马尔可夫决策过程
字数 3334 2025-10-26 11:43:27

马尔可夫决策过程

好的，我们开始学习“马尔可夫决策过程”。我会从最基本的概念开始，逐步深入到其核心原理和求解方法。

第一步：从一个简单的场景引入核心概念

想象一下，你是一个机器人，身处一个迷宫般的房间里。你的目标是找到宝藏并离开，同时要避免碰到敌人。房间里有很多个位置（我们称之为“状态”），在每个位置上，你都可以选择向上、下、左、右移动（我们称之为“动作”）。但你的移动可能不完美，比如你想向右走，但有10%的几率会滑到上方或下方（我们称之为“状态转移概率”）。当你到达宝藏位置时，会获得一大笔奖励；碰到敌人则会受到惩罚；每多走一步，也会消耗一点体力（我们称之为“奖励”）。

这个场景就包含了马尔可夫决策过程的核心要素：

  • 决策者：你（机器人）。
  • 环境：迷宫房间。
  • 不确定性：动作执行可能产生非预期的结果。

马尔可夫决策过程就是用来为这种序贯决策问题建模的数学框架，即在连续的时间点（或步骤）上做出一系列决策，每个决策都会影响后续的情况。

第二步：理解“马尔可夫性”是什么意思

“马尔可夫”这个名字来源于一个关键特性：马尔可夫性。

它的定义是：系统下一时刻的状态，只与当前时刻的状态和采取的动作有关，而与过去的历史状态无关。

用数学公式表示就是：
P(S_{t+1} = s' | S_t = s, A_t = a) = P(S_{t+1} = s' | S_t = s, A_t = a, S_{t-1}, A_{t-1}, ..., S_0, A_0)

通俗地讲，在迷宫的例子里，你下一步会走到哪里，只取决于你现在站在哪个格子以及你现在决定往哪个方向走。你之前是怎么走到这个格子的（是直线走来的还是绕了一大圈），对于预测下一步完全没有影响。这个“无记忆”的特性极大地简化了问题，因为我们只需要关注当前状态，而不需要记住整个历史。

第三步：正式定义马尔可夫决策过程的五大核心组件

一个标准的马尔可夫决策过程可以用一个五元组来定义 (S, A, P, R, γ)：

  1. 状态集合 (S)：所有可能状态的集合。比如迷宫中每个格子的坐标就是一个状态。状态可以是有限的，也可以是无限的，但我们通常先研究有限状态的情况。
  2. 动作集合 (A)：在所有状态（或特定状态）下，决策者可以采取的所有可能动作的集合。例如 {上， 下， 左， 右}。在某些状态下，可用的动作可能会受限。
  3. 状态转移概率 (P)：一个函数 P(s' | s, a)，表示在状态 s 下采取动作 a 后，下一时刻转移到状态 s‘** 的概率。它必须满足概率的公理，即对于所有的 s和a，所有可能的 s’` 的概率之和为1。
  4. 奖励函数 (R)：一个函数 R(s, a, s')，表示在状态 s 下采取动作 a 并转移到状态 s‘** 后，环境反馈给决策者的即时奖励（或惩罚，即负奖励）。有时也简化为 R(s, a)或R(s)`。
  5. 折扣因子 (γ)：一个介于0和1之间的数 γ ∈ [0, 1]。它代表了我们对未来奖励的重视程度。γ 越接近0，表示我们越“短视”，只重视眼前利益；γ 越接近1，表示我们越“有远见”，对未来奖励看得越重。引入折扣因子既有数学上的必要性（保证无穷时间步的累积奖励是有限的），也符合经济学中的时间价值概念。

第四步：目标是什么？策略与价值函数

决策者的目标不是最大化某一步的即时奖励，而是最大化从当前开始，到未来所有步骤的累积奖励的期望值。

为了达成这个目标，决策者需要一个“行动指南”，这个指南告诉他在任何一个状态下应该采取什么动作。这个指南就是策略 (Policy)，通常用符号 π 表示。π(a|s) 给出了在状态 s 下选择动作 a 的概率。确定性策略是 π(a|s)=1 对于某个特定动作。

