广义函数与分布理论（续二）：缓增分布、傅里叶变换及卷积
在学习了广义函数（分布）的基本定义、运算和导数后，我们将进入其核心应用领域：如何在其上定义傅里叶变换和卷积。这需要引入一类性质“良好”的分布——缓增分布。我们将循序渐进地展开。
第一步：测试函数空间的扩展——速降函数空间 𝒮(ℝⁿ)
要定义分布的傅里叶变换，我们需要一个在傅里叶变换下“封闭”（即变换后仍属于同一类函数）的测试函数空间。经典的空间 𝒟（紧支集无穷次可微函数）不满足此要求，因为紧支集函数的傅里叶变换是解析函数，不再是紧支集的。
因此，我们引入速降函数空间 𝒮(ℝⁿ) （或简写为 𝒮）。
- 定义：𝒮 由所有满足以下条件的无穷次可微（光滑）函数 φ(x) 组成：对任意多重指标 α, β 和非负整数 m，函数及其各阶导数在无穷远处衰减得比任何多项式的倒数都快。精确地说：
\[ \sup_{x \in \mathbb{R}^n} |x^\beta \partial^\alpha \varphi(x)| < \infty。 \]
这里 \(x^\beta = x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\)， \(\partial^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} \)。
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直观理解：速降函数 φ(x) 及其所有导数在 |x|→∞ 时，极其迅速地趋于零。例如， \(e^{-|x|^2}\) 是典型的速降函数。而任何 𝒟 中的函数（紧支集光滑）自然也属于 𝒮。
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傅里叶变换下的性质：傅里叶变换 ℱ 及其逆变换 ℱ⁻¹ 是 𝒮 到 𝒮 的线性同构。即，如果 φ∈𝒮，那么 ℱ[φ]∈𝒮，且变换是连续、可逆的。这个性质完美解决了 𝒟 空间的问题。
第二步：缓增分布空间 𝒮‘(ℝⁿ)
有了合适的测试函数空间 𝒮，我们就可以定义在其上的连续线性泛函。
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定义：缓增分布（或称** tempered distribution**）是速降函数空间 𝒮 上的连续线性泛函。所有缓增分布的集合记为 𝒮‘。
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与 𝒟‘ 的关系：由于 𝒟 ⊂ 𝒮，并且 𝒮 中的收敛强于 𝒟 中的收敛（即，在 𝒮 中收敛的函数列，在 𝒟 中也收敛），因此每个 𝒮 上的连续线性泛函（缓增分布）通过限制，自动成为 𝒟 上的连续线性泛函（普通分布）。即：
\[ \mathcal{S}' \subset \mathcal{D}'。 \]
也就是说，**缓增分布是普通分布的一个子类**。
- 例子：
- 局部可积且多项式增长函数：如果函数 f(x) 在 ℝⁿ 上局部可积，且对某个 m>0 满足 |f(x)| ≤ C(1+|x|)ᵐ，那么它通过积分 \(T_f(\varphi) = \int f(x)\varphi(x)dx\) 定义了一个缓增分布。
- 多项式函数：P(x) = xᵏ 本身不是局部可积函数吗？它是。它在无穷远处多项式增长，所以它定义了一个缓增分布。
- 有界可测函数：如 sin(x)，它（模一个多项式增长因子）也是有界的，所以是缓增分布。
- 非例子：函数 \(e^{x^2}\) 增长太快，它定义了一个普通分布，但不是缓增分布，因为无法对所有的 φ∈𝒮 保证积分收敛。同理，在无穷远处指数增长的函数一般不属于 𝒮‘。
第三步：缓增分布的傅里叶变换
这是理论的核心应用。由于傅里叶变换 ℱ 是 𝒮 上的同构，我们可以通过“对偶性”将其自然地推广到 𝒮‘ 上。
- 定义：对于任意缓增分布 T ∈ 𝒮‘，其傅里叶变换 \(\hat{T} = \mathcal{F}[T]\) 定义为另一个缓增分布，它对所有测试函数 φ∈𝒮 的作用为：
\[ \langle \hat{T}, \varphi \rangle := \langle T, \hat{\varphi} \rangle。 \]
这里 \(\hat{\varphi} = \mathcal{F}[\varphi]\) 是 φ 的经典傅里叶变换。因为 φ∈𝒮 ⇒ \(\hat{\varphi}∈𝒮\)，所以右边是有定义的。
