模的零因子

字数 3368 2025-12-17 09:55:18

模的零因子

我们先从基本定义开始。一个左模 \(M\) 在一个环 \(R\) 上，假设 \(R\) 是含幺环（具有乘法单位元 1，且 1 ≠ 0）。
定义1（零因子）：对于环 \(R\) 中的一个元素 \(r\)，如果存在非零的 \(m \in M\)，使得 \(r m = 0\) 在 \(M\) 中成立，则称 \(r\) 是 \(M\) 的一个零因子。这里“零因子”指的是“在模 \(M\) 上的零因子”，这与环论中（对环 \(R\) 自身作为模）的零因子定义是相容的。

注意：通常也把这样的 \(r\) 称为“\(M\)-零因子”，以强调是相对于模 \(M\) 而言的。
记 \(\mathrm{Z}_R(M) = \{ r \in R \mid \exists m \in M\setminus\{0\}, r m = 0 \}\)，称为 \(M\) 的零因子集。

例1：设 \(R = \mathbb{Z}\)，\(M = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模。取 \(r = 2 \in \mathbb{Z}\)，在 \(M\) 中取 \(m = 3\)（mod 6），非零，但 \(2 \cdot 3 = 6 \equiv 0\)（mod 6），所以 2 是 \(M\) 的零因子。同理 3 也是（因为 3·2=6≡0）。实际上，\(\mathrm{Z}_\mathbb{Z}(M)\) 包含了所有与 6 不互素的整数（因为那些整数乘以某个非零元可被 6 整除）。

进一步推广：我们可以对称地定义“右零因子”，如果 \(R\) 是交换环，左右一致。
在非交换环时，对于左模 \(M\)，若存在 \(m \neq 0\) 使得 \(mr = 0\)，则是右模的零因子（即对右模 \(M_R\) 讨论）。但今天我们集中在左模情形，且常常假设 \(R\) 交换以简化。

定义2（零化子）：对于 \(m \in M\)，其零化子理想是 \(\mathrm{Ann}_R(m) = \{ r \in R \mid r m = 0 \}\)。这是 \(R\) 的一个理想。
对于子集 \(N \subseteq M\)，\(\mathrm{Ann}_R(N) = \bigcap_{m \in N} \mathrm{Ann}_R(m) = \{ r \in R \mid r N = 0 \}\)。
那么 \(M\) 的零因子集可以表示为：

\[\mathrm{Z}_R(M) = \bigcup_{m \in M\setminus\{0\}} \mathrm{Ann}_R(m) \setminus \{0\} \cup \{0\} \]

注意 0 总是零因子，除非 \(M = 0\)，但通常我们讨论的“零因子”允许 0，但在很多定理中我们会排除零本身，因为零因子通常指非零的 \(r\) 使得存在非零 \(m \in M\) 满足 \(rm=0\)，即 \(\mathrm{Z}_R(M)^* = \mathrm{Z}_R(M) \setminus \{0\}\)。

命题1：若 \(R\) 是整环，则 \(M\) 的零因子集是 \(R\) 的一些素理想的并。
证明思路：对 \(m \neq 0\)，\(\mathrm{Ann}(m)\) 是理想，若 \(ab \in \mathrm{Ann}(m)\)，则 \( abm=0\)，在 \(R\) 是整环时，如果 \( bm=0\) 则 \( b\in\mathrm{Ann}(m)\)，如果 \( bm\neq 0\) 但 \(a(bm)=0\) 则 \(a\) 是 \(bm\) 的零化子里的元素。这可以推出 \(\mathrm{Ann}(m)\) 是素理想（或者零理想）。
而 \(\mathrm{Z}_R(M)^* = \bigcup_{m\neq 0} (\mathrm{Ann}(m)\setminus\{0\})\) 是这些素理想（非零部分）的并。

零因子与模的局部性质：在交换代数中，常常关心“在某个素理想 \(\mathfrak{p}\) 处局部化”之后，模的零因子行为。
设 \(S = R \setminus \mathfrak{p}\)，局部化 \(M_\mathfrak{p} = S^{-1} M\)。那么 \(R_\mathfrak{p}\) 的元素 \(r/s\) 是 \(M_\mathfrak{p}\) 的零因子当且仅当存在 \(m/t \in M_\mathfrak{p}\) 非零使得 \((r m)/(s t)=0\) 在 \(M_\mathfrak{p}\) 中，这等价于存在 \(u \in S\) 使得 \(u(r m) = 0\) 在 \(M\) 中。