那么，如何评估一个策略的好坏呢？我们引入了价值函数 (Value Function)。

  • 状态价值函数 V^π(s)：表示从状态 s 出发，一直遵循策略 π 行动，所能获得的累积奖励的期望值。
    V^π(s) = E[ R_t + γR_{t+1} + γ²R_{t+2} + ... | S_t = s, π]
    这个函数衡量了某个状态的“长期价值”。

  • 动作价值函数 Q^π(s, a)：表示在状态 s 下，先采取某个动作 a，然后之后一直遵循策略 π 行动，所能获得的累积奖励的期望值。
    Q^π(s, a) = E[ R_t + γR_{t+1} + γ²R_{t+2} + ... | S_t = s, A_t = a, π]
    这个函数衡量了在某个状态下采取某个特定动作的“长期价值”。

第五步：如何找到最优策略？贝尔曼方程

我们的目标是找到最优策略 π*，使得对于所有状态 s，其状态价值 V^π(s) 都是最大的。对应的价值函数称为最优价值函数 V* 和 Q*。

寻找最优策略的核心工具是贝尔曼方程，它描述了一个状态（或状态-动作对）的价值与它后续状态价值之间的递归关系。

  • 贝尔曼期望方程 (对于给定策略 π)：

    • V^π(s) = Σ_{a} π(a|s) Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV^π(s') ]
    • Q^π(s, a) = Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γΣ_{a'} π(a'|s') Q^π(s', a') ]
      这个方程的意思是：一个状态的价值，等于所有可能动作的期望价值，而每个动作的期望价值等于所有可能转移结果的【即时奖励 + 下一个状态的折扣后价值】的加权平均。

  • 贝尔曼最优性方程 (用于寻找最优策略)：

    • V*(s) = max_{a} Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV*(s') ]
    • Q*(s, a) = Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γ max_{a'} Q*(s', a') ]
      这个方程是MDP理论的基石。它指出：一个状态的最优价值，等于所有可选动作中，能带来最大期望回报的那个动作所对应的价值。最优策略就是始终选择能使 Q*(s, a) 最大的动作 a。

第六步：求解MDP的经典算法

有了贝尔曼方程，我们就可以设计算法来求解MDP了。主要有两类经典方法：

  1. 价值迭代 (Value Iteration)：

    • 思想：不直接求解策略，而是通过迭代的方式不断更新每个状态的价值估计 V(s)，直到其收敛到最优价值 V*。一旦得到 V*，最优策略 π* 就很容易通过选择使贝尔曼最优方程右边最大的动作来得到。
    • 操作：初始化所有状态价值为0（或随机值），然后反复用以下公式更新所有状态：
      V_{k+1}(s) ← max_{a} Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV_k(s') ]
    • 特点：本质是动态规划。它最终会收敛到 V*。

  2. 策略迭代 (Policy Iteration)：

    • 思想：分为两步交替进行，直到策略不再变化。
      • 策略评估：给定一个当前策略 π，计算它的价值函数 V^π（通过迭代求解贝尔曼期望方程）。
      • 策略改进：基于计算出的 V^π，对每个状态，采用贪心策略，选择一个能最大化 Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV^π(s') ] 的动作，从而得到一个新的、更好的策略 π'。
    • 特点：通常比价值迭代收敛得更快。

总结

马尔可夫决策过程提供了一个强大的数学工具，用于解决在随机环境下进行序贯决策的问题。其核心在于利用马尔可夫性简化模型，通过价值函数来评估长期收益，并利用贝尔曼方程作为桥梁，通过价值迭代或策略迭代等算法，最终找到能使长期累积奖励最大化的最优策略。它是强化学习领域的理论基础，广泛应用于机器人控制、经济学、游戏AI等领域。

