负二项分布

字数 2222 2025-12-17 05:54:37

负二项分布

我们首先从负二项分布要解决的核心问题开始。在概率论中，我们熟悉伯努利试验（如抛硬币）中，成功次数达到某一指定值时，所需试验总数的分布是帕斯卡分布（或称负二项分布）。其核心场景是：我们持续进行独立的伯努利试验，每次试验成功的概率固定为 p，失败的概率为 q=1-p。我们关心的是，为了获得第 r 次成功，总共需要进行的试验次数 X。

第一步：定义与概率质量函数推导
设随机变量 X 表示获得第 r 次成功所需的总试验次数。显然，X 的可能取值为 r, r+1, r+2, ...
考虑事件 {X = k}（其中 k ≥ r）。要使第 k 次试验恰好是第 r 次成功，必须满足：

在前 k-1 次试验中，恰好有 r-1 次成功。
第 k 次试验必须成功。

由于试验独立，前 k-1 次试验中恰好有 r-1 次成功的概率服从二项分布：C(k-1, r-1) * p^(r-1) * q^{(k-1)-(r-1)} = C(k-1, r-1) * p^(r-1) * q^(k-r)。
第 k 次试验成功的概率为 p。
两者相乘，得到负二项分布的概率质量函数：
P(X = k) = C(k-1, r-1) * p^r * q^(k-r)，其中 k = r, r+1, r+2, ...

这里 r 是一个正整数，称为“成功次数参数”，p 是每次试验的成功概率。

第二步：名称由来与另一种定义
“负二项”的名称源于其概率质量函数与负二项式展开的联系。考虑 (1 - q)^(-r) 的麦克劳林级数展开（当 |q| < 1）：
(1 - q)^(-r) = Σ_{k=0}^{∞} C(r+k-1, k) * q^k
如果我们令 k' = r + k（即总试验次数），则上式可以重新整理为对成功概率 p=1-q 的表达式。事实上，概率质量函数也可以写成：
P(X = k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r) = (-1)^(k-r) * C(-r, k-r) * p^r * (1-p)^(k-r)
其中 C(-r, k-r) 是广义二项式系数。这表明该分布是 (p - (1-p))^{-r} 展开式中的项。

另一种常见但易混淆的定义是：令随机变量 Y = X - r，表示获得第 r 次成功之前所经历的失败次数。则 Y 的取值范围是 0, 1, 2, ...，其概率质量函数为：
P(Y = y) = C(r + y - 1, y) * p^r * (1-p)^y，其中 y = 0, 1, 2, ...
这种定义在文献中同样常被称为负二项分布。只需注意区分 X（总试验次数）和 Y（失败次数），两者仅相差常数 r。

第三步：数字特征（期望、方差、矩生成函数）
利用 Y = X - r（失败次数）的定义来计算更为方便。Y 可以看作是一系列独立的几何分布随机变量的和。
回忆：在成功概率为 p 的伯努利试验中，第一次成功之前的失败次数服从几何分布（支持在 {0,1,2,...}），其期望为 (1-p)/p，方差为 (1-p)/p²。
现在，获得第 r 次成功之前的失败次数 Y，相当于等待 r 次独立“成功事件”发生，每次等待都独立地服从上述几何分布。因此：

期望（利用线性）：E[Y] = r * (1-p)/p
方差（因独立）：Var(Y) = r * (1-p)/p²
由于 X = Y + r，所以：
E[X] = r/p
Var(X) = r(1-p)/p²
矩生成函数 M_Y(t) = [p / (1 - (1-p)e^t)]^r，对于 t < -ln(1-p)。X 的矩生成函数为 M_X(t) = e^{rt} * M_Y(t)。

第四步：与其他分布的关系

与几何分布：当 r=1 时，负二项分布退化为几何分布（总试验次数版本）。因此，负二项分布是几何分布的推广。
与泊松分布：当 r → ∞，同时保持 E[Y] = r(1-p)/p = λ（常数）时，即令 p 趋近于 1 且 r(1-p) → λ，则负二项分布收敛于均值为 λ 的泊松分布。这提供了泊松分布的一种混合或过度离散的视角。
与伽马-泊松混合：负二项分布可以视为泊松分布的混合，其中泊松分布的均值参数 λ 本身服从伽马分布。具体地，若 Y | λ ~ Poisson(λ)，且 λ ~ Gamma(r, β)（形状参数 r，尺度参数 β，其均值为 rβ），则 Y 的边缘分布是负二项分布，其中成功概率 p = 1/(1+β)，失败次数参数为 r。这使得负二项分布在建模计数数据中的过度离散性（方差大于均值）时极为有用。

第五步：应用场景

可靠性工程与排队论：在达到 r 次故障前设备的总运行时间（离散时间版本）、顾客到达间隔等。
生态学与流行病学：如采样直到找到 r 个特定物种个体所需的调查次数；疾病在人群中传播时，出现第 r 个病例所需的时间（离散化）。
保险与金融：描述达到一定次数索赔前的保单数。
生物信息学：在DNA测序中，覆盖某个基因组区域达到一定深度所需的读取次数。

