极大函数的哈代-李特尔伍德极大不等式（Hardy

极大函数的哈代-李特尔伍德极大不等式（Hardy–Littlewood Maximal Inequality）

字数 5525 2025-12-17 07:43:03

极大函数的哈代-李特尔伍德极大不等式（Hardy–Littlewood Maximal Inequality）

好的，我们从零开始，循序渐进地讲解这个概念。

第一步：直观动机与基本定义

在实分析中，我们经常关心一个函数在某个点附近的“平均行为”。例如，勒贝格微分定理告诉我们，对于局部可积函数，其在某点的值几乎处处等于以该点为中心的球体上平均值的极限。为了研究这种极限行为，我们首先需要控制这些平均值的大小。这就是极大函数引入的动机。

1. 定义局部可积函数：
首先，我们需要一个合适的函数类。设 \(f\) 是定义在 \(\mathbb{R}^d\) 上的勒贝格可测函数。如果对于任意紧集 \(K \subset \mathbb{R}^d\)，积分 \(\int_K |f(x)| dx < \infty\)，则称 \(f\) 是局部可积的，记作 \(f \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^d)\)。简单来说，这个函数在任何有限区域内都是可积的。

2. 定义哈代-李特尔伍德极大函数：
对于给定的函数 \(f \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^d)\)，其（非中心化的）哈代-李特尔伍德极大函数 \(Mf\) 在点 \(x \in \mathbb{R}^d\) 的值定义为：

\[(Mf)(x) = \sup_{r>0} \frac{1}{|B(x, r)|} \int_{B(x, r)} |f(y)| dy. \]

这里，

\(B(x, r)\) 表示以 \(x\) 为中心、以 \(r\) 为半径的开球。
\(|B(x, r)|\) 表示该球的勒贝格测度，在 \(\mathbb{R}^d\) 中，\(|B(x, r)| = c_d r^d\)，其中 \(c_d\) 是单位球的体积。
上确界（\(\sup\)）是对所有半径 \(r > 0\) 取的。
因此，\((Mf)(x)\) 本质上衡量了函数 \(|f|\) 在所有以 \(x\) 为中心的球上的“最大平均可能值”。

直观理解：极大函数 \(Mf\) 将原函数 \(f\) 的局部振荡“抹平”，并放大其“峰值”信息。它是一个新的非负函数，总是大于等于零。

第二步：极大函数的核心性质——次线性性

极大函数 \(M\) 是一个算子（将函数 \(f\) 映射为新函数 \(Mf\)）。它有两个关键性质：

次可加性：\(M(f + g)(x) \leq Mf(x) + Mg(x)\)。
正齐次性：对于标量 \(\alpha\)，\(M(\alpha f)(x) = |\alpha| Mf(x)\)。
这两个性质合起来称为次线性性。这意味着 \(M\) 类似于一个“范数”，但不等号方向相反。这个性质对于后续证明不等式至关重要。

第三步：哈代-李特尔伍德极大不等式（弱 (1,1) 型）

这是整个理论中最核心、最深刻的不等式。它回答了“极大函数 \(Mf\) 有多大？”这个问题。

定理陈述（弱 (1,1) 型不等式）：
存在一个只依赖于维数 \(d\) 的常数 \(C_d > 0\)，使得对于任意 \(f \in L^1(\mathbb{R}^d)\)（即 \(f\) 在整个空间上可积）和任意 \(\lambda > 0\)，都有：

\[|\{ x \in \mathbb{R}^d : (Mf)(x) > \lambda \}| \leq \frac{C_d}{\lambda} \|f\|_{L^1}. \]

这里，

左边 \(|\{ \cdots \}|\) 表示集合的勒贝格测度。这个集合是所有使得极大函数值超过阈值 \(\lambda\) 的点 \(x\) 构成的集合。
右边 \(\|f\|_{L^1} = \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)| dx\) 是 \(f\) 的 \(L^1\) 范数。
常数 \(C_d\) 通常取 \(3^d\) 或 \(5^d\) 量级（取决于证明细节）。

