曲面的第二基本形式
好的，我将为你详细讲解“曲面的第二基本形式”。这个主题在微分几何中至关重要，它是研究曲面“外在”弯曲性质（即曲面在三维空间中如何弯曲）的核心工具。
首先，我们需要一个清晰的起点。请回想一下你已了解的曲面的第一基本形式（I）。它本质上是曲面上用来测量长度、角度和面积的工具，源于曲面的内在度量（就像生活在这个曲面上的二维生物，只用皮尺就能测量的所有几何量）。第一基本形式由系数 \(E, F, G\) 组成，它们仅依赖于曲面的参数化及其切向量。
然而，第一基本形式无法告诉我们这个曲面在三维空间中是像一张纸一样平坦，还是像一个球或一个马鞍一样弯曲。为了描述这种“弯曲”，我们必须引入一个衡量曲面偏离其切平面程度的工具。这就是第二基本形式（II）的由来。
让我们一步步构建这个概念。
步骤一：从法向量出发，定义偏离量
考虑三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 中的一张光滑曲面 \(S\)。在其上一点 \(p\)，我们有一个切平面 \(T_pS\) 和一个单位法向量 \(N(p)\)（垂直于切平面，通常选择指向曲面某一侧）。
现在，想象曲面 \(S\) 在点 \(p\) 附近。如果我们把曲面和它的切平面进行比较，一个自然的想法是：曲面上的邻近点 \(q\) 到切平面的有向距离是多少？这个距离（带正负号，由法向量方向决定）直接反映了曲面在该方向上的弯曲程度。
数学上，设 \(p = \mathbf{r}(u, v)\) 是曲面的参数表示，\(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 是切向量。点 \(p\) 邻近的点 \(q = \mathbf{r}(u+du, v+dv)\) 可以用泰勒公式展开：
\[\mathbf{r}(u+du, v+dv) \approx \mathbf{r}(u,v) + \mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv + \frac{1}{2}(\mathbf{r}_{uu} (du)^2 + 2\mathbf{r}_{uv} du dv + \mathbf{r}_{vv} (dv)^2) + \cdots \]
点 \(p\) 到其切平面的（有向）距离，由向量 \(\overrightarrow{pq}\) 在法向量 \(N\) 上的投影给出。\(\overrightarrow{pq}\) 的线性部分（\(\mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv\)）位于切平面内，因此它在 \(N\) 上的投影为0。所以，距离的主要贡献来自于二阶项。
因此，点 \(q\) 到点 \(p\) 处切平面的有向距离的二阶近似为：
\[h \approx \frac{1}{2} [ \mathbf{r}_{uu} \cdot N (du)^2 + 2\mathbf{r}_{uv} \cdot N du dv + \mathbf{r}_{vv} \cdot N (dv)^2 ] \]
步骤二：定义第二基本形式的系数
我们记：
\[L = \mathbf{r}_{uu} \cdot N, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot N, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot N \]
（注意：这里系数 \(N\) 与法向量符号相同，但根据上下文容易区分，微分几何中常这样记）。
于是，二阶偏离量可以写成一个漂亮的二次型：
\[h \approx \frac{1}{2} (L (du)^2 + 2M du dv + N (dv)^2) \]
这个二次型就是曲面的第二基本形式，通常记作：
\[\mathrm{II} = L (du)^2 + 2M du dv + N (dv)^2 \]
它的系数 \(L, M, N\) 衡量了曲面在各方向上的“弯曲率”。
步骤三：几何解释——法曲率
第二基本形式与第一基本形式结合起来，能给出一个极其重要的几何量：法曲率 \(k_n\)。
设想曲面 \(S\) 在点 \(p\) 处，沿着切平面内一个给定的方向（由切向量 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv\) 表征）。过点 \(p\) 并包含该方向及法向量 \(N\) 作一个平面，这个平面与曲面相交得到一条法截线。
这条法截线在点 \(p\) 处的曲率（带符号，凸向法向量方向为正），就称为曲面在该方向的法曲率 \(k_n\)。
一个关键的公式（由欧拉发现）是：
\[k_n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} = \frac{L (du)^2 + 2M du dv + N (dv)^2}{E (du)^2 + 2F du dv + G (dv)^2} \]
这个公式表明，法曲率是第二基本形式与第一基本形式的比值。它将描述外在弯曲的 II 和描述内在度量的 I 联系了起来。如果 II = 0，则法曲率为零，意味着曲面在该点沿所有方向都不弯曲（至少到二阶），即切平面与曲面“二阶接触”，该点可能是平点或抛物点的一种特殊情况。
步骤四：与曲率概念的连接——主曲率、高斯曲率、平均曲率
法曲率 \(k_n\) 随着方向 \((du:dv)\) 变化。存在两个互相垂直的主方向，使得法曲率取到极值 \(k_1\) 和 \(k_2\)，称为主曲率。
利用第二基本形式和第一基本形式的系数矩阵，我们可以通过求解一个广义特征值问题来找到主曲率：
\[\det \left( \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix} - k \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \right) = 0 \]
由 \(L, M, N, E, F, G\) 可以定义两个最重要的曲率不变量：
- 高斯曲率 \(K\)：定义为两个主曲率的乘积。
\[ K = k_1 \cdot k_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \]
这个公式（高斯绝妙定理）表明，高斯曲率 \(K\) 尽管由第二基本形式定义，但它实际上只依赖于第一基本形式（即内在度量），是一个内蕴几何量。这是微分几何的一个里程碑发现。
- 平均曲率 \(H\)：定义为两个主曲率的算术平均。
\[ H = \frac{k_1 + k_2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)} \]
平均曲率不是内蕴的，它依赖于曲面在空间中的嵌入方式。\(H=0\) 的曲面称为极小曲面。
步骤五：总结与意义
总结一下，第二基本形式 \(\mathrm{II}\) 是描述曲面局部在三维空间中“偏离其切平面”程度的二次微分形式。它编码了曲面的外在弯曲信息。
- 直接计算：通过参数方程的二阶导数点乘法向量得到系数 \(L, M, N\)。
- 核心应用：通过与第一基本形式 I 的比值，给出任意方向上的法曲率 \(k_n\)。
- 关键推论：由其系数导出的主曲率 \(k_1, k_2\)，以及更重要的高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\)，是刻画曲面局部形状的基石。
- 深远意义：第二基本形式与第一基本形式一起，构成了曲面的局部微分几何分析的完整框架。高斯绝妙定理（\(K\) 的内蕴性）则深刻揭示了外在弯曲与内在度量之间的神奇联系，是现代微分几何发展的起点。
因此，理解第二基本形式是理解曲面如何“弯曲”于空间中的关键一步，它为我们打开了从局部解析数据通向全局几何性质的大门。