马尔可夫决策过程 好的，我们开始学习“马尔可夫决策过程”。我会从最基本的概念开始，逐步深入到其核心原理和求解方法。 第一步：从一个简单的场景引入核心概念 想象一下，你是一个机器人，身处一个迷宫般的房间里。你的目标是找到宝藏并离开，同时要避免碰到敌人。房间里有很多个位置（我们称之为“状态”），在每个位置上，你都可以选择向上、下、左、右移动（我们称之为“动作”）。但你的移动可能不完美，比如你想向右走，但有10%的几率会滑到上方或下方（我们称之为“状态转移概率”）。当你到达宝藏位置时，会获得一大笔奖励；碰到敌人则会受到惩罚；每多走一步，也会消耗一点体力（我们称之为“奖励”）。 这个场景就包含了马尔可夫决策过程的核心要素： 决策者 ：你（机器人）。 环境 ：迷宫房间。 不确定性 ：动作执行可能产生非预期的结果。 马尔可夫决策过程就是用来为这种 序贯决策问题 建模的数学框架，即在连续的时间点（或步骤）上做出一系列决策，每个决策都会影响后续的情况。 第二步：理解“马尔可夫性”是什么意思 “马尔可夫”这个名字来源于一个关键特性： 马尔可夫性 。 它的定义是： 系统下一时刻的状态，只与当前时刻的状态和采取的动作有关，而与过去的历史状态无关。 用数学公式表示就是： P(S_{t+1} = s' | S_t = s, A_t = a) = P(S_{t+1} = s' | S_t = s, A_t = a, S_{t-1}, A_{t-1}, ..., S_0, A_0) 通俗地讲，在迷宫的例子里，你下一步会走到哪里，只取决于你 现在 站在哪个格子以及你 现在 决定往哪个方向走。你之前是怎么走到这个格子的（是直线走来的还是绕了一大圈），对于预测下一步完全没有影响。这个“无记忆”的特性极大地简化了问题，因为我们只需要关注当前状态，而不需要记住整个历史。 第三步：正式定义马尔可夫决策过程的五大核心组件 一个标准的马尔可夫决策过程可以用一个五元组来定义 (S, A, P, R, γ) ： 状态集合 (S) ：所有可能状态的集合。比如迷宫中每个格子的坐标就是一个状态。状态可以是有限的，也可以是无限的，但我们通常先研究有限状态的情况。 动作集合 (A) ：在所有状态（或特定状态）下，决策者可以采取的所有可能动作的集合。例如 {上， 下， 左， 右}。在某些状态下，可用的动作可能会受限。 状态转移概率 (P) ：一个函数 P(s' | s, a) ，表示在状态 s 下采取动作 a 后，下一时刻转移到状态 s‘** 的概率。它必须满足概率的公理，即对于所有的 s 和 a ，所有可能的 s’ ` 的概率之和为1。 奖励函数 (R) ：一个函数 R(s, a, s') ，表示在状态 s 下采取动作 a 并转移到状态 s‘** 后，环境反馈给决策者的即时奖励（或惩罚，即负奖励）。有时也简化为 R(s, a) 或 R(s) ` 。 折扣因子 (γ) ：一个介于0和1之间的数 γ ∈ [0, 1] 。它代表了我们对未来奖励的重视程度。 γ 越接近0，表示我们越“短视”，只重视眼前利益； γ 越接近1，表示我们越“有远见”，对未来奖励看得越重。引入折扣因子既有数学上的必要性（保证无穷时间步的累积奖励是有限的），也符合经济学中的时间价值概念。 第四步：目标是什么？策略与价值函数 决策者的目标不是最大化某一步的即时奖励，而是 最大化从当前开始，到未来所有步骤的累积奖励的期望值 。 为了达成这个目标，决策者需要一个“行动指南”，这个指南告诉他在任何一个状态下应该采取什么动作。这个指南就是 策略 (Policy) ，通常用符号 π 表示。 π(a|s) 给出了在状态 s 下选择动作 a 的概率。确定性策略是 π(a|s)=1 对于某个特定动作。 那么，如何评估一个策略的好坏呢？我们引入了 价值函数 (Value Function) 。 状态价值函数 V^π(s) ：表示从状态 s 出发，一直遵循策略 π 行动，所能获得的累积奖励的期望值。 