数值微分 数值微分是计算数学中研究函数导数近似值的分支。当函数表达式复杂或仅已知离散数据点时，解析求导困难，数值微分提供实用的近似方法。 1. 基本思想 数值微分的核心是用差商逼近微商。导数定义为极限：f'(x) = lim_ {h→0} [ f(x+h) - f(x) ] / h。通过选取微小步长h，用差商（函数值之差与自变量之差的比值）作为导数的近似。 2. 前向差分与后向差分 前向差分 ：f'(x) ≈ [ f(x+h) - f(x) ] / h，使用当前点与前方点的函数值。 后向差分 ：f'(x) ≈ [ f(x) - f(x-h) ] / h，使用当前点与后方点的函数值。 两者均产生截断误差O(h)，精度为一阶。 3. 中心差分 为提高精度，采用对称点：f'(x) ≈ [ f(x+h) - f(x-h) ] / (2h)。通过泰勒展开分析，截断误差为O(h²)，精度二阶，明显优于前向或后向差分。 4. 误差来源 截断误差 ：由差商近似微商引入，与步长h的幂次相关。步长减小可降低此误差。 舍入误差 ：计算函数值时因浮点数精度限制产生。步长过小时，函数值差异被舍入误差放大，总误差可能增大。存在最优步长平衡两类误差。 5. 高阶导数与高精度公式 二阶导数 ：f''(x) ≈ [ f(x+h) - 2f(x) + f(x-h) ] / h²，误差O(h²)。 高精度差分公式 ：利用更多点的函数值组合，如五点中心差分公式：f'(x) ≈ [ f(x-2h) - 8f(x-h) + 8f(x+h) - f(x+2h) ] / (12h)，误差O(h⁴)。 6. 应用与挑战 数值微分常用于求解微分方程、优化算法中的梯度计算、数据处理中的变化率分析。主要挑战在于精度与稳定性的权衡，需针对问题选择合适步长和公式。