i} c_ i \Lambda_ i, \ c_ i \geq 0 \)。 最高权表示 ：在表示论中， 最高权表示 由一个支配整权 \( \lambda \) 唯一决定（在不可约的意义下）。这个权 \( \lambda \) 决定了表示的“最重”状态，其他状态（权）都可以通过下降算符 \( f_ i \) 作用得到，它们形如 \( \lambda - \sum_ i k_ i \alpha_ i \)，其中 \( k_ i \) 是非负整数。 理解 ：权格 \( P \) 比根格 \( Q \) “更大”。单根 \( \alpha_ i \) 和基本权 \( \Lambda_ j \) 通过嘉当矩阵联系：\( \langle h_ i, \alpha_ j \rangle = a_ {ij} \)，而 \( \langle h_ i, \Lambda_ j \rangle = \delta_ {ij} \)。在有限维情形，支配整权参数化了所有有限维不可约表示。在无限维情形（如可积的最高权表示），支配整权同样扮演核心角色。 步骤 5：邓金图——根系信息的图形化编码 广义嘉当矩阵 \( A \) 包含所有信息，但用图形表示更为直观。这个图形就是 邓金图 。 作图规则 ： 对每个指标 \( i \in I \)（即矩阵的每一行/列），画一个顶点。 连接顶点 \( i \) 和 \( j \) (\( i \neq j \))： 如果 \( a_ {ij}a_ {ji} \leq 4 \)，则在两顶点间画 \( \max(|a_ {ij}|, |a_ {ji}|) \) 条边。 如果 \( |a_ {ij}| > |a_ {ji}| \)，在这些边上画一个箭头指向 \( i \)。 （更常见的规则是：如果 \( a_ {ij}a_ {ji} > 4 \)，则画一条粗边或双线，但在标准分类中，我们主要关注 \( a_ {ij}a_ {ji} \leq 4 \) 的情况）。 等价地，边的数量由 \( a_ {ij}a_ {ji} \) 的值决定：0条边对应0，1条边对应1，2条边对应2，3条边对应3。箭头指向较短的根（即对应 \( |a_ {ij}| \) 较小的方向，这意味着 \( \alpha_ i \) 更长）。 邓金图的类型 ： 有限型 ：邓金图是有限单李代数的图（A_ n, B_ n, C_ n, D_ n, E_ 6, E_ 7, E_ 8, F_ 4, G_ 2）。对应的广义嘉当矩阵是正定的。 仿射型 ：在有限型图的基础上添加一个顶点得到。对应的广义嘉当矩阵是半正定、秩亏1的。这是最重要的无限维类型之一，例如 \( \widehat{A}_ n, \widehat{B}_ n, \ldots \)。 不定型 ：既不是有限型也不是仿射型。其对应的嘉当矩阵是不定的，根系行为更复杂。 例子 ： \( A_ 2 \) （对应 \( \mathfrak{sl}_ 3 \)）：两个顶点，用一条单边连接。无箭头。 \( B_ 2 \) （对应 \( \mathfrak{so} 5 \)）：两个顶点，用两条边连接，箭头从长根指向短根（即从度较大的顶点指向度较小的顶点，这里“度”指连接到另一顶点的边数，在B2中，一个顶点有两条边连接到对方，另一个顶点有一条边连接到对方，但通常我们画为一条双线边，箭头指向连接边数少的顶点，更准确说是用一条单边加箭头表示，但常见画法是：顶点1—(双线，箭头指向顶点2)—顶点2，意味着从1到2是短根到长根？需要小心，实际上标准B2图是：顶点o—>=<—顶点o，箭头指向边少的顶点，意味着从有双线连接的顶点指向有单线连接的顶点，这表示前者的根长较短。在标准记法中，B2的邓金图是 O=<=O ，其中 = 表示双线， < 表示箭头方向）。 更清晰的表述：对于 \( a {12}a_ {21} = 1 \times 2 = 2 \)，画两条边，箭头指向 \( i \) 如果 \( |a_ {ij}|=1 \)（即根较短的方向）。在B2中，通常设 \( a_ {12} = -2, a_ {21} = -1 \)，所以 \( \alpha_ 1 \) 是长根，\( \alpha_ 2 \) 是短根。边数= \( \max(2,1)=2 \) 条，因为 \( |a_ {12}|>|a_ {21}| \)，箭头指向 \( i=1 \)（即从顶点2指向顶点1），表示 \( \alpha_ 1 \) 是长根。 \( \widehat{A} 1 \) （仿射 \( \widehat{\mathfrak{sl}} 2 \)）：两个顶点，用两条边连接（但无箭头？这里要注意，仿射A1的嘉当矩阵是 \( \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -2 & 2\end{pmatrix} \)，此时 \( a {12}a {21}=4 \)，按照规则应画两条边，但由于 \( |a_ {12}|=|a_ {21}| \)，故无需箭头，但更常见的画法是画一个圈，即两个顶点用两条边连接，形成一个“双圈”或视为一条双线。实际上标准仿射A1的邓金图是一个两个顶点的图，中间是两条线，但常被画成一条双线边，并标记数字2，表示是双倍连接。准确说是：顶点O====顶点O，其中 ==== 表示双线边）。 邓金图让我们一眼就能看出代数的许多性质，比如它是有限的、仿射的还是不定的，以及其韦尔群是否是有限的。 步骤 6：总结与联系 现在，让我们将这几个核心概念串联起来： 数据链 ： 广义嘉当矩阵 \( A \) 是 最原始的数据 。它唯一地决定了： 李代数本身 \( \mathfrak{g}(A) \) 的生成关系。 根系 \( \Delta \) 的抽象结构（通过根格 \( Q \) 和单根 \( \alpha_ i \)），包括其实根和虚根的划分。 权格 \( P \) 和 基本权 \( \Lambda_ i \) 。 邓金图 ，即矩阵 \( A \) 的图形表示。 逻辑关系 ：在表示论中，我们通常从邓金图或嘉当矩阵出发。根系描述了李代数内部的“对称性”结构（根向量是伴随作用下的“升降算符”）。权格则用于分类李代数的表示，特别是最高权表示。一个 支配整权 \( \lambda \) 对应一个最高权模 \( V(\lambda) \)，这个模可以分解为权空间的直和，这些权都属于 \( \lambda - Q_ + \)。 与数论的联系 ：卡茨-穆迪代数，特别是其中的 仿射李代数 ，在数论和数学物理中无处不在。 模形式与顶点算子代数 ：仿射李代数在级点处的表示与 模形式 有深刻联系。具体来说，仿射李代数的特征标（权空间维数的生成函数）往往是模形式。 可积系统与孤子方程 ：卡茨-穆迪代数的对称性是许多可积偏微分方程（如KdV方程）的对称性代数，这些方程也与数论中的τ函数等相关。 朗兰兹纲领 ：在几何朗兰兹纲领中，仿射李代数的表示扮演着核心角色，连接了自守形式和代数几何中的层论。 因此，理解卡茨-穆迪代数的根系、权格和邓金图，是进入这一广阔数学领域，并洞察其与数论深层联系的关键第一步。它们提供了将无限维对称性的复杂代数数据，转化为相对直观的矩阵和图形语言的有力工具。