V^π(s) = E[ R_t + γR_{t+1} + γ²R_{t+2} + ... | S_t = s, π] 这个函数衡量了某个状态的“长期价值”。 动作价值函数 Q^π(s, a) ：表示在状态 s 下，先采取某个动作 a ，然后之后一直遵循策略 π 行动，所能获得的累积奖励的期望值。 Q^π(s, a) = E[ R_t + γR_{t+1} + γ²R_{t+2} + ... | S_t = s, A_t = a, π] 这个函数衡量了在某个状态下采取某个特定动作的“长期价值”。 第五步：如何找到最优策略？贝尔曼方程 我们的目标是找到 最优策略 π * ，使得对于所有状态 s ，其状态价值 V^π(s) 都是最大的。对应的价值函数称为最优价值函数 V* 和 Q* 。 寻找最优策略的核心工具是 贝尔曼方程 ，它描述了一个状态（或状态-动作对）的价值与它后续状态价值之间的递归关系。 贝尔曼期望方程 (对于给定策略 π) ： V^π(s) = Σ_{a} π(a|s) Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV^π(s') ] Q^π(s, a) = Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γΣ_{a'} π(a'|s') Q^π(s', a') ] 这个方程的意思是：一个状态的价值，等于所有可能动作的期望价值，而每个动作的期望价值等于所有可能转移结果的【即时奖励 + 下一个状态的折扣后价值】的加权平均。 贝尔曼最优性方程 (用于寻找最优策略) ： V*(s) = max_{a} Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV*(s') ] Q*(s, a) = Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γ max_{a'} Q*(s', a') ] 这个方程是MDP理论的基石。它指出：一个状态的最优价值，等于所有可选动作中，能带来最大期望回报的那个动作所对应的价值。最优策略就是始终选择能使 Q*(s, a) 最大的动作 a 。 第六步：求解MDP的经典算法 有了贝尔曼方程，我们就可以设计算法来求解MDP了。主要有两类经典方法： 价值迭代 (Value Iteration) ： 思想 ：不直接求解策略，而是通过迭代的方式不断更新每个状态的价值估计 V(s) ，直到其收敛到最优价值 V* 。一旦得到 V* ，最优策略 π* 就很容易通过选择使贝尔曼最优方程右边最大的动作来得到。 操作 ：初始化所有状态价值为0（或随机值），然后反复用以下公式更新所有状态： V_{k+1}(s) ← max_{a} Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV_k(s') ] 特点 ：本质是动态规划。它最终会收敛到 V* 。 策略迭代 (Policy Iteration) ： 思想 ：分为两步交替进行，直到策略不再变化。 策略评估 ：给定一个当前策略 π ，计算它的价值函数 V^π （通过迭代求解贝尔曼期望方程）。 策略改进 ：基于计算出的 V^π ，对每个状态，采用贪心策略，选择一个能最大化 Σ_{s'} P(s'|s, a) [ R(s, a, s') + γV^π(s') ] 的动作，从而得到一个新的、更好的策略 π' 。 特点 ：通常比价值迭代收敛得更快。 总结 马尔可夫决策过程提供了一个强大的数学工具，用于解决在 随机环境 下进行 序贯决策 的问题。其核心在于利用 马尔可夫性 简化模型，通过 价值函数 来评估长期收益，并利用 贝尔曼方程 作为桥梁，通过 价值迭代 或 策略迭代 等算法，最终找到能使长期累积奖励最大化的 最优策略 。它是强化学习领域的理论基础，广泛应用于机器人控制、经济学、游戏AI等领域。