张量积

字数 1892 2025-10-28 00:05:04

张量积

张量积是代数中一个核心概念，它通过线性映射将两个模（或向量空间）融合为一个新的结构，从而简化多重线性关系的分析。以下从基础概念逐步展开：

1. 背景：双线性映射的局限性

在向量空间或模的研究中，常需处理双线性映射（例如：向量点积、叉积）。设 \(V, W, U\) 是域 \(F\) 上的向量空间，若映射 \(f: V \times W \to U\) 满足对每个变量单独线性（即 \(f(v_1+v_2, w) = f(v_1,w) + f(v_2,w)\) 等），则称 \(f\) 为双线性映射。
但双线性映射的像集未必构成线性空间，且难以直接研究其代数性质。张量积的核心目标是将双线性映射转化为线性映射，从而利用线性代数工具。

2. 张量积的构造方法

张量积 \(V \otimes W\) 通过以下步骤构建：

自由向量空间：先构造由所有形如 \((v, w)\) 的符号生成的自由向量空间 \(F(V \times W)\)，其基为所有有序对 \((v, w) \in V \times W\)。
商空间模掉双线性关系：在自由空间中模掉以下子空间：

\[ \begin{aligned} &(v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w), \\ &(v, w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2), \\ &(c v, w) - c(v, w), \quad (v, c w) - c(v, w) \quad (c \in F). \end{aligned} \]

商空间中的元素记为 \(v \otimes w\)，称为纯张量。一般元素为纯张量的有限线性组合 \(\sum_{i} v_i \otimes w_i\)。

3. 泛性质：张量积的本质特征

张量积由以下泛性质唯一确定（在同构意义下）：
对任意双线性映射 \(f: V \times W \to U\)，存在唯一的线性映射 \(\tilde{f}: V \otimes W \to U\)，使得 \(f = \tilde{f} \circ \otimes\)，其中 \(\otimes: V \times W \to V \otimes W\) 是典范双线性映射 \((v, w) \mapsto v \otimes w\)。
这一性质表明，张量积是“最经济”的将双线性映射线性化的工具。

4. 基本性质与计算规则

维度：若 \(\dim V = m, \dim W = n\)，则 \(\dim(V \otimes W) = mn\)。若 \(\{e_i\}, \{f_j\}\) 是 \(V, W\) 的基，则 \(\{e_i \otimes f_j\}\) 是 \(V \otimes W\) 的基。
分配律：有自然同构 \((V_1 \oplus V_2) \otimes W \cong (V_1 \otimes W) \oplus (V_2 \otimes W)\)。
结合性：对三个空间 \(U, V, W\)，有同构 \((U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W)\)。

5. 推广到模的张量积

对环 \(R\) 上的模 \(M, N\)，可类似定义张量积 \(M \otimes_R N\)，但需注意标量积的约束：纯张量满足 \((mr) \otimes n = m \otimes (rn)\)。此时张量积的性质与环的结构相关（例如，若 \(R\) 非交换，则 \(M \otimes_R N\) 仅为阿贝尔群）。

6. 应用示例

线性变换的张量积：若 \(T: V \to V', S: W \to W'\) 是线性映射，则存在唯一的线性映射 \(T \otimes S: V \otimes W \to V' \otimes W'\)，满足 \((T \otimes S)(v \otimes w) = T(v) \otimes S(w)\)。这在表示论中至关重要。
多重线性代数：张量积允许将多重线性映射（如行列式、体积形式）转化为线性映射研究。

通过以上步骤，张量积从双线性映射的抽象化工具，逐步展现出其在结构分析和计算中的强大能力。

张量积张量积是代数中一个核心概念，它通过线性映射将两个模（或向量空间）融合为一个新的结构，从而简化多重线性关系的分析。以下从基础概念逐步展开： 1. 背景：双线性映射的局限性在向量空间或模的研究中，常需处理双线性映射（例如：向量点积、叉积）。设 \( V, W, U \) 是域 \( F \) 上的向量空间，若映射 \( f: V \times W \to U \) 满足对每个变量单独线性（即 \( f(v_ 1+v_ 2, w) = f(v_ 1,w) + f(v_ 2,w) \) 等），则称 \( f \) 为双线性映射。但双线性映射的像集未必构成线性空间，且难以直接研究其代数性质。张量积的核心目标是将双线性映射转化为线性映射，从而利用线性代数工具。 2. 张量积的构造方法张量积 \( V \otimes W \) 通过以下步骤构建：自由向量空间：先构造由所有形如 \( (v, w) \) 的符号生成的自由向量空间 \( F(V \times W) \)，其基为所有有序对 \( (v, w) \in V \times W \)。商空间模掉双线性关系：在自由空间中模掉以下子空间： \[ \begin{aligned} &(v_ 1 + v_ 2, w) - (v_ 1, w) - (v_ 2, w), \\ &(v, w_ 1 + w_ 2) - (v, w_ 1) - (v, w_ 2), \\ &(c v, w) - c(v, w), \quad (v, c w) - c(v, w) \quad (c \in F). \end{aligned} \] 商空间中的元素记为 \( v \otimes w \)，称为纯张量。一般元素为纯张量的有限线性组合 \( \sum_ {i} v_ i \otimes w_ i \)。 3. 泛性质：张量积的本质特征张量积由以下泛性质唯一确定（在同构意义下）：对任意双线性映射 \( f: V \times W \to U \)，存在唯一的线性映射 \( \tilde{f}: V \otimes W \to U \)，使得 \( f = \tilde{f} \circ \otimes \)，其中 \( \otimes: V \times W \to V \otimes W \) 是典范双线性映射 \( (v, w) \mapsto v \otimes w \)。这一性质表明，张量积是“最经济”的将双线性映射线性化的工具。 4. 基本性质与计算规则维度：若 \( \dim V = m, \dim W = n \)，则 \( \dim(V \otimes W) = mn \)。若 \( \{e_ i\}, \{f_ j\} \) 是 \( V, W \) 的基，则 \( \{e_ i \otimes f_ j\} \) 是 \( V \otimes W \) 的基。分配律：有自然同构 \( (V_ 1 \oplus V_ 2) \otimes W \cong (V_ 1 \otimes W) \oplus (V_ 2 \otimes W) \)。结合性：对三个空间 \( U, V, W \)，有同构 \( (U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W) \)。 5. 推广到模的张量积对环 \( R \) 上的模 \( M, N \)，可类似定义张量积 \( M \otimes_ R N \)，但需注意标量积的约束：纯张量满足 \( (mr) \otimes n = m \otimes (rn) \)。此时张量积的性质与环的结构相关（例如，若 \( R \) 非交换，则 \( M \otimes_ R N \) 仅为阿贝尔群）。 6. 应用示例线性变换的张量积：若 \( T: V \to V', S: W \to W' \) 是线性映射，则存在唯一的线性映射 \( T \otimes S: V \otimes W \to V' \otimes W' \)，满足 \( (T \otimes S)(v \otimes w) = T(v) \otimes S(w) \)。这在表示论中至关重要。多重线性代数：张量积允许将多重线性映射（如行列式、体积形式）转化为线性映射研究。通过以上步骤，张量积从双线性映射的抽象化工具，逐步展现出其在结构分析和计算中的强大能力。