二次型的希尔伯特符号（Hilbert Symbol for Quadratic Forms）

字数 3635 2025-12-17 15:08:02

二次型的希尔伯特符号（Hilbert Symbol for Quadratic Forms）

好的，我们开始一个关于“二次型的希尔伯特符号”的词条讲解。这是一个在数论，特别是二次型理论和局部域理论中非常重要的工具。我将为你循序渐进、细致准确地展开。

第一步：从“符号”的直观需求引入

首先，让我们思考一个基本问题：给定一个数域（如有理数域ℚ）上的一个二次型，比如一个简单的二元二次方程 \(ax^2 + by^2 = 0\)（其中 \(a, b\) 是有理数），我们想知道它在有理数域ℚ上是否存在非零的有理解 \((x, y) \neq (0, 0)\)。

这是一个关于“可解性”或“表示零”的问题。如果解存在，我们说这个二次型是“迷向”的。
这个问题比判断一个数是否被表示要更基本。哈塞-闵可夫斯基定理告诉我们，判断一个二次型在ℚ上是否迷向，可以转化为在ℚ的所有“完备化”（即实数域ℝ和所有p-adic数域ℚₚ）上是否都迷向。这就是局部-整体原理在零表示问题上的体现。

为了在每一个局部域（如ℝ或ℚₚ）上判断 \(ax^2 + by^2 = 0\) 是否有非零解，数学家引入了希尔伯特符号。

第二步：希尔伯特符号的初步定义

对于一个局部域 \(K\)（比如 \(K = ℝ\) 或 \(K = ℚ_p\)），以及域中两个非零元素 \(a, b \in K^\times\)，定义它们的希尔伯特符号 \((a, b)_K\) 为：

\[(a, b)_K = \begin{cases} +1, & \text{如果方程 } ax^2 + by^2 = 1 \text{ 在 } K \text{ 中有解 } (x, y) \in K^2, \\ -1, & \text{如果方程 } ax^2 + by^2 = 1 \text{ 在 } K \text{ 中无解}. \end{cases} \]

请注意：这个定义与方程 \(ax^2 + by^2 = 0\) 的迷向性密切相关。事实上，在局部域上，\(ax^2 + by^2 = 0\) 有非零解当且仅当 \(ax^2 + by^2\) 可以表示1（即 \((a, b)_K = 1\)）。因为如果能表示1，通过简单的代数操作（如缩放）可以证明它能表示0（除了平凡解）；反之亦然。所以希尔伯特符号本质上是判定二元二次型 \(ax^2 + by^2\) 是否“万能”（即能表示所有非零元素，或者说它是迷向的）的“探测器”。

第三步：符号的基本性质与计算

希尔伯特符号是“对称”且“双乘性”的。对于任意 \(a, b, c \in K^\times\)，有：

对称性：\((a, b)_K = (b, a)_K\)。
双乘性：在每一个位置上都是乘法运算的“同态”。

\((a, bc)_K = (a, b)_K \cdot (a, c)_K\)
\((ab, c)_K = (a, c)_K \cdot (b, c)_K\)

非退化性：如果对于所有 \(b\) 都有 \((a, b)_K = 1\)，那么 \(a\) 必须是 \(K^\times\) 中的平方元（即存在 \(t \in K\) 使得 \(a = t^2\)）。这表明符号探测了元素是否为平方。
乘积公式：当 \(K = ℚ\) 的局部域时，对任意固定的非零有理数 \(a, b\)，在所有位（所有素数 \(p\) 和无穷远点 \(\infty\) 对应的实数域）上，希尔伯特符号的乘积满足：

\[ \prod_{v} (a, b)_{ℚ_v} = 1 \]