这个不等式的威力：

“弱”的含义：我们称它为“弱 (1,1) 型”，是因为结论是测度估计（集合的大小），而不是直接的范数不等式 \(\|Mf\|_{L^1} \leq C \|f\|_{L^1}\)。事实上，后者一般不成立，因为 \(Mf\) 常常不在 \(L^1\) 中（即使 \(f\) 在 \(L^1\) 中）。这个弱估计对于许多应用（如控制收敛）已经足够强大。
控制作用：它告诉我们，尽管 \(Mf\) 可能在某些点上非常大（超过 \(\lambda\)），但是这些“坏点”所构成的集合的测度可以被 \(f\) 的 \(L^1\) 范数和 \(1/\lambda\) 控制。当 \(\lambda\) 很大时，测度会变得非常小。

第四步：证明思想（维塔利覆盖引理的应用）

这个不等式的标准证明，完美体现了实变函数论的技巧。其核心步骤如下：

考察“坏点集”：设 \(E_\lambda = \{ x : Mf(x) > \lambda \}\)。根据极大函数的定义，对于 \(E_\lambda\) 中的每一个点 \(x\)，都存在至少一个球 \(B_x\)（以 \(x\) 为中心，某个半径 \(r_x\)），使得

\[ \frac{1}{|B_x|} \int_{B_x} |f(y)| dy > \lambda. \]

覆盖问题：我们得到了一个由开球构成的集合 \(\{B_x\}_{x \in E_\lambda}\)，它覆盖了 \(E_\lambda\)。我们的目标是估计 \(E_\lambda\) 的测度。
应用维塔利覆盖引理：这是一个关键的组合几何引理。它断言，对于 \(\mathbb{R}^d\) 中由开球构成的任一覆盖，我们可以从中选出一个互不相交的子球族 \(\{B_{x_k}\}\)，使得将每个选中的球半径放大5倍（即同心但半径乘5）后，这些大球的并集仍然覆盖原集合 \(E_\lambda\)。
即：\(E_\lambda \subset \bigcup_k 5B_{x_k}\)，其中 \(5B_{x_k}\) 是与 \(B_{x_k}\) 同心、半径5倍的球。
进行测度估计：

由覆盖关系：\(|E_\lambda| \leq \sum_k |5B_{x_k}| = 5^d \sum_k |B_{x_k}|\)。
由每个选中球的定义：\(|B_{x_k}| < \frac{1}{\lambda} \int_{B_{x_k}} |f(y)| dy\)。
- 由于选中的球互不相交，我们可以把积分加起来：

\[ \sum_k \int_{B_{x_k}} |f(y)| dy \leq \int_{\mathbb{R}^d} |f(y)| dy = \|f\|_{L^1}. \]

综合得到结论：

\[ |E_\lambda| \leq 5^d \sum_k |B_{x_k}| < 5^d \sum_k \frac{1}{\lambda} \int_{B_{x_k}} |f| = \frac{5^d}{\lambda} \|f\|_{L^1}. \]

这就证明了不等式，且常数 \(C_d = 5^d\)。

这个证明是实分析中“覆盖引理+积分平均”技术的典范。

第五步：极大不等式在其他 \(L^p\) 空间上的推广（强 (p,p) 型不等式）

除了在 \(L^1\) 上的弱型估计，极大算子在 \(L^p\) 空间（当 \(1 < p \leq \infty\) 时）有更强的性质。

定理陈述（强 (p,p) 型不等式）：
对于任意 \(1 < p \leq \infty\)，存在常数 \(C_{p,d} > 0\)，使得对于所有 \(f \in L^p(\mathbb{R}^d)\)，有：

\[\| Mf \|_{L^p} \leq C_{p,d} \| f \|_{L^p}. \]

特别地，当 \(p = \infty\) 时，有 \(\| Mf \|_{L^\infty} \leq \| f \|_{L^\infty}\)，这几乎是显然的。