进一步，一个重要的集合是 \(M\) 的结合素理想（associated primes）：

\[\mathrm{Ass}_R(M) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \mid \mathfrak{p} = \mathrm{Ann}(m) \text{ 对某个 } m \in M \}。 \]

那么显然 \(\bigcup_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)} \mathfrak{p} \subseteq \mathrm{Z}_R(M)\)。当 \(R\) 是诺特环且 \(M\) 是有限生成模时，实际上有

\[\mathrm{Z}_R(M) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)} \mathfrak{p}。 \]

这是交换代数的重要事实。

为什么重要：零因子集告诉我们模在哪些环元素作用下会“丢失信息”，也联系到深度、正则序列的概念。
定义3（M-正则序列）：在交换诺特环 \(R\) 中，\(M\) 是一个模，序列 \(r_1,\dots,r_n\) 称为 \(M\)-正则序列，如果：

\((r_1,\dots,r_n)M \neq M\)，
对 \(i=1,\dots,n\)，有 \(r_i\) 不是 \(M/(r_1,\dots,r_{i-1})M\) 的零因子。

所以零因子的概念是正则序列定义的核心。

应用例子：在局部环 \((R,\mathfrak{m})\) 中，深度 \(\mathrm{depth}(M)\) 是极大理想 \(\mathfrak{m}\) 中最长 \(M\)-正则序列的长度。若 \(\mathfrak{m} \subseteq \mathrm{Z}_R(M)\)，则没有任何 \(M\)-正则元素，深度为 0，这样的模称为只有余伴随素理想为极大理想的情形。

与环的零因子的区别：环 \(R\) 作为 \(R\)-模时的零因子集 \(\mathrm{Z}_R(R)\) 就是经典环论的零因子集合。对模 \(M\)，\(\mathrm{Z}_R(M)\) 可能更大或更小。例如，\(M = R/I\)，则 \(r\) 是 \(M\) 的零因子当且仅当存在 \(s\notin I\) 使得 \(rs \in I\)，即 \(r\) 属于 \(I\) 在 \(R\) 中的一些相伴素理想。

