模的Gorenstein同调代数的稳定范畴

字数 3064 2025-12-17 06:26:41

模的Gorenstein同调代数的稳定范畴

我们先从同调代数的基本目标谈起。同调代数研究模、链复形与同调、导出函子等工具，目的是在范畴中“测量”与“正合性”的偏差。Gorenstein同调代数则专注于一类特殊的模（Gorenstein投射模、Gorenstein内射模、Gorenstein平坦模），它们可以看作是经典投射模、内射模、平坦模在具有有限自同调维数的环（如Gorenstein环）上的自然推广。而“稳定范畴”是同调代数中一个常见构造，用于“抹去”某些容易处理的信息（例如投射模或内射模），从而更清晰地观察更深层的同调现象。

下面我们逐步展开这个概念。

步骤1：回顾经典稳定范畴的构造思想
在模范畴中，两个模之间的同态集合 \(\text{Hom}_R(M, N)\) 包含了很多由投射模或内射模“产生”的平凡映射。为了研究模的本质结构，我们想把这类平凡映射忽略掉。

设 \(R\) 是一个环，\(\mathcal{P}\) 表示所有有限生成投射 \(R\)-模组成的全子范畴。
对任意两个模 \(M, N\)，定义 稳定同态模

\[ \underline{\text{Hom}}_R(M, N) = \text{Hom}_R(M, N) / \mathcal{P}(M, N), \]

其中 \(\mathcal{P}(M, N)\) 是由那些能通过投射模分解的同态（即 \(M \to P \to N\)，\(P\) 投射）组成的子模。

由此得到范畴 稳定模范畴 \(\underline{\text{mod}}\, R\)，对象与原来相同，态射集为 \(\underline{\text{Hom}}_R(M, N)\)。

类似可对偶地利用内射模定义 余稳定范畴。

步骤2：Gorenstein投射模与完全子范畴
回忆：一个模 \(G\) 称为 Gorenstein投射模，如果存在一个投射模的正合序列

\[\cdots \to P_1 \to P_0 \to P^0 \to P^1 \to \cdots \]

使得 \(G = \ker(P^0 \to P^1)\)，并且对任意投射模 \(Q\)，函子 \(\text{Hom}_R(-, Q)\) 保持这个序列正合。
等价地，存在长正合列 \(\cdots \to P_1 \to P_0 \to G \to 0\) 且对任意投射模 \(Q\)，\(\text{Hom}_R(-,Q)\) 保持正合。

记 \(\mathcal{GP}\) 为所有 Gorenstein投射 \(R\)-模组成的全子范畴。当 \(R\) 是 Gorenstein环（比如自入射代数或交换的Gorenstein局部环）时，\(\mathcal{GP}\) 包含所有投射模，并且具有很好的同调性质。

步骤3：Gorenstein投射稳定范畴的定义
我们希望构造一个范畴，其中“模去”的是投射模，但更进一步，我们希望模去的是 投射维数有限 的 Gorenstein投射模，因为它们在同调意义上也是“平凡”的。不过更常见的版本是：

设 \(\mathcal{GP}\) 是 Gorenstein投射模范畴，\(\mathcal{P}\) 是投射模范畴。
定义稳定同态：对 \(X, Y \in \mathcal{GP}\)，令

\[\underline{\text{Hom}}_{\mathcal{GP}}(X, Y) = \text{Hom}_R(X, Y) / \mathcal{I}(X, Y), \]

其中 \(\mathcal{I}(X, Y)\) 是由那些可分解为 \(X \to P \to Y\)（\(P\) 投射模）的同态组成的子群。

这个商范畴记作 \(\underline{\mathcal{GP}}\)，称为 Gorenstein投射稳定范畴。

步骤4：三角范畴结构
一个重要的事实是：\(\underline{\mathcal{GP}}\) 可以做成一个三角范畴（triangulated category）。
构造三角结构的方法：

先考虑链复形范畴，取相对于投射模的正合链复形的链同伦范畴，再通过某种“稳定化”得到。
具体地，可考虑 奇链复形范畴（complexes of projective modules）的链同伦范畴 \(K(\text{Proj } R)\)，其紧对象（compact objects）的三角子范畴三角等价于 \(\underline{\mathcal{GP}}\)（当 \(R\) 是某些良好环时）。
另一种方式：在 \(\mathcal{GP}\) 中，短正合列不一定对应到 \(\underline{\mathcal{GP}}\) 中的好三角，但可通过构造 Gorenstein投射分解 的映射锥来定义好三角。