证明思路（内插）：
这个定理的经典证明运用了实内插理论（特别是马克沁克维奇内插定理）。其逻辑链条是：

我们已经证明了 \(M\) 是弱 (1,1) 型算子（第一步的定理）。
容易证明 \(M\) 是强 (\(\infty, \infty\)) 型算子（即 \(L^\infty\) 有界）。
应用马克沁克维奇内插定理，介于 (1,1) 弱型和 (\(\infty, \infty\)) 强型之间的所有 \(p\)（即 \(1 < p < \infty\)），\(M\) 都是强 (p,p) 型的。

这意味着对于 \(p > 1\)，极大函数算子 \(M\) 不仅是 \(L^p\) 到自身的有界线性算子，而且它的范数控制是“强”的，即其 \(L^p\) 范数可以直接被控制。

第六步：核心应用——勒贝格微分定理的证明

哈代-李特尔伍德极大不等式最主要、最经典的应用就是证明勒贝格微分定理。

勒贝格微分定理：设 \(f \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^d)\)。那么对于几乎处处的 \(x \in \mathbb{R}^d\)，有

\[\lim_{r \to 0} \frac{1}{|B(x, r)|} \int_{B(x, r)} f(y) dy = f(x). \]

证明的关键步骤：

转化为极大函数问题：定义差值函数 \(\Phi_r(f)(x) = \left| \frac{1}{|B(x, r)|} \int_{B(x, r)} f(y) dy - f(x) \right|\)。
要证明极限几乎处处为零，等价于证明 \(\limsup_{r \to 0} \Phi_r(f)(x) = 0\) 几乎处处成立。
利用极大函数控制：注意到 \(\Phi_r(f)(x) \leq Mf(x) + |f(x)|\)。更关键的是，对于任意连续函数 \(g\)，容易证明 \(\lim_{r \to 0} \Phi_r(g)(x) = 0\) 处处成立。
密度论证：对于一般的 \(f \in L^1\)，用一个连续函数 \(g\) 来逼近它（利用 \(C_c\) 函数在 \(L^1\) 中的稠密性）。然后进行估计：

\[ \limsup_{r \to 0} \Phi_r(f)(x) \leq \limsup_{r \to 0} [\Phi_r(f-g)(x) + \Phi_r(g)(x)] \leq M(f-g)(x) + 0. \]

应用极大不等式：固定 \(\epsilon > 0\)。选择 \(g\) 使得 \(\|f - g\|_{L^1} < \epsilon\)。
我们希望证明集合 \(\{ x : \limsup_{r \to 0} \Phi_r(f)(x) > \delta \}\) 的测度为零（对任意 \(\delta > 0\)）。
由上一步，该集合包含在 \(\{ x : M(f-g)(x) > \delta \}\) 中。
应用弱 (1,1) 型极大不等式：

\[ |\{ x : M(f-g)(x) > \delta \}| \leq \frac{C_d}{\delta} \|f-g\|_{L^1} \leq \frac{C_d \epsilon}{\delta}. \]

因为 \(\epsilon\) 可以任意小，所以这个测度必须为零。这就完成了定理的证明。

总结

极大函数的哈代-李特尔伍德极大不等式是整个调和分析与实分析大厦的一块基石。它的逻辑路径是：

定义：为了研究函数局部的平均值，我们定义了极大函数 \(Mf\)。
核心估计：通过巧妙的几何覆盖（维塔利引理），我们得到了它在 \(L^1\) 上的弱型估计 \(|\{ Mf > \lambda \}| \leq \frac{C}{\lambda} \|f\|_1\)。
推广：结合内插理论，我们得到了它在所有 \(L^p\) 空间（\(p>1\)）上的强有界性。
应用：利用这个不等式提供的强大控制力，我们得以严格证明勒贝格微分定理，从而将函数的点态值与局部平均值联系起来，为微积分基本定理在更广泛函数类上的成立奠定了基础。