其中 \(v\) 跑遍所有位（包括 \(p\) 和 \(\infty\)）。这是二次互反律的深刻推广和统一表述。

如何计算？

在 \(K = ℝ\) 时：非常简单。\((a, b)_ℝ = 1\) 当且仅当 \(a\) 和 \(b\) 不全是负数。因为如果 \(a>0\) 或 \(b>0\)，显然可以取 \(x\) 或 \(y\) 为0来得到1。如果两者都负，左边恒负，无法等于1。所以 \((a, b)_ℝ = (-1)^{(\text{sign}(a)-1)(\text{sign}(b)-1)/4}\) 的某种形式，但更简单的记忆是“不同时为负”。
在 \(K = ℚ_p\) 时：计算依赖于 \(a, b\) 的p-adic赋值和 mod p 的剩余类。有明确的公式（涉及勒让德符号）。例如，对于奇素数 \(p\) 且 \(a, b\) 是 \(p\) 进单位（即与 \(p\) 互素），有

\[ (a, b)_{ℚ_p} = \left( \frac{a}{p} \right)^{v_p(b)} \left( \frac{b}{p} \right)^{-v_p(a)} \cdot (-1)^{v_p(a)v_p(b) \cdot \frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{a^{v_p(b)}}{b^{v_p(a)}} \mod p \right)^{\frac{p-1}{2}} \text{ 的勒让德符号形式} \]

更常见的是，计算可以分解为更简单的“基本符号” \((p, u)_p\) 和 \((u, v)_p\)（其中 \(u, v\) 是p-adic单位），并由它们通过双乘性组合出来。对于 \(p=2\) 公式更复杂一些，但原理相同。

第四步：推广到一般二次型与哈塞不变量

希尔伯特符号最强大的应用之一，是构造二次型的哈塞不变量（也称为哈塞-闵可夫斯基不变量或哈塞-维特不变量）。

考虑域 \(K\) 上的一个非退化二次型 \(Q\)。我们可以将其对角化为 \(Q \cong \langle a_1, a_2, ..., a_n \rangle\)，表示 \(Q(x) = a_1 x_1^2 + ... + a_n x_n^2\)。
这个二次型的判别式 \(d(Q)\) 定义为系数乘积在 \(K^\times / (K^\times)^2\) 中的类：\(d(Q) = a_1 a_2 ... a_n \mod (K^\times)^2\)。它是一个不依赖于对角化选择的平方类。
它的哈塞不变量（或哈塞-闵可夫斯基不变量） \(c(Q)\) 定义为一个在 2阶循环群 \(\{ \pm 1 \}\) 中取值的量：

\[ c(Q) = \prod_{i < j} (a_i, a_j)_K \]

这里的乘积是在集合 \(\{ \pm 1 \}\) 中的乘法。关键定理：这个定义不依赖于二次型如何对角化，是二次型 \(Q\) 本身的内在不变量。

哈塞不变量的意义：

分类工具：对于局部域 \(K\)，两个二次型等价（即可以通过可逆线性变量替换相互转换）当且仅当它们具有相同的维数、相同的判别式和相同的哈塞不变量。这完成了局部域上二次型的分类。
局部-整体原理的量化：哈塞-闵可夫斯基定理说，一个有理数域上的二次型是迷向的（表示零），当且仅当它在所有局部域（ℝ和各ℚₚ）上是迷向的。哈塞不变量是判断局部迷向性的核心。具体地，在局部域 \(K\) 上，一个二次型 \(Q\) 是迷向的，当且仅当它的维数 \(n \ge 3\)，或者 \(n=2\) 且 \((-1, -d(Q))_K = c(Q)\)。这完全由判别式和哈塞不变量决定。

第五步：与更高次互反律的联系

希尔伯特符号不仅是二次型理论的工具，也是类域论的序曲。其满足的乘积公式：

\[\prod_{v} (a, b)_{ℚ_v} = 1 \]

这是互反律的一种极其简洁和优美的表达。二次互反律（以及其补充定律）可以作为一个特例，从这个乘积公式推导出来。事实上，希尔伯特符号是构建局部互反同态的基础，而后者是现代类域论（通过局部和全局类域论）的核心构件。可以说，希尔伯特符号架起了二次型理论、局部域论和类域论之间的桥梁。

总结：
希尔伯特符号 \((a, b)_K\) 是一个取值 ±1 的函数，它在局部域 \(K\) 上探测二次型 \(ax^2 + by^2\) 的可解性（迷向性）。它具有优美的双乘性和乘积公式。通过构造哈塞不变量，它成为分类局部域上二次型的完整不变量组分之一，并将二次型的局部理论牢牢地确立起来。最终，它的乘积公式以一种统一的方式封装了互反律，指向了更深刻的类域论。理解希尔伯特符号，是理解现代数论中局部-整体方法、二次型分类和高次互反律思想的重要一步。

