模的范畴等价

字数 2534 2025-12-17 14:40:18

模的范畴等价

1. 范畴的基本概念回顾
首先，我们需要明确“范畴”的定义。一个范畴 \(\mathcal{C}\) 由以下组成：

一类对象 \(\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\)；
对任意两个对象 \(X, Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\)，有一个态射集合 \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\)；
态射的复合运算：对 \(f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\) 和 \(g \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z)\)，存在 \(g \circ f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z)\)，满足结合律；
每个对象 \(X\) 有一个恒等态射 \(\mathrm{id}_X \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, X)\)。
在模论中，我们常考虑模范畴：设 \(R\) 是一个环，则所有左 \(R\)-模与模同态构成范畴 \(R\text{-}\mathrm{Mod}\)。

2. 函子与自然变换
两个范畴 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 之间的函子 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 将 \(\mathcal{C}\) 的对象映射到 \(\mathcal{D}\) 的对象，将态射映射到态射，并满足：

\(F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}\)；
\(F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\)。
若还有函子 \(G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，则考虑它们之间的自然变换：对每个对象 \(X \in \mathcal{C}\)，存在态射 \(\eta_X: F(X) \to G(X)\)，使得对所有态射 \(f: X \to Y\)，有 \(\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X\)。若每个 \(\eta_X\) 都是同构，则称 \(\eta\) 为自然同构。

3. 范畴等价的定义
称两个范畴 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 是等价的，如果存在函子 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，使得：

\(G \circ F\) 与恒等函子 \(\mathrm{id}_{\mathcal{C}}\) 自然同构；
\(F \circ G\) 与恒等函子 \(\mathrm{id}_{\mathcal{D}}\) 自然同构。
此时称 \(F\) 和 \(G\) 为拟逆函子。范畴等价比同构更常见，因为它不要求对象一一对应，而是保持范畴的“结构”本质。

4. 模范畴等价的经典例子
Morita等价 是最重要的模范畴等价。设 \(R\) 和 \(S\) 是两个环，若范畴 \(R\text{-}\mathrm{Mod}\) 和 \(S\text{-}\mathrm{Mod}\) 等价，则称 \(R\) 和 \(S\) 是 Morita等价的。核心结论如下：

存在一个有限生成投射生成子 \(P \in R\text{-}\mathrm{Mod}\)，使得 \(S \cong \mathrm{End}_R(P)\)（\(P\) 的自同态环）；
等价函子可表为 \(F(M) = \mathrm{Hom}_R(P, M)\) 或 \(F(M) = P \otimes_R M\)（当 \(P\) 是双模时）。
例如，任何环 \(R\) 与其全矩阵环 \(M_n(R)\) 是 Morita 等价的，因为 \(R^n\) 是有限生成投射生成子。

5. 等价与不变量
模范畴的等价保持许多模论性质：

单模、半单模、投射模、内射模、平坦模等类对应；
同调维数（投射维数、内射维数、整体维数）不变；
格罗滕迪克群 \(K_0(R)\) 是同构的。
但环本身的性质（如交换性、整性）不一定保持：交换环可能与一个非交换环 Morita 等价。

6. 等价函子的具体构造细节
设 \(P\) 是有限生成投射生成子，定义双模结构 \(_R P_S\)，其中 \(S = \mathrm{End}_R(P)^{\mathrm{op}}\)。则函子：

\[F: R\text{-}\mathrm{Mod} \to S\text{-}\mathrm{Mod}, \quad F(M) = \mathrm{Hom}_R(P, M) \]

是范畴等价，其拟逆为：

\[G: S\text{-}\mathrm{Mod} \to R\text{-}\mathrm{Mod}, \quad G(N) = P \otimes_S N. \]

验证需证明：

单位自然同构 \(\eta: \mathrm{id} \to G \circ F\) 由 \(\eta_M: M \to P \otimes_S \mathrm{Hom}_R(P, M)\)，\(m \mapsto \sum p_i \otimes f_i\) 给出（利用 \(P\) 的生成性）；
余单位自然同构 \(\varepsilon: F \circ G \to \mathrm{id}\) 类似构造。

7. 应用与推广

在表示论中，Morita 等价说明两个环的模范畴相同，因此研究模分类时可选取更方便的环。
在代数几何中，拟相干模层的范畴等价对应不同的概形，但保持上同调性质。
推广到导出范畴：若环的导出范畴 \(D(R)\) 与 \(D(S)\) 等价，则称为导出等价，这比 Morita 等价更弱但应用更广（如导出范畴等价可保持 Hochschild 上同调）。

