范畴论中的幺半群

幺半群是代数学中的一个基本概念，它描述了一个带有满足结合律的二元运算和单位元的集合。在范畴论中，这个概念被提升到了一个更高的抽象层次，为我们理解数学中各种“带有乘法结构”的对象提供了统一的视角。

1. 从集合论中的幺半群开始
   首先，我们回顾一下经典的幺半群定义。一个幺半群是一个三元组 (M, •, e)，其中：

   • M 是一个集合。
   • • 是一个二元运算，即一个函数 • : M × M -> M。
   • 这个运算满足以下两个公理：
     • 结合律： 对于任意 a, b, c ∈ M，有 (a • b) • c = a • (b • c)。
     • 单位元： 存在一个元素 e ∈ M，使得对于任意 a ∈ M，有 e • a = a • e = a。
       常见的例子包括：自然数集（包括0）与加法运算（单位元是0）；自然数集（不包括0）与乘法运算（单位元是1）；字符串与连接运算（单位元是空字符串）。

2. 引入范畴论的基本框架
   范畴论的核心思想是研究对象以及对象之间的“箭头”（称为态射）。一个范畴 C 由以下部分组成：

   • 对象： 一些数学实体，记作 Ob(C)。
   • 态射： 对于任意两个对象 X, Y ∈ Ob(C)，存在一个集合 Hom_C(X, Y)，其元素 f 称为从 X 到 Y 的态射，记作 f: X -> Y。
   • 态射的复合： 如果 f: X -> Y 且 g: Y -> Z 是态射，那么存在一个复合态射 g ∘ f: X -> Z。
   • 结合律： 对于任意可复合的态射 f, g, h，有 (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)。
   • 单位态射： 对于任意对象 X，存在一个单位态射 id_X: X -> X，使得对于任意态射 f: X -> Y，有 f ∘ id_X = f 且 id_Y ∘ f = f。
     请注意，态射的复合满足结合律，并且每个对象都有单位态射。这已经暗示了幺半群的结构。

3. 将范畴本身视为一个广义的幺半群
   现在，让我们从一个新的角度观察一个范畴。假设我们只关注一个范畴中所有对象到自身的态射（即自态射）。对于范畴 C 中的一个固定对象 X，考虑其自态射的集合 Hom_C(X, X)。

   • 这个集合上有一个自然的“乘法”运算：态射的复合 ∘。
   • 根据范畴的定义，这个运算是满足结合律的。
   • 并且，单位态射 id_X 正好就是这个乘法的单位元。
     因此，三元组 (Hom_C(X, X), ∘, id_X) 构成了一个经典的（集合论意义上的）幺半群！这揭示了范畴论与幺半群理论的深刻联系：一个范畴可以看作是“多个幺半群”（每个对象对应一个自态射幺半群）通过其他态射连接起来的结构。

4. 定义范畴论中的幺半群对象
   上面我们看到，范畴内部的某个组成部分（自态射集）可以构成幺半群。现在我们要问一个更深刻的问题：能否在范畴内部“实现”一个幺半群？也就是说，能否在范畴 C 中找到一个对象，它本身的行为就像一个幺半群？这就是幺半群对象的概念。
   设 C 是一个范畴，它具有有限积（特别是，存在一个终对象 1，并且任意两个对象的积存在）。C 中的一个幺半群对象是一个三元组 (M, μ, η)，其中：

   • M 是范畴 C 的一个对象（它扮演集合论幺半群中底层集合 M 的角色）。
   • μ: M × M -> M 是 C 中的一个态射（称为乘法态射），它扮演二元运算 • 的角色。
   • η: 1 -> M 是 C 中的一个态射（称为单位态射），它扮演单位元 e 的角色。这里，终对象 1 可以理解为“只有一个元素的集合”，所以 η 可以理解为“选取 M 中一个特定元素”的操作。
     这些数据必须满足以下图表交换的条件，这些条件用图表的方式表达了结合律和单位元律（在范畴论中，由于对象内部的元素可能无法直接谈论，所以我们用态射和它们的复合关系来定义性质）：
   • 结合律图表： 下面的图表是交换的（即沿着不同路径复合得到的态射相等）：

     (M × M) × M --α--> M × (M × M) --μ×id_M--> M × M
        |                                        |
     id_M × μ                                 μ
        |                                        |
        v                                        v
       M × M      ---------------μ------------> M
     

     这里 α 是范畴中自然的结合同构。这个图表精确地对应了集合论中的等式 μ(μ(a, b), c) = μ(a, μ(b, c))。
   • 单位元图表： 下面的图表是交换的：

     M × 1 --id_M × η--> M × M <--η × id_M-- 1 × M
        |                 | μ                 |
        |λ                |                   |ρ
        v                 v                   v
        M  ------id_M----> M <----id_M------ M
     

     这里 λ 和 ρ 是范畴中自然的左、右单位同构。这个图表精确地对应了集合论中的等式 μ(e, a) = a 和 μ(a, e) = a。

5. 重要的例子

   • 集合范畴 Set 中的幺半群对象： 在集合范畴中，对象是集合，态射是函数。终对象 1 是单点集 {}。那么，一个幺半群对象 (M, μ: M×M -> M, η: 1 -> M) precisely 对应于一个经典的集合论幺半群。μ 是二元运算，η 通过选取 M 中的一个元素（即 η()）来指定单位元。
   • 阿贝尔群范畴 Ab 中的幺半群对象： 对象是阿贝尔群，态射是群同态。此时的幺半群对象就是环。乘法态射 μ 需要是与群加法结构相容的双线性映射，这正好是环的乘法要求。
   • 范畴的幺半群对象： 考虑一个范畴的范畴（例如所有小范畴构成的范畴 Cat）。在这个范畴中，一个幺半群对象被称为幺半范畴。这是一个极其重要的结构，在表示论、拓扑学和量子场论中都有核心应用。它本身是一个范畴，但带有一个类似张量积 ⊗ 的“乘法”运算，这个运算满足类似结合律和单位元律的性质（通常精确到某个自然同构）。

通过以上步骤，我们从具体的集合论幺半群出发，逐步抽象，最终在范畴论的框架下定义了幺半群对象。这个概念极大地推广了幺半群的思想，使我们能够统一地看待数学中许多看似不同的乘法结构。