总结：
模的零因子是模论和交换代数中连接环结构与模结构的基本工具，它揭示了环元素在模上的“可逆性”障碍，是理解正则序列、深度、局部上同调等概念的起点。

模的零因子我们先从基本定义开始。一个左模 \( M \) 在一个环 \( R \) 上，假设 \( R \) 是含幺环（具有乘法单位元 1，且 1 ≠ 0）。定义1（零因子）：对于环 \( R \) 中的一个元素 \( r \)，如果存在非零的 \( m \in M \)，使得 \( r m = 0 \) 在 \( M \) 中成立，则称 \( r \) 是 \( M \) 的一个零因子。这里“零因子”指的是“在模 \( M \) 上的零因子”，这与环论中（对环 \( R \) 自身作为模）的零因子定义是相容的。注意：通常也把这样的 \( r \) 称为“\( M \)-零因子”，以强调是相对于模 \( M \) 而言的。记 \( \mathrm{Z}_ R(M) = \{ r \in R \mid \exists m \in M\setminus\{0\}, r m = 0 \} \)，称为 \( M \) 的零因子集。例1 ：设 \( R = \mathbb{Z} \)，\( M = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模。取 \( r = 2 \in \mathbb{Z} \)，在 \( M \) 中取 \( m = 3 \)（mod 6），非零，但 \( 2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \)（mod 6），所以 2 是 \( M \) 的零因子。同理 3 也是（因为 3·2=6≡0）。实际上，\( \mathrm{Z}_ \mathbb{Z}(M) \) 包含了所有与 6 不互素的整数（因为那些整数乘以某个非零元可被 6 整除）。进一步推广：我们可以对称地定义“右零因子”，如果 \( R \) 是交换环，左右一致。在非交换环时，对于左模 \( M \)，若存在 \( m \neq 0 \) 使得 \( mr = 0 \)，则是右模的零因子（即对右模 \( M_ R \) 讨论）。但今天我们集中在左模情形，且常常假设 \( R \) 交换以简化。定义2（零化子）：对于 \( m \in M \)，其零化子理想是 \( \mathrm{Ann}_ R(m) = \{ r \in R \mid r m = 0 \} \)。这是 \( R \) 的一个理想。对于子集 \( N \subseteq M \)，\( \mathrm{Ann} R(N) = \bigcap {m \in N} \mathrm{Ann}_ R(m) = \{ r \in R \mid r N = 0 \} \)。那么 \( M \) 的零因子集可以表示为： \[ \mathrm{Z} R(M) = \bigcup {m \in M\setminus\{0\}} \mathrm{Ann}_ R(m) \setminus \{0\} \cup \{0\} \] 注意 0 总是零因子，除非 \( M = 0 \)，但通常我们讨论的“零因子”允许 0，但在很多定理中我们会排除零本身，因为零因子通常指非零的 \( r \) 使得存在非零 \( m \in M \) 满足 \( rm=0 \)，即 \( \mathrm{Z}_ R(M)^* = \mathrm{Z}_ R(M) \setminus \{0\} \)。命题1 ：若 \( R \) 是整环，则 \( M \) 的零因子集是 \( R \) 的一些素理想的并。证明思路：对 \( m \neq 0 \)，\(\mathrm{Ann}(m)\) 是理想，若 \( ab \in \mathrm{Ann}(m) \)，则 \( abm=0\)，在 \( R \) 是整环时，如果 \( bm=0\) 则 \( b\in\mathrm{Ann}(m)\)，如果 \( bm\neq 0\) 但 \(a(bm)=0\) 则 \(a\) 是 \(bm\) 的零化子里的元素。这可以推出 \( \mathrm{Ann}(m) \) 是素理想（或者零理想）。而 \( \mathrm{Z} R(M)^* = \bigcup {m\neq 0} (\mathrm{Ann}(m)\setminus\{0\}) \) 是这些素理想（非零部分）的并。零因子与模的局部性质：在交换代数中，常常关心“在某个素理想 \( \mathfrak{p} \) 处局部化”之后，模的零因子行为。设 \( S = R \setminus \mathfrak{p} \)，局部化 \( M_ \mathfrak{p} = S^{-1} M \)。那么 \( R_ \mathfrak{p} \) 的元素 \( r/s \) 是 \( M_ \mathfrak{p} \) 的零因子当且仅当存在 \( m/t \in M_ \mathfrak{p} \) 非零使得 \( (r m)/(s t)=0 \) 在 \( M_ \mathfrak{p} \) 中，这等价于存在 \( u \in S \) 使得 \( u(r m) = 0 \) 在 \( M \) 中。进一步，一个重要的集合是 \( M \) 的结合素理想（associated primes）： \[ \mathrm{Ass} R(M) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \mid \mathfrak{p} = \mathrm{Ann}(m) \text{ 对某个 } m \in M \}。 \] 那么显然 \( \bigcup {\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)} \mathfrak{p} \subseteq \mathrm{Z}_ R(M) \)。当 \( R \) 是诺特环且 \( M \) 是有限生成模时，实际上有 \[ \mathrm{Z} R(M) = \bigcup {\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)} \mathfrak{p}。 \] 这是交换代数的重要事实。为什么重要：零因子集告诉我们模在哪些环元素作用下会“丢失信息”，也联系到深度、正则序列的概念。定义3（M-正则序列）：在交换诺特环 \( R \) 中，\( M \) 是一个模，序列 \( r_ 1,\dots,r_ n \) 称为 \( M \)-正则序列，如果： \( (r_ 1,\dots,r_ n)M \neq M \)，对 \( i=1,\dots,n \)，有 \( r_ i \) 不是 \( M/(r_ 1,\dots,r_ {i-1})M \) 的零因子。所以零因子的概念是正则序列定义的核心。应用例子：在局部环 \( (R,\mathfrak{m}) \) 中，深度 \( \mathrm{depth}(M) \) 是极大理想 \( \mathfrak{m} \) 中最长 \( M \)-正则序列的长度。若 \( \mathfrak{m} \subseteq \mathrm{Z}_ R(M) \)，则没有任何 \( M \)-正则元素，深度为 0，这样的模称为只有余伴随素理想为极大理想的情形。与环的零因子的区别：环 \( R \) 作为 \( R \)-模时的零因子集 \( \mathrm{Z}_ R(R) \) 就是经典环论的零因子集合。对模 \( M \)，\( \mathrm{Z}_ R(M) \) 可能更大或更小。例如，\( M = R/I \)，则 \( r \) 是 \( M \) 的零因子当且仅当存在 \( s\notin I \) 使得 \( rs \in I \)，即 \( r \) 属于 \( I \) 在 \( R \) 中的一些相伴素理想。总结：模的零因子是模论和交换代数中连接环结构与模结构的基本工具，它揭示了环元素在模上的“可逆性”障碍，是理解正则序列、深度、局部上同调等概念的起点。