模的纯投射模 我们从“模”这一基本概念出发，逐步理解“纯投射模”的定义、性质及其在模论中的地位。 第一步：从模到正合序列 一个模（Module）本质上是在一个环（R）上定义的具有加法和标量乘法的代数结构，可以看作是向量空间概念在环上的推广。要研究模之间的关系，最核心的工具是“正合序列”。一个序列的“正合性”（Exactness）是指，序列中任意相邻映射的像（Image）恰好等于下一个映射的核（Kernel）。特别地，一个短正合序列（Short Exact Sequence）形如： 0 → A → B → C → 0 它表示：第一个映射是单射（A是B的子模），第二个映射是满射，且第一个映射的像等于第二个映射的核。 第二步：引入纯子模与纯正合序列 “纯子模”（Pure Submodule）的概念是理解纯投射模的关键。设N是M的一个子模。如果对环R的任意（右）理想I，自然的映射 N ⊗_ R I → M ⊗_ R I 是单射，则称N是M的纯子模。等价地，如果从R的任意（右）模L诱导的映射 Hom_ R(L, M) → Hom_ R(L, M/N) 是满射，则称序列 0 → N → M → M/N → 0 是“纯正合序列”。直观上，纯子模比一般子模“更自由”，不会因与理想作张量积而引入新的“扭结”。 第三步：定义纯投射模 有了纯正合序列的概念，我们可以定义“纯投射模”。一个R-模P称为“纯投射模”（Pure-projective Module），如果对于任意纯正合序列 0 → A → B → C → 0 和任意模同态 f: P → C，都存在一个同态 g: P → B，使得下图交换（即 f 通过 g 提升）。用正合性的语言说，就是函子 Hom_ R(P, -) 将纯正合序列变为（阿贝尔群范畴的）正合序列。 纯投射模的定义是相对于“所有纯正合序列”的投射性，这比传统的“投射模”定义（对“所有”正合序列具有提升性质）要弱，但比一般的模性质更强。 第四步：纯投射模的性质与等价刻画 纯投射模有一些重要的性质和等价描述： 投射模一定是纯投射模，但反之不成立。因为投射性要求对所有正合序列提升，而纯投射性只对特殊的（纯）正合序列有要求。 一个模P是纯投射模，当且仅当它是某个自由模的直和项在纯正合序列意义下的“纯直和项”。更具体地，P是纯投射模当且仅当存在一个自由模F和一个纯子模K，使得 F ≅ P ⊕ K。这说明纯投射模可以被自由模“几乎分开”。 有限展示模（Finitely Presented Module，即有有限个生成元和有限个关系的模）是纯投射的。这是纯投射模的一个重要来源。 所有纯投射模的类在有限直和、直和项下封闭。 第五步：与其他概念的联系与例子 理解纯投射模需要将其放入更广阔的图景： 与投射模的关系：投射模是纯投射模，但存在纯投射模不是投射模的例子，特别是在环的整体性质不够好（比如不是半单环）时。 与平坦模的关系：纯正合序列经张量积函子（⊗_ R L）作用后仍为正合序列，当且仅当L是平坦模。因此，纯投射模与平坦性、纯性的研究紧密相连。 在模的分解理论中，纯投射模是研究模的纯子模结构、纯投射分解（pure-projective resolution）的基础。例如，每个模都有一个纯投射预包络。 举例：在整数环Z上，有限生成挠模（如Z/nZ）是有限展示的，因而是纯投射的，但它们显然不是投射模（因为投射Z-模只能是自由模，即若干个Z的直和）。 总结：纯投射模是介于投射模和一般模之间的一类重要模，它通过“纯正合序列”这一比一般正合序列更精细的工具来定义。其核心在于对张量积与理想的良好行为，是研究模的纯性、平坦性以及同调维数精细结构的有力概念。