模的范畴等价 1. 范畴的基本概念回顾首先，我们需要明确“范畴”的定义。一个范畴 \(\mathcal{C}\) 由以下组成：一类对象 \(\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\)；对任意两个对象 \(X, Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\)，有一个态射集合 \(\mathrm{Hom}_ {\mathcal{C}}(X, Y)\)；态射的复合运算：对 \(f \in \mathrm{Hom} {\mathcal{C}}(X, Y)\) 和 \(g \in \mathrm{Hom} {\mathcal{C}}(Y, Z)\)，存在 \(g \circ f \in \mathrm{Hom}_ {\mathcal{C}}(X, Z)\)，满足结合律；每个对象 \(X\) 有一个恒等态射 \(\mathrm{id} X \in \mathrm{Hom} {\mathcal{C}}(X, X)\)。在模论中，我们常考虑模范畴：设 \(R\) 是一个环，则所有左 \(R\)-模与模同态构成范畴 \(R\text{-}\mathrm{Mod}\)。 2. 函子与自然变换两个范畴 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 之间的函子 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 将 \(\mathcal{C}\) 的对象映射到 \(\mathcal{D}\) 的对象，将态射映射到态射，并满足： \(F(\mathrm{id} X) = \mathrm{id} {F(X)}\)； \(F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\)。若还有函子 \(G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，则考虑它们之间的自然变换：对每个对象 \(X \in \mathcal{C}\)，存在态射 \(\eta_ X: F(X) \to G(X)\)，使得对所有态射 \(f: X \to Y\)，有 \(\eta_ Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_ X\)。若每个 \(\eta_ X\) 都是同构，则称 \(\eta\) 为自然同构。 3. 范畴等价的定义称两个范畴 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 是等价的，如果存在函子 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，使得： \(G \circ F\) 与恒等函子 \(\mathrm{id}_ {\mathcal{C}}\) 自然同构； \(F \circ G\) 与恒等函子 \(\mathrm{id}_ {\mathcal{D}}\) 自然同构。此时称 \(F\) 和 \(G\) 为拟逆函子。范畴等价比同构更常见，因为它不要求对象一一对应，而是保持范畴的“结构”本质。 4. 模范畴等价的经典例子 Morita等价是最重要的模范畴等价。设 \(R\) 和 \(S\) 是两个环，若范畴 \(R\text{-}\mathrm{Mod}\) 和 \(S\text{-}\mathrm{Mod}\) 等价，则称 \(R\) 和 \(S\) 是 Morita等价的。核心结论如下：存在一个有限生成投射生成子 \(P \in R\text{-}\mathrm{Mod}\)，使得 \(S \cong \mathrm{End}_ R(P)\)（\(P\) 的自同态环）；等价函子可表为 \(F(M) = \mathrm{Hom}_ R(P, M)\) 或 \(F(M) = P \otimes_ R M\)（当 \(P\) 是双模时）。例如，任何环 \(R\) 与其全矩阵环 \(M_ n(R)\) 是 Morita 等价的，因为 \(R^n\) 是有限生成投射生成子。 5. 等价与不变量模范畴的等价保持许多模论性质：单模、半单模、投射模、内射模、平坦模等类对应；同调维数（投射维数、内射维数、整体维数）不变；格罗滕迪克群 \(K_ 0(R)\) 是同构的。但环本身的性质（如交换性、整性）不一定保持：交换环可能与一个非交换环 Morita 等价。 6. 等价函子的具体构造细节设 \(P\) 是有限生成投射生成子，定义双模结构 \(_ R P_ S\)，其中 \(S = \mathrm{End}_ R(P)^{\mathrm{op}}\)。则函子： \[ F: R\text{-}\mathrm{Mod} \to S\text{-}\mathrm{Mod}, \quad F(M) = \mathrm{Hom}_ R(P, M) \] 是范畴等价，其拟逆为： \[ G: S\text{-}\mathrm{Mod} \to R\text{-}\mathrm{Mod}, \quad G(N) = P \otimes_ S N. \] 验证需证明：单位自然同构 \(\eta: \mathrm{id} \to G \circ F\) 由 \(\eta_ M: M \to P \otimes_ S \mathrm{Hom}_ R(P, M)\)，\(m \mapsto \sum p_ i \otimes f_ i\) 给出（利用 \(P\) 的生成性）；余单位自然同构 \(\varepsilon: F \circ G \to \mathrm{id}\) 类似构造。 7. 应用与推广在表示论中，Morita 等价说明两个环的模范畴相同，因此研究模分类时可选取更方便的环。在代数几何中，拟相干模层的范畴等价对应不同的概形，但保持上同调性质。推广到导出范畴：若环的导出范畴 \(D(R)\) 与 \(D(S)\) 等价，则称为导出等价，这比 Morita 等价更弱但应用更广（如导出范畴等价可保持 Hochschild 上同调）。