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直观解释：这个定义遵循了经典的“帕塞瓦尔等式”精神。对于函数情形 \(T_f(\varphi) = \int f \varphi dx\)，帕塞瓦尔定理说 \(\int \hat{f} \varphi dx = \int f \hat{\varphi} dx\)。上述定义正是将这一等式作为定义移植到了分布的情形。
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性质（与经典傅里叶变换完美对应）：
- 线性：ℱ 是 𝒮‘ 到 𝒮‘ 的线性同构。
- 微分性质：\(\mathcal{F}[\partial^\alpha T] = (i \xi)^\alpha \mathcal{F}[T]\)。在分布意义下，微分永远可以进行，这解决了经典分析中函数不可微的烦恼。
- 乘多项式性质：\(\mathcal{F}[x^\alpha T] = i^{|\alpha|} \partial^\alpha \mathcal{F}[T]\)。
- 平移与调制：类似经典公式成立。
- 逆变换：定义类似，且 ℱ⁻¹[ℱ[T]] = T。
第四步：缓增分布的卷积
卷积运算要求一个函数与一个分布（或两个分布）“光滑”其中一方。对于缓增分布，最常用的卷积是与速降函数或更一般的特定函数类进行。
- 分布与速降函数的卷积：设 T ∈ 𝒮‘， ψ ∈ 𝒮。定义它们的卷积 \(T * \psi\) 为一个光滑缓增函数，由下式给出：
\[ (T * \psi)(x) := \langle T, \psi(x - \cdot) \rangle = \langle T, \tau_x \tilde{\psi} \rangle， \]
其中 \(\tilde{\psi}(y) = \psi(-y)\)， τₓ 是平移算子。可以证明，这样定义的函数是无穷次可微的，且其各阶导数可由 \((T * \partial^\alpha \psi)(x)\) 给出，并且自身是缓增的（即是一个缓增分布）。
- 傅里叶变换与卷积的关系：一个关键定理是：
\[ \mathcal{F}[T * \psi] = \hat{\psi} \cdot \hat{T}。 \]
这里右边是缓增分布 \(\hat{T}\) 与光滑缓增函数 \(\hat{\psi}∈𝒮\) 的乘积，结果仍是一个缓增分布。这个公式是将偏微分方程转化为代数方程（在傅里叶空间）的理论基础。
- 与 δ 分布的卷积：作为特例，\(T * \delta = T\)。这体现了 δ 函数是卷积的单位元。
第五步：核心应用示例——用分布理论求解基本偏微分方程
缓增分布理论为求解常系数线性偏微分方程提供了统一而严格的框架。
问题：在 𝒮‘ 中求解方程 \(P(D)u = f\)，其中 P(D) 是常系数偏微分算子（如拉普拉斯算子 -Δ， 热算子 ∂/∂t - Δ， 波动算子 ∂²/∂t² - Δ）， f ∈ 𝒮‘ 已知， u ∈ 𝒮‘ 未知。
求解步骤：
- 对方程两边同时取傅里叶变换。利用微分性质 \(\mathcal{F}[P(D)u] = P(i\xi) \hat{u}\)。
- 于是，在傅里叶空间中得到一个代数方程：
\[ P(i\xi) \hat{u}(\xi) = \hat{f}(\xi)。 \]
- 形式解为：
\[ \hat{u}(\xi) = \frac{\hat{f}(\xi)}{P(i\xi)}。 \]
- 这里 \(\frac{1}{P(i\xi)}\) 可能不是函数，而是一个分布（称为基本解的傅里叶变换）。我们需要在分布意义下理解这个除法。通常，我们寻找一个缓增分布 E，使得 \(P(i\xi) \hat{E} = 1\) （即 ℱ[P(D)E] = δ）。这个 E 就是算子 P(D) 的基本解。
- 一旦找到了基本解 E，根据卷积和傅里叶变换的性质，原方程的解可表示为：
\[ u = E * f。 \]
这要求在适当的条件下（例如 f 有紧支集或足够好的性质），卷积 \(E * f\) 有意义且给出一个缓增分布解。
例子：对于泊松方程 -Δu = f， 在三维空间 ℝ³ 中，其基本解为 \(E(x) = \frac{1}{4\pi |x|}\)。虽然这个函数在原点奇异，但它定义了一个缓增分布。解 \(u = E * f\) 就是经典的牛顿位势公式。
通过以上五步，我们从速降函数空间出发，定义了缓增分布及其傅里叶变换和卷积运算，并展示了如何运用这套强大而优雅的理论，系统性地处理偏微分方程的求解问题。这彻底解决了经典分析中函数光滑性、可微性、增长性等限制所带来的诸多困难。