通过以上五个步骤，我们循序渐进地从定义、名称由来、数字特征、与其他分布的联系到实际应用，完整地梳理了负二项分布的核心知识。

负二项分布我们首先从负二项分布要解决的核心问题开始。在概率论中，我们熟悉伯努利试验（如抛硬币）中，成功次数达到某一指定值时，所需试验总数的分布是帕斯卡分布（或称负二项分布）。其核心场景是：我们持续进行独立的伯努利试验，每次试验成功的概率固定为 p，失败的概率为 q=1-p。我们关心的是，为了获得第 r 次成功，总共需要进行的试验次数 X 。第一步：定义与概率质量函数推导设随机变量 X 表示获得第 r 次成功所需的总试验次数。显然，X 的可能取值为 r, r+1, r+2, ... 考虑事件 {X = k}（其中 k ≥ r）。要使第 k 次试验恰好是第 r 次成功，必须满足：在前 k-1 次试验中，恰好有 r-1 次成功。第 k 次试验必须成功。由于试验独立，前 k-1 次试验中恰好有 r-1 次成功的概率服从二项分布：C(k-1, r-1) * p^(r-1) * q^{(k-1)-(r-1)} = C(k-1, r-1) * p^(r-1) * q^(k-r)。第 k 次试验成功的概率为 p。两者相乘，得到负二项分布的概率质量函数： P(X = k) = C(k-1, r-1) * p^r * q^(k-r)，其中 k = r, r+1, r+2, ... 这里 r 是一个正整数，称为“成功次数参数”，p 是每次试验的成功概率。第二步：名称由来与另一种定义 “负二项”的名称源于其概率质量函数与负二项式展开的联系。考虑 (1 - q)^(-r) 的麦克劳林级数展开（当 |q| < 1）： (1 - q)^(-r) = Σ_ {k=0}^{∞} C(r+k-1, k) * q^k 如果我们令 k' = r + k（即总试验次数），则上式可以重新整理为对成功概率 p=1-q 的表达式。事实上，概率质量函数也可以写成： P(X = k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r) = (-1)^(k-r) * C(-r, k-r) * p^r * (1-p)^(k-r) 其中 C(-r, k-r) 是广义二项式系数。这表明该分布是 (p - (1-p))^{-r} 展开式中的项。另一种常见但易混淆的定义是：令随机变量 Y = X - r，表示获得第 r 次成功之前所经历的失败次数。则 Y 的取值范围是 0, 1, 2, ...，其概率质量函数为： P(Y = y) = C(r + y - 1, y) * p^r * (1-p)^y，其中 y = 0, 1, 2, ... 这种定义在文献中同样常被称为负二项分布。只需注意区分 X（总试验次数）和 Y（失败次数），两者仅相差常数 r。第三步：数字特征（期望、方差、矩生成函数）利用 Y = X - r（失败次数）的定义来计算更为方便。Y 可以看作是一系列独立的几何分布随机变量的和。回忆：在成功概率为 p 的伯努利试验中，第一次成功之前的失败次数服从几何分布（支持在 {0,1,2,...}），其期望为 (1-p)/p，方差为 (1-p)/p²。现在，获得第 r 次成功之前的失败次数 Y，相当于等待 r 次独立“成功事件”发生，每次等待都独立地服从上述几何分布。因此：期望（利用线性）：E[ Y] = r * (1-p)/p 方差（因独立）：Var(Y) = r * (1-p)/p² 由于 X = Y + r，所以： E[ X ] = r/p Var(X) = r(1-p)/p² 矩生成函数 M_ Y(t) = [ p / (1 - (1-p)e^t)]^r，对于 t < -ln(1-p)。X 的矩生成函数为 M_ X(t) = e^{rt} * M_ Y(t)。第四步：与其他分布的关系与几何分布：当 r=1 时，负二项分布退化为几何分布（总试验次数版本）。因此，负二项分布是几何分布的推广。与泊松分布：当 r → ∞，同时保持 E[ Y ] = r(1-p)/p = λ（常数）时，即令 p 趋近于 1 且 r(1-p) → λ，则负二项分布收敛于均值为 λ 的泊松分布。这提供了泊松分布的一种混合或过度离散的视角。与伽马-泊松混合：负二项分布可以视为泊松分布的混合，其中泊松分布的均值参数 λ 本身服从伽马分布。具体地，若 Y | λ ~ Poisson(λ)，且 λ ~ Gamma(r, β)（形状参数 r，尺度参数 β，其均值为 rβ），则 Y 的边缘分布是负二项分布，其中成功概率 p = 1/(1+β)，失败次数参数为 r。这使得负二项分布在建模计数数据中的过度离散性（方差大于均值）时极为有用。第五步：应用场景可靠性工程与排队论：在达到 r 次故障前设备的总运行时间（离散时间版本）、顾客到达间隔等。生态学与流行病学：如采样直到找到 r 个特定物种个体所需的调查次数；疾病在人群中传播时，出现第 r 个病例所需的时间（离散化）。保险与金融：描述达到一定次数索赔前的保单数。生物信息学：在DNA测序中，覆盖某个基因组区域达到一定深度所需的读取次数。通过以上五个步骤，我们循序渐进地从定义、名称由来、数字特征、与其他分布的联系到实际应用，完整地梳理了负二项分布的核心知识。