二次型的希尔伯特符号（Hilbert Symbol for Quadratic Forms）好的，我们开始一个关于“二次型的希尔伯特符号”的词条讲解。这是一个在数论，特别是二次型理论和局部域理论中非常重要的工具。我将为你循序渐进、细致准确地展开。第一步：从“符号”的直观需求引入首先，让我们思考一个基本问题：给定一个数域（如有理数域ℚ）上的一个二次型，比如一个简单的二元二次方程 \( ax^2 + by^2 = 0 \)（其中 \(a, b\) 是有理数），我们想知道它在有理数域ℚ上是否存在非零的有理解 \( (x, y) \neq (0, 0) \)。这是一个关于“可解性”或“表示零”的问题。如果解存在，我们说这个二次型是“ 迷向 ”的。这个问题比判断一个数是否被表示要更基本。哈塞-闵可夫斯基定理告诉我们，判断一个二次型在ℚ上是否迷向，可以转化为在ℚ的所有“完备化”（即实数域ℝ和所有p-adic数域ℚₚ）上是否都迷向。这就是局部-整体原理在零表示问题上的体现。为了在每一个局部域（如ℝ或ℚₚ）上判断 \( ax^2 + by^2 = 0 \) 是否有非零解，数学家引入了希尔伯特符号。第二步：希尔伯特符号的初步定义对于一个局部域 \( K \)（比如 \( K = ℝ \) 或 \( K = ℚ_ p \)），以及域中两个非零元素 \(a, b \in K^\times\)，定义它们的希尔伯特符号 \( (a, b)_ K \) 为： \[ (a, b)_ K = \begin{cases} +1, & \text{如果方程 } ax^2 + by^2 = 1 \text{ 在 } K \text{ 中有解 } (x, y) \in K^2, \\ -1, & \text{如果方程 } ax^2 + by^2 = 1 \text{ 在 } K \text{ 中无解}. \end{cases} \] 请注意：这个定义与方程 \( ax^2 + by^2 = 0 \) 的迷向性密切相关。事实上，在局部域上，\( ax^2 + by^2 = 0 \) 有非零解当且仅当 \( ax^2 + by^2 \) 可以表示1（即 \( (a, b)_ K = 1 \)）。因为如果能表示1，通过简单的代数操作（如缩放）可以证明它能表示0（除了平凡解）；反之亦然。所以希尔伯特符号本质上是判定二元二次型 \( ax^2 + by^2 \) 是否“万能”（即能表示所有非零元素，或者说它是迷向的）的“探测器” 。第三步：符号的基本性质与计算希尔伯特符号是“对称”且“双乘性”的。对于任意 \(a, b, c \in K^\times\)，有：对称性：\( (a, b)_ K = (b, a)_ K \)。双乘性：在每一个位置上都是乘法运算的“同态”。 \( (a, bc)_ K = (a, b)_ K \cdot (a, c)_ K \) \( (ab, c)_ K = (a, c)_ K \cdot (b, c)_ K \) 非退化性：如果对于所有 \(b\) 都有 \( (a, b)_ K = 1 \)，那么 \(a\) 必须是 \(K^\times\) 中的平方元（即存在 \(t \in K\) 使得 \(a = t^2\)）。这表明符号探测了元素是否为平方。乘积公式：当 \(K = ℚ\) 的局部域时，对任意固定的非零有理数 \(a, b\)，在所有位（所有素数 \(p\) 和无穷远点 \(\infty\) 对应的实数域）上，希尔伯特符号的乘积满足： \[ \prod_ {v} (a, b)_ {ℚ_ v} = 1 \] 其中 \(v\) 跑遍所有位（包括 \(p\) 和 \(\infty\)）。这是二次互反律的深刻推广和统一表述。如何计算？在 \(K = ℝ\) 时：非常简单。\( (a, b)_ ℝ = 1 \) 当且仅当 \(a\) 和 \(b\) 不全是负数。因为如果 \(a>0\) 或 \(b>0\)，显然可以取 \(x\) 或 \(y\) 为0来得到1。如果两者都负，左边恒负，无法等于1。所以 \( (a, b)_ ℝ = (-1)^{(\text{sign}(a)-1)(\text{sign}(b)-1)/4} \) 的某种形式，但更简单的记忆是“不同时为负”。