这个三角范畴结构是 Gorenstein同调代数稳定范畴的核心价值，它允许我们使用三角范畴的工具（如旋转、上同调函子、t-结构）来研究模的Gorenstein同调性质。

步骤5：与奇性范畴的关系
在交换代数与代数几何中，奇性范畴（singularity category）定义为有界导出范畴 \(D^b(\text{mod } R)\) 模去 完美复形（perfect complexes，即有限长投射分解的复形）的厚子范畴，记作 \(D_{\text{sg}}(R)\)。

一个重要定理（Buchweitz, Happel）：当 \(R\) 是 Gorenstein环时，奇性范畴 \(D_{\text{sg}}(R)\) 三角等价于 Gorenstein投射稳定范畴 \(\underline{\mathcal{GP}}\)。
这建立了稳定范畴与环的奇性分类之间的桥梁：环的奇点类型（例如是否为有理奇点）可反映在 \(\underline{\mathcal{GP}}\) 的三角结构性质上。

步骤6：Gorenstein内射与Gorenstein平坦的稳定范畴
对偶地，可定义 Gorenstein内射稳定范畴 \(\underline{\mathcal{GI}}\)，模去内射模的同态。
对于平坦情形，由于平坦模与投射模不同，Gorenstein平坦模的稳定范畴构造更复杂，需模去 平坦维数有限 的模或 投射模 的同态，并需注意在一般环上需用更细致的商范畴构造，如通过 Ding投射/内射模 推广到更一般的环上。

步骤7：应用与意义

有限维代数的表示论：Gorenstein投射稳定范畴是 Cohen–Macaulay 模范畴的稳定范畴的推广，用于研究 CM-有限、CM-无穷的代数。
奇点理论：通过奇性范畴的三角等价，用同调代数工具研究代数簇奇点。
Tate上同调与稳定导出范畴：稳定范畴提供了Tate上同调的自然定义域，其中 Ext 函子可延拓到负次数。
相对同调代数：稳定范畴是研究相对于某子范畴（如投射模）的同调维数、逼近理论的合适框架。

总结：模的Gorenstein同调代数的稳定范畴 是将 Gorenstein 模（投射、内射、平坦）构成的范畴模去某些“平凡”同态，并赋予三角范畴结构的一种构造。它紧密联系奇性范畴、导出范畴与相对同调维数理论，是当代同调代数与表示论的重要工具。

