哈尔测度的左不变性与右不变性
第一步：什么是哈尔测度的不变性？
首先，你需要理解“哈尔测度”是一个定义在局部紧拓扑群 \(G\) 上的测度。局部紧群是指一个既是拓扑空间（具有开集、连续映射等结构）又是群，且群运算与逆运算都连续，同时拓扑空间是局部紧的（即每点有一个紧邻域）的数学对象。常见的例子有：\(\mathbb{R}^n\)（加法群）、圆周 \(S^1\)、一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\) 等。
哈尔测度 \(\mu\) 的核心性质是它在群运算下的不变性。这分为两种：
- 左不变性：对任意可测集 \(E \subset G\) 和任意群元素 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)。这里 \(gE = \{ gx : x \in E \}\) 是 \(E\) 通过左平移得到的集合。
- 右不变性：对任意可测集 \(E \subset G\) 和任意 \(g \in G\)，有 \(\mu(Eg) = \mu(E)\)。这里 \(Eg = \{ xg : x \in E \}\)。
直观上，这意味着用群运算“移动”一个集合，其“大小”不变。
第二步：左哈尔测度与右哈尔测度
通常，我们默认的哈尔测度是指左哈尔测度，即满足左不变性的非零正则（在局部紧群上，正则性指内、外正则性）博雷尔测度。根据哈尔定理，在局部紧群上，左哈尔测度在正数倍意义下是唯一存在的。
同理，我们可以定义右哈尔测度 \(\nu\)，满足右不变性：\(\nu(Eg) = \nu(E)\)。同样，右哈尔测度也在正数倍意义下唯一存在。
一个自然的问题是：一个左哈尔测度 \(\mu\)，它是否同时也是右哈尔测度？即，左不变性能否推出右不变性？答案一般是不能。
第三步：模函数（Modular Function）的引入
为了研究左、右不变性的差异，我们引入一个关键工具：模函数（或称“模子”）。
固定一个左哈尔测度 \(\mu\)。对任意 \(g \in G\)，考虑一个新的集函数 \(E \mapsto \mu(Eg)\)。可以验证，这个新集函数也是一个左哈尔测度（因为右平移与左平移可交换：\(h(Eg) = (hE)g\)，所以新测度仍左不变）。由哈尔测度的唯一性，存在一个与 \(E\) 无关的正数 \(\Delta(g) > 0\)，使得
\[\mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E) \]
对所有可测集 \(E\) 成立。这里 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 就是一个从群到正实数的函数，称为群 \(G\) 的模函数。
模函数的含义：它量化了左哈尔测度在右平移下的“失真”程度。如果 \(\Delta(g) = 1\) 对所有 \(g\) 成立，则 \(\mu\) 也是右不变的，此时称群 \(G\) 是幺模的。
第四步：模函数的性质与计算
模函数 \(\Delta\) 具有以下重要性质：
- 连续同态：\(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \((0, \infty)\) 的连续群同态。即：
- \(\Delta(gh) = \Delta(g)\Delta(h)\)。
- \(\Delta(e) = 1\)（\(e\) 是单位元）。
- \(\Delta(g^{-1}) = 1/\Delta(g)\)。
- \(\Delta\) 是连续的。
- 与右哈尔测度的关系：如果 \(\mu\) 是左哈尔测度，那么测度 \(\nu\) 定义为 \(d\nu(g) = \Delta(g)^{-1} d\mu(g)\)，则 \(\nu\) 是一个右哈尔测度。反之，如果 \(\nu\) 是右哈尔测度，则 \(d\mu(g) = \Delta(g) d\nu(g)\) 是左哈尔测度。这表明左、右哈尔测度通过模函数相互联系。
- 积分形式：对任意可积函数 \(f\)，有右平移下的积分公式：
\[ \int_G f(xg^{-1}) d\mu(x) = \Delta(g) \int_G f(x) d\mu(x). \]
以及**左平移下的积分公式**（这是左不变性的直接体现）：
\[ \int_G f(gx) d\mu(x) = \int_G f(x) d\mu(x). \]
第五步：幺模群与例子
如果 \(\Delta \equiv 1\)，则群 \(G\) 称为幺模群。此时左哈尔测度同时也是右哈尔测度，统称为双侧哈尔测度。
重要的幺模群例子包括：
- 交换局部紧群：如 \(\mathbb{R}^n\)、环面 \(\mathbb{T}^n\)。因为平移可交换，左不变自动意味着右不变。
- 紧群：任何局部紧紧群都是幺模的。因为 \(\Delta(G)\) 是 \((0, \infty)\) 的紧子群，而乘法群 \((0, \infty)\) 的非平凡子群都不是紧的，所以 \(\Delta(G)\) 只能是 \(\{1\}\)。
- 离散群：在离散拓扑下，计数测度是双侧哈尔测度。
- 幂零李群、半单李群（如 \(SL(n, \mathbb{R})\)）：这些李群也是幺模的，但证明需要更多李群知识。
非幺模群的例子：
- \(ax+b\) 群（仿射线群）：即 \(G = \{ (a, b) : a > 0, b \in \mathbb{R} \}\)，群运算为 \((a, b)(a', b') = (aa', ab'+b)\)。其左哈尔测度为 \(a^{-2} da db\)，右哈尔测度为 \(a^{-1} da db\)，模函数为 \(\Delta(a, b) = a\)。
第六步：不变性在分析中的应用意义
- 调和分析的基础：在局部紧群上定义傅里叶变换、卷积等，依赖于一个固定的哈尔测度。模函数出现在各种对偶关系、普朗歇尔定理的推广中。
- 表示论：在构造群表示的酉表示时，需要检查表示算子在哈尔积分下的性质，模函数是调整内积以保持酉性的关键因子。
- 遍历理论：研究群作用在测度空间上的动力系统，群本身的哈尔测度不变性是许多遍历定理（如庞加莱回归、平均遍历定理）推广到群作用情形的前提。
总结来说，哈尔测度的左不变性是其定义的核心，而右不变性则不一定成立。二者之间的“差距”由一个连续的群同态——模函数精确刻画。理解这种不变性的差异，是深入研究非交换、非紧拓扑群上分析学的基石。