这个从具体定义到深刻估计，再到核心应用的过程，完美体现了实变函数论中“用整体控制局部，用平均研究点态”的核心思想。

极大函数的哈代-李特尔伍德极大不等式（Hardy–Littlewood Maximal Inequality）好的，我们从零开始，循序渐进地讲解这个概念。第一步：直观动机与基本定义在实分析中，我们经常关心一个函数在某个点附近的“平均行为”。例如，勒贝格微分定理告诉我们，对于局部可积函数，其在某点的值几乎处处等于以该点为中心的球体上平均值的极限。为了研究这种极限行为，我们首先需要控制这些平均值的大小。这就是极大函数引入的动机。 1. 定义局部可积函数：首先，我们需要一个合适的函数类。设 \( f \) 是定义在 \( \mathbb{R}^d \) 上的勒贝格可测函数。如果对于任意紧集 \( K \subset \mathbb{R}^d \)，积分 \( \int_ K |f(x)| dx < \infty \)，则称 \( f \) 是局部可积的，记作 \( f \in L^1_ {loc}(\mathbb{R}^d) \)。简单来说，这个函数在任何有限区域内都是可积的。 2. 定义哈代-李特尔伍德极大函数：对于给定的函数 \( f \in L^1_ {loc}(\mathbb{R}^d) \)，其（非中心化的）哈代-李特尔伍德极大函数 \( Mf \) 在点 \( x \in \mathbb{R}^d \) 的值定义为： \[ (Mf)(x) = \sup_ {r>0} \frac{1}{|B(x, r)|} \int_ {B(x, r)} |f(y)| dy. \] 这里， \( B(x, r) \) 表示以 \( x \) 为中心、以 \( r \) 为半径的开球。 \( |B(x, r)| \) 表示该球的勒贝格测度，在 \( \mathbb{R}^d \) 中，\( |B(x, r)| = c_ d r^d \)，其中 \( c_ d \) 是单位球的体积。上确界（\( \sup \)）是对所有半径 \( r > 0 \) 取的。因此，\( (Mf)(x) \) 本质上衡量了函数 \( |f| \) 在所有以 \( x \) 为中心的球上的“最大平均可能值”。直观理解：极大函数 \( Mf \) 将原函数 \( f \) 的局部振荡“抹平”，并放大其“峰值”信息。它是一个新的非负函数，总是大于等于零。第二步：极大函数的核心性质——次线性性极大函数 \( M \) 是一个算子（将函数 \( f \) 映射为新函数 \( Mf \)）。它有两个关键性质：次可加性：\( M(f + g)(x) \leq Mf(x) + Mg(x) \)。正齐次性：对于标量 \( \alpha \)，\( M(\alpha f)(x) = |\alpha| Mf(x) \)。这两个性质合起来称为次线性性。这意味着 \( M \) 类似于一个“范数”，但不等号方向相反。这个性质对于后续证明不等式至关重要。第三步：哈代-李特尔伍德极大不等式（弱 (1,1) 型）这是整个理论中最核心、最深刻的不等式。它回答了“极大函数 \( Mf \) 有多大？”这个问题。定理陈述（弱 (1,1) 型不等式）：存在一个只依赖于维数 \( d \) 的常数 \( C_ d > 0 \)，使得对于任意 \( f \in L^1(\mathbb{R}^d) \)（即 \( f \) 在整个空间上可积）和任意 \( \lambda > 0 \)，都有： \[ |\{ x \in \mathbb{R}^d : (Mf)(x) > \lambda \}| \leq \frac{C_ d}{\lambda} \|f\|_ {L^1}. \] 这里，左边 \( |\{ \cdots \}| \) 表示集合的勒贝格测度。这个集合是所有使得极大函数值超过阈值 \( \lambda \) 的点 \( x \) 构成的集合。右边 \( \|f\| {L^1} = \int {\mathbb{R}^d} |f(x)| dx \) 是 \( f \) 的 \( L^1 \) 范数。常数 \( C_ d \) 通常取 \( 3^d \) 或 \( 5^d \) 量级（取决于证明细节）。