同态 同态是代数结构之间保持运算的映射。设有两个代数结构（如群、环、模）\( (A, \cdot) \) 和 \( (B, \circ) \)，一个映射 \( f: A \to B \) 称为同态，如果对任意 \( a_ 1, a_ 2 \in A \)，满足 \( f(a_ 1 \cdot a_ 2) = f(a_ 1) \circ f(a_ 2) \)。例如，对于群同态，还需满足 \( f(e_ A) = e_ B \)（单位元映射到单位元）。 同态基本定理 同态基本定理揭示了同态与商结构的关系。若 \( f: G \to H \) 是群同态，则 \( \ker f = \{ g \in G \mid f(g) = e_ H \} \) 是 \( G \) 的正规子群，且 \( G / \ker f \cong \operatorname{im} f \)。类似结论对环、模等结构也成立，其中环同态需将核替换为理想。 单同态与满同态 若同态 \( f \) 是单射，则称为单同态（此时 \( \ker f = \{e\} \)）；若 \( f \) 是满射，则称为满同态。满同态 \( f: A \to B \) 可诱导同构 \( A / \ker f \cong B \)，这是同态基本定理的直接推论。 同态的应用：结构比较 同态允许通过较简单的结构（如商群）研究复杂结构。例如，在群论中，若存在满同态 \( f: G \to H \)，则 \( H \) 的结构可由 \( G \) 和 \( \ker f \) 完全确定。在模论中，同态可用于分析线性映射的核与像，关联向量空间分解。