模的Gorenstein同调代数的稳定范畴我们先从同调代数的基本目标谈起。同调代数研究模、链复形与同调、导出函子等工具，目的是在范畴中“测量”与“正合性”的偏差。Gorenstein同调代数则专注于一类特殊的模（Gorenstein投射模、Gorenstein内射模、Gorenstein平坦模），它们可以看作是经典投射模、内射模、平坦模在具有有限自同调维数的环（如Gorenstein环）上的自然推广。而“稳定范畴”是同调代数中一个常见构造，用于“抹去”某些容易处理的信息（例如投射模或内射模），从而更清晰地观察更深层的同调现象。下面我们逐步展开这个概念。步骤1：回顾经典稳定范畴的构造思想在模范畴中，两个模之间的同态集合 \(\text{Hom}_ R(M, N)\) 包含了很多由投射模或内射模“产生”的平凡映射。为了研究模的本质结构，我们想把这类平凡映射忽略掉。设 \(R\) 是一个环，\(\mathcal{P}\) 表示所有有限生成投射 \(R\)-模组成的全子范畴。对任意两个模 \(M, N\)，定义稳定同态模 \[ \underline{\text{Hom}}_ R(M, N) = \text{Hom}_ R(M, N) / \mathcal{P}(M, N), \] 其中 \(\mathcal{P}(M, N)\) 是由那些能通过投射模分解的同态（即 \(M \to P \to N\)，\(P\) 投射）组成的子模。由此得到范畴稳定模范畴 \(\underline{\text{mod}}\, R\)，对象与原来相同，态射集为 \(\underline{\text{Hom}}_ R(M, N)\)。类似可对偶地利用内射模定义余稳定范畴。步骤2：Gorenstein投射模与完全子范畴回忆：一个模 \(G\) 称为 Gorenstein投射模，如果存在一个投射模的正合序列 \[ \cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to P^0 \to P^1 \to \cdots \] 使得 \(G = \ker(P^0 \to P^1)\)，并且对任意投射模 \(Q\)，函子 \(\text{Hom}_ R(-, Q)\) 保持这个序列正合。等价地，存在长正合列 \(\cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to G \to 0\) 且对任意投射模 \(Q\)，\(\text{Hom}_ R(-,Q)\) 保持正合。记 \(\mathcal{GP}\) 为所有 Gorenstein投射 \(R\)-模组成的全子范畴。当 \(R\) 是 Gorenstein环（比如自入射代数或交换的Gorenstein局部环）时，\(\mathcal{GP}\) 包含所有投射模，并且具有很好的同调性质。步骤3：Gorenstein投射稳定范畴的定义我们希望构造一个范畴，其中“模去”的是投射模，但更进一步，我们希望模去的是投射维数有限的 Gorenstein投射模，因为它们在同调意义上也是“平凡”的。不过更常见的版本是：设 \(\mathcal{GP}\) 是 Gorenstein投射模范畴，\(\mathcal{P}\) 是投射模范畴。定义稳定同态：对 \(X, Y \in \mathcal{GP}\)，令 \[ \underline{\text{Hom}}_ {\mathcal{GP}}(X, Y) = \text{Hom}_ R(X, Y) / \mathcal{I}(X, Y), \] 其中 \(\mathcal{I}(X, Y)\) 是由那些可分解为 \(X \to P \to Y\)（\(P\) 投射模）的同态组成的子群。这个商范畴记作 \(\underline{\mathcal{GP}}\)，称为 Gorenstein投射稳定范畴。步骤4：三角范畴结构一个重要的事实是：\(\underline{\mathcal{GP}}\) 可以做成一个三角范畴（triangulated category）。构造三角结构的方法：先考虑链复形范畴，取相对于投射模的正合链复形的链同伦范畴，再通过某种“稳定化”得到。具体地，可考虑奇链复形范畴（complexes of projective modules）的链同伦范畴 \(K(\text{Proj } R)\)，其紧对象（compact objects）的三角子范畴三角等价于 \(\underline{\mathcal{GP}}\)（当 \(R\) 是某些良好环时）。另一种方式：在 \(\mathcal{GP}\) 中，短正合列不一定对应到 \(\underline{\mathcal{GP}}\) 中的好三角，但可通过构造 Gorenstein投射分解的映射锥来定义好三角。这个三角范畴结构是 Gorenstein同调代数稳定范畴的核心价值，它允许我们使用三角范畴的工具（如旋转、上同调函子、t-结构）来研究模的Gorenstein同调性质。步骤5：与奇性范畴的关系在交换代数与代数几何中，奇性范畴（singularity category）定义为有界导出范畴 \(D^b(\text{mod } R)\) 模去完美复形（perfect complexes，即有限长投射分解的复形）的厚子范畴，记作 \(D_ {\text{sg}}(R)\)。一个重要定理（Buchweitz, Happel）：当 \(R\) 是 Gorenstein环时，奇性范畴 \(D_ {\text{sg}}(R)\) 三角等价于 Gorenstein投射稳定范畴 \(\underline{\mathcal{GP}}\)。这建立了稳定范畴与环的奇性分类之间的桥梁：环的奇点类型（例如是否为有理奇点）可反映在 \(\underline{\mathcal{GP}}\) 的三角结构性质上。步骤6：Gorenstein内射与Gorenstein平坦的稳定范畴对偶地，可定义 Gorenstein内射稳定范畴 \(\underline{\mathcal{GI}}\)，模去内射模的同态。对于平坦情形，由于平坦模与投射模不同，Gorenstein平坦模的稳定范畴构造更复杂，需模去平坦维数有限的模或投射模的同态，并需注意在一般环上需用更细致的商范畴构造，如通过 Ding投射/内射模推广到更一般的环上。步骤7：应用与意义有限维代数的表示论：Gorenstein投射稳定范畴是 Cohen–Macaulay 模范畴的稳定范畴的推广，用于研究 CM-有限、CM-无穷的代数。奇点理论：通过奇性范畴的三角等价，用同调代数工具研究代数簇奇点。 Tate上同调与稳定导出范畴：稳定范畴提供了Tate上同调的自然定义域，其中 Ext 函子可延拓到负次数。相对同调代数：稳定范畴是研究相对于某子范畴（如投射模）的同调维数、逼近理论的合适框架。总结：模的Gorenstein同调代数的稳定范畴是将 Gorenstein 模（投射、内射、平坦）构成的范畴模去某些“平凡”同态，并赋予三角范畴结构的一种构造。它紧密联系奇性范畴、导出范畴与相对同调维数理论，是当代同调代数与表示论的重要工具。