这个不等式的威力： “弱”的含义：我们称它为“弱 (1,1) 型”，是因为结论是测度估计（集合的大小），而不是直接的范数不等式 \( \|Mf\| {L^1} \leq C \|f\| {L^1} \)。事实上，后者一般不成立，因为 \( Mf \) 常常不在 \( L^1 \) 中（即使 \( f \) 在 \( L^1 \) 中）。这个弱估计对于许多应用（如控制收敛）已经足够强大。控制作用：它告诉我们，尽管 \( Mf \) 可能在某些点上非常大（超过 \( \lambda \)），但是这些“坏点”所构成的集合的测度可以被 \( f \) 的 \( L^1 \) 范数和 \( 1/\lambda \) 控制。当 \( \lambda \) 很大时，测度会变得非常小。第四步：证明思想（维塔利覆盖引理的应用）这个不等式的标准证明，完美体现了实变函数论的技巧。其核心步骤如下：考察“坏点集” ：设 \( E_ \lambda = \{ x : Mf(x) > \lambda \} \)。根据极大函数的定义，对于 \( E_ \lambda \) 中的每一个点 \( x \)，都存在至少一个球 \( B_ x \)（以 \( x \) 为中心，某个半径 \( r_ x \)），使得 \[ \frac{1}{|B_ x|} \int_ {B_ x} |f(y)| dy > \lambda. \] 覆盖问题：我们得到了一个由开球构成的集合 \( \{B_ x\} {x \in E \lambda} \)，它覆盖了 \( E_ \lambda \)。我们的目标是估计 \( E_ \lambda \) 的测度。应用维塔利覆盖引理：这是一个关键的组合几何引理。它断言，对于 \( \mathbb{R}^d \) 中由开球构成的任一覆盖，我们可以从中选出一个互不相交的子球族 \( \{B_ {x_ k}\} \)，使得将每个选中的球半径放大5倍（即同心但半径乘5）后，这些大球的并集仍然覆盖原集合 \( E_ \lambda \)。即：\( E_ \lambda \subset \bigcup_ k 5B_ {x_ k} \)，其中 \( 5B_ {x_ k} \) 是与 \( B_ {x_ k} \) 同心、半径5倍的球。进行测度估计：由覆盖关系：\( |E_ \lambda| \leq \sum_ k |5B_ {x_ k}| = 5^d \sum_ k |B_ {x_ k}| \)。由每个选中球的定义：\( |B_ {x_ k}| < \frac{1}{\lambda} \int_ {B_ {x_ k}} |f(y)| dy \)。由于选中的球互不相交，我们可以把积分加起来： \[ \sum_ k \int_ {B_ {x_ k}} |f(y)| dy \leq \int_ {\mathbb{R}^d} |f(y)| dy = \|f\|_ {L^1}. \] 综合得到结论： \[ |E_ \lambda| \leq 5^d \sum_ k |B_ {x_ k}| < 5^d \sum_ k \frac{1}{\lambda} \int_ {B_ {x_ k}} |f| = \frac{5^d}{\lambda} \|f\|_ {L^1}. \] 这就证明了不等式，且常数 \( C_ d = 5^d \)。这个证明是实分析中“覆盖引理+积分平均”技术的典范。第五步：极大不等式在其他 \( L^p \) 空间上的推广（强 (p,p) 型不等式）除了在 \( L^1 \) 上的弱型估计，极大算子在 \( L^p \) 空间（当 \( 1 < p \leq \infty \) 时）有更强的性质。定理陈述（强 (p,p) 型不等式）：对于任意 \( 1 < p \leq \infty \)，存在常数 \( C_ {p,d} > 0 \)，使得对于所有 \( f \in L^p(\mathbb{R}^d) \)，有： \[ \| Mf \| {L^p} \leq C {p,d} \| f \| {L^p}. \] 特别地，当 \( p = \infty \) 时，有 \( \| Mf \| {L^\infty} \leq \| f \|_ {L^\infty} \)，这几乎是显然的。证明思路（内插）：这个定理的经典证明运用了实内插理论（特别是马克沁克维奇内插定理）。