在 \(K = ℚ_ p\) 时：计算依赖于 \(a, b\) 的p-adic赋值和 mod p 的剩余类。有明确的公式（涉及勒让德符号）。例如，对于奇素数 \(p\) 且 \(a, b\) 是 \(p\) 进单位（即与 \(p\) 互素），有 \[ (a, b)_ {ℚ_ p} = \left( \frac{a}{p} \right)^{v_ p(b)} \left( \frac{b}{p} \right)^{-v_ p(a)} \cdot (-1)^{v_ p(a)v_ p(b) \cdot \frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{a^{v_ p(b)}}{b^{v_ p(a)}} \mod p \right)^{\frac{p-1}{2}} \text{ 的勒让德符号形式} \] 更常见的是，计算可以分解为更简单的“基本符号” \( (p, u)_ p \) 和 \( (u, v)_ p \)（其中 \(u, v\) 是p-adic单位），并由它们通过双乘性组合出来。对于 \(p=2\) 公式更复杂一些，但原理相同。第四步：推广到一般二次型与哈塞不变量希尔伯特符号最强大的应用之一，是构造二次型的哈塞不变量（也称为哈塞-闵可夫斯基不变量或哈塞-维特不变量）。考虑域 \(K\) 上的一个非退化二次型 \(Q\)。我们可以将其对角化为 \(Q \cong \langle a_ 1, a_ 2, ..., a_ n \rangle\)，表示 \(Q(x) = a_ 1 x_ 1^2 + ... + a_ n x_ n^2\)。这个二次型的判别式 \(d(Q)\) 定义为系数乘积在 \(K^\times / (K^\times)^2\) 中的类：\(d(Q) = a_ 1 a_ 2 ... a_ n \mod (K^\times)^2\)。它是一个不依赖于对角化选择的平方类。它的哈塞不变量（或哈塞-闵可夫斯基不变量） \(c(Q)\) 定义为一个在 2阶循环群 \(\{ \pm 1 \}\) 中取值的量： \[ c(Q) = \prod_ {i < j} (a_ i, a_ j)_ K \] 这里的乘积是在集合 \(\{ \pm 1 \}\) 中的乘法。关键定理：这个定义不依赖于二次型如何对角化，是二次型 \(Q\) 本身的内在不变量。哈塞不变量的意义：分类工具：对于局部域 \(K\)，两个二次型等价（即可以通过可逆线性变量替换相互转换）当且仅当它们具有相同的维数、相同的判别式和相同的哈塞不变量。这完成了局部域上二次型的分类。局部-整体原理的量化：哈塞-闵可夫斯基定理说，一个有理数域上的二次型是迷向的（表示零），当且仅当它在所有局部域（ℝ和各ℚₚ）上是迷向的。哈塞不变量是判断局部迷向性的核心。具体地，在局部域 \(K\) 上，一个二次型 \(Q\) 是迷向的，当且仅当它的维数 \(n \ge 3\)，或者 \(n=2\) 且 \((-1, -d(Q))_ K = c(Q)\)。这完全由判别式和哈塞不变量决定。第五步：与更高次互反律的联系希尔伯特符号不仅是二次型理论的工具，也是类域论的序曲。其满足的乘积公式： \[ \prod_ {v} (a, b)_ {ℚ_ v} = 1 \] 这是互反律的一种极其简洁和优美的表达。二次互反律（以及其补充定律）可以作为一个特例，从这个乘积公式推导出来。事实上，希尔伯特符号是构建局部互反同态的基础，而后者是现代类域论（通过局部和全局类域论）的核心构件。可以说，希尔伯特符号架起了二次型理论、局部域论和类域论之间的桥梁。总结：希尔伯特符号 \((a, b)_ K\) 是一个取值 ±1 的函数，它在局部域 \(K\) 上探测二次型 \(ax^2 + by^2\) 的可解性（迷向性）。它具有优美的双乘性和乘积公式。通过构造哈塞不变量，它成为分类局部域上二次型的完整不变量组分之一，并将二次型的局部理论牢牢地确立起来。最终，它的乘积公式以一种统一的方式封装了互反律，指向了更深刻的类域论。理解希尔伯特符号，是理解现代数论中局部-整体方法、二次型分类和高次互反律思想的重要一步。