其逻辑链条是：我们已经证明了 \( M \) 是弱 (1,1) 型算子（第一步的定理）。容易证明 \( M \) 是强 (\(\infty, \infty\)) 型算子（即 \( L^\infty \) 有界）。应用马克沁克维奇内插定理，介于 (1,1) 弱型和 (\(\infty, \infty\)) 强型之间的所有 \( p \)（即 \( 1 < p < \infty \)），\( M \) 都是强 (p,p) 型的。这意味着对于 \( p > 1 \)，极大函数算子 \( M \) 不仅是 \( L^p \) 到自身的有界线性算子，而且它的范数控制是“强”的，即其 \( L^p \) 范数可以直接被控制。第六步：核心应用——勒贝格微分定理的证明哈代-李特尔伍德极大不等式最主要、最经典的应用就是证明勒贝格微分定理。勒贝格微分定理：设 \( f \in L^1_ {loc}(\mathbb{R}^d) \)。那么对于几乎处处的 \( x \in \mathbb{R}^d \)，有 \[ \lim_ {r \to 0} \frac{1}{|B(x, r)|} \int_ {B(x, r)} f(y) dy = f(x). \] 证明的关键步骤：转化为极大函数问题：定义差值函数 \( \Phi_ r(f)(x) = \left| \frac{1}{|B(x, r)|} \int_ {B(x, r)} f(y) dy - f(x) \right| \)。要证明极限几乎处处为零，等价于证明 \( \limsup_ {r \to 0} \Phi_ r(f)(x) = 0 \) 几乎处处成立。利用极大函数控制：注意到 \( \Phi_ r(f)(x) \leq Mf(x) + |f(x)| \)。更关键的是，对于任意连续函数 \( g \)，容易证明 \( \lim_ {r \to 0} \Phi_ r(g)(x) = 0 \) 处处成立。密度论证：对于一般的 \( f \in L^1 \)，用一个连续函数 \( g \) 来逼近它（利用 \( C_ c \) 函数在 \( L^1 \) 中的稠密性）。然后进行估计： \[ \limsup_ {r \to 0} \Phi_ r(f)(x) \leq \limsup_ {r \to 0} [ \Phi_ r(f-g)(x) + \Phi_ r(g)(x) ] \leq M(f-g)(x) + 0. \] 应用极大不等式：固定 \( \epsilon > 0 \)。选择 \( g \) 使得 \( \|f - g\| {L^1} < \epsilon \)。我们希望证明集合 \( \{ x : \limsup {r \to 0} \Phi_ r(f)(x) > \delta \} \) 的测度为零（对任意 \( \delta > 0 \)）。由上一步，该集合包含在 \( \{ x : M(f-g)(x) > \delta \} \) 中。应用弱 (1,1) 型极大不等式： \[ |\{ x : M(f-g)(x) > \delta \}| \leq \frac{C_ d}{\delta} \|f-g\|_ {L^1} \leq \frac{C_ d \epsilon}{\delta}. \] 因为 \( \epsilon \) 可以任意小，所以这个测度必须为零。这就完成了定理的证明。总结极大函数的哈代-李特尔伍德极大不等式是整个调和分析与实分析大厦的一块基石。它的逻辑路径是：定义：为了研究函数局部的平均值，我们定义了极大函数 \( Mf \)。核心估计：通过巧妙的几何覆盖（维塔利引理），我们得到了它在 \( L^1 \) 上的弱型估计 \( |\{ Mf > \lambda \}| \leq \frac{C}{\lambda} \|f\|_ 1 \)。推广：结合内插理论，我们得到了它在所有 \( L^p \) 空间（\( p>1 \)）上的强有界性。应用：利用这个不等式提供的强大控制力，我们得以严格证明勒贝格微分定理，从而将函数的点态值与局部平均值联系起来，为微积分基本定理在更广泛函数类上的成立奠定了基础。这个从具体定义到深刻估计，再到核心应用的过程，完美体现了实变函数论中“用整体控制局部，用